高二數(shù)學(xué)不等式教案人教

高二數(shù)學(xué)不等式教案一、知識(shí)框架二、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：實(shí)數(shù)的大小順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系，不等式的8條性質(zhì)；用作差法解答不等式問(wèn)題；5個(gè)基本不等式；不等式的證明方法；各種不等式的解法，不等式的同解變形；難點(diǎn): 對(duì)不等式8條性質(zhì)的正確運(yùn)用；領(lǐng)悟作商法適合的題型；正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)和5個(gè)基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式；證明方法所適用的題型；解各種不等式；分類討論“標(biāo)準(zhǔn)”的確定；用分類討論思想解不等式；三、知識(shí)點(diǎn)解析1、不等式的性質(zhì)（1）的大小順序（實(shí)數(shù)的順序性）與實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系： 1）設(shè)，則； 2）設(shè)，則；（2）不等式的概念： 1）不等式的定義：用不等號(hào)（）表示不等關(guān)系的式子叫做不等式，分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式； 2）同向、異向不等式：與叫做同向不等式，與叫做異向不等式； 3）不等式的解集：使成立的的集合，叫做的解集； 4）同解不等式：若與（或）的解集相等，則與（或）叫做同解不等式； 5）不等式的同解變形：一個(gè)不等式變形為與它同解的不等式，這樣的變形成為不等式的同解變形； 6）證明不等式； 7）解不等式；（3）不等式的基本性質(zhì)：（對(duì)稱性）；（傳遞性）；（可加性）；（可乘性）；2、不等式的證明 1）算術(shù)平均數(shù)與集合平均數(shù)：幾個(gè)基本不等式（見(jiàn)下表）； 2）不等式的證明：下表是不等式證明的理論體系：3、不等式的解法（1）不等式解法的理論體系見(jiàn)下表：（2）有理不等式：1）一元不等式：2）分式不等式：不等式與不等式組或同解；不等式與不等式組或同解。 （3）無(wú)理不等式：與或同解；與同解；與同解；（4）指數(shù)不等式：時(shí)，與同解；時(shí)，與同解；（5）對(duì)數(shù)不等式：時(shí)，與同解；時(shí)，與同解；（6）含絕對(duì)值得不等式：，；4、不等式的應(yīng)用四、例題 1、不等式的性質(zhì) 例1 比較與的大小。分析 作差比較。解 ，。例2 已知，比較與的大小。分析 作差比較。解 ，由，得，從而。思考 當(dāng)去掉條件時(shí)，則大小關(guān)系如何？ 例3 設(shè)，且，比較與的大小。分析 作差比較。解 ，當(dāng)時(shí)，則，；當(dāng)時(shí)，則，?？偨Y(jié) 比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(代數(shù)式)大小的思維過(guò)程是：作差變形判斷符號(hào)結(jié)論。例4 判斷下列各命題的真假，說(shuō)明理由：(1)如果，那么；(2)如果，那么；(3)如果，那么。分析 判斷一個(gè)命題的真假的方法是：如果判定是真命題，則必須給出它的證明；如果判定是假命題，只要舉出一個(gè)反例即可。解 根據(jù)不等式的性質(zhì)可判定如下：真命題是(1)、(3)假命題是(2)。例5 回答下列問(wèn)題：(1)如果，能否斷定與誰(shuí)大誰(shuí)小？舉例說(shuō)明；(2)如果，能否斷定與誰(shuí)大誰(shuí)??？舉例說(shuō)明分析 解答本題的方法是：如果作肯定回答，則必須給出它的證明；如果作否定回答，則必須舉出反例。解 (1)不能斷定；(2)不能斷定舉例略注意 本例舉例要舉出3個(gè)例子，使得兩代數(shù)式的值能體現(xiàn)出大于、小于、相等三種情況 例7 已知，求證。解 由知，則知，。 2、不等式的證明例1 已知是正數(shù)，且，求證。證明 ，。說(shuō)明 本題條件下可證明。例2 甲乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，問(wèn)：甲乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)？解 設(shè)從出發(fā)地到指定地點(diǎn)的路程為S，甲乙兩人走完全程所需時(shí)間分別是t1, t2，則： 可得：S, m, n都是正數(shù)，且m n， t1 - t2 0 即：t1 b 0時(shí)，； 當(dāng)b a 0時(shí)， 。 。同理可證。例4 求證證明 因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以為了證明，只需證明，展開(kāi)得 ，即 。因?yàn)槌闪?，所?成立，即證明了。例5 證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.分析 當(dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設(shè)截面的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則周長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓的半徑為，截面積為；周長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形邊長(zhǎng)為，截面積為.所以本題只需證明。說(shuō)明 對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的。例6 已知x 0 , y 0，2x + y = 1，求證：證一 即：；證二 由x 0 , y 0，2x + y = 1，可設(shè)， 則。例7 若，求證：證 設(shè)， 則小結(jié) 若0x1，則可令x = sinq ()或x = sin2q ()。若，則可令x = cosq , y = sinq ()。若，則可令x = secq, y = tanq ()。若x1，則可令x = secq ()。若xR，則可令x = tanq ()。例8 證明：在是增函數(shù)。證 設(shè)2x1 0, x1 + x2 - 4 0 。又y1 0， y1 y2 在是增函數(shù)。例9 設(shè)a, b, c R，1 求證：，2 求證：證 1 2 同理：， 三式相加：例10 a , b, cR, 求證：1 ，2 ，3 。證 1 法一：, , 兩式相乘即得。法二：左邊 3 + 2 + 2 + 2 = 9。2 ， ，兩式相乘即得。3 由上題：， ，即：3、不等式的解法例1 解關(guān)于x的不等式解 將原不等式展開(kāi)，整理得：討論 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若0時(shí)；若0時(shí)；當(dāng)時(shí)，。例2 解關(guān)于x的不等式解 原不等式可以化為：。若即則或；若即則，；若即則或。例3 關(guān)于x的不等式的解集為，求關(guān)于x的不等式的解集。解 由題設(shè)且， ，從而 可以變形為，即： 。例4 關(guān)于x的不等式 對(duì)于恒成立，求a的取值范圍解：當(dāng)時(shí)不合，也不合，必有： 。 例5 若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解 顯然k=0時(shí)滿足 而k0時(shí)不滿足，k的取值范圍是0,1。例6 解不等式略解一（分析法），或，。解二 （列表法）原不等式可化為列表注意 按根的由小到大排列解三 （標(biāo)根法）作數(shù)軸；標(biāo)根；畫曲線，定解-101234-2小結(jié)：在某一區(qū)間內(nèi)，一個(gè)式子是大于0（還是小于0）取決于這個(gè)式子的各因式在此區(qū)間內(nèi)的符號(hào)；而區(qū)間的分界線就是各因式的根；上述的列表法和標(biāo)根法，幾乎可以使用在所有的有理分式與高次不等式，其中最值得推薦的是“標(biāo)根法”例7 解不等式 解 原不等式化為 , 原不等式的解為。例8 解不等式 解 恒成立，原不等式等價(jià)于 即。例9 解不等式 解 原不等式等價(jià)于且 ，原不等式的解為。例10 解不等式解 原不等式等價(jià)于即：，。例11 解不等式解 原不等式等價(jià)于，原不等式的解為：。例12 k為何值時(shí)，下式恒成立：解 原不等式可化為：，而，原不等式等價(jià)于，由得1kx。因?yàn)閮蛇叿秦?fù)，再次平方：，解之0x3。綜合 得：原不等式的解集為0x2或，不等式的解集為。例21 解不等式解 原不等式等價(jià)于 或，解之得：，原不等式的解集為。4、不等式的應(yīng)用例1 證明下列各題： 證 ，于是。若上題改成，結(jié)果將如何？解 ，于是，從而。若 則解：若則顯然有；若異號(hào)或一個(gè)為0則；。例2若，則為何值時(shí)有最小值，最小值為幾？解 ，=，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)。例3 求函數(shù)的最大值，下列解法是否正確？為什么？解 ，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)。例4 若，求的最值解：，。從而 ，即。例5 設(shè)且，求的最大值解 又，即。例6 已知且，求的最小值