1999南京第16屆全國中學(xué)生物理競賽決賽試題及答案

16屆決賽試題及答案第十六屆全國中學(xué)生物理競賽K圖決16-1決 賽 試 題一、在如圖決16-1所示的裝置中，上下兩個容器和連接它們的細長管都是用熱容量很小的良導(dǎo)熱體做成的，管長為l，K為閥門，整個裝置與外界絕熱。開始時，閥門關(guān)閉，兩容器中都盛有質(zhì)量為m，單位質(zhì)量的熱容量為C的某種液體。平衡時，溫度都是T0。由于該液體的蒸氣分子受到重力的作用，所以平衡時，在管內(nèi)的氣體分子并非均勻分布，而是上疏下密，已知其蒸氣壓強是按指數(shù)規(guī)律分布：式中h是管內(nèi)某點距下面容器中液面的高度，Ph是該點的蒸氣的壓強，P0是下面容器中液面處（即h=0處）蒸氣的壓強，m是一個蒸氣分子的質(zhì)量，T是熱力學(xué)溫度，k是一個常數(shù)?，F(xiàn)在打開閥門，試論述該系統(tǒng)的狀態(tài)將發(fā)生怎樣的變化，并估算出變化最后的結(jié)果。二、許多觀察表明，自然界的周期性變化常會在地球上的動植物身上留下不同的痕跡。鸚鵡螺是一種四億多年前在地球上繁盛生長的軟體動物，它的氣室外殼上的波紋生長線數(shù)目隨其生活的年代不同而不同。1978年美國科學(xué)家卡姆和普姆庇在研究了不同地質(zhì)年代的鸚鵡螺殼后，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)存的9個當代鸚鵡螺個體的氣室外殼上的生長線都是30條左右，而古代36例鸚鵡螺化石中，地質(zhì)年代愈古老，生長線的數(shù)目愈少：距今29百萬年的新生代漸新世的標本上有26條；距今100百萬年的中生代白堊紀的標本上有22條；距今180百萬年的中生代侏羅紀標本上有18條；距今320百萬年的古生代石炭紀的標本上有15條；距今470百萬年的古生代奧陶紀的標本上只有9條。他們認為這些生長線記錄著地球及其周圍天體的演變歷史，并根據(jù)上述數(shù)據(jù)作了一個大膽的假設(shè)：鸚鵡螺外殼上的生長線條數(shù)的變化是月球繞地球運動周期隨年代變化的反映。試問：由此假設(shè)你能得出關(guān)于月球運動的什么結(jié)論？試通過計算說明此結(jié)論。注：假設(shè)從古至今，地球質(zhì)量和自轉(zhuǎn)周期以及月球質(zhì)量都沒有發(fā)生變化。也不考慮物理常數(shù)的變化。mBAl1C圖決16-3l2三、圍繞地球周圍的磁場是兩極強，中間弱的空間分布。1958年，范阿侖通過人造衛(wèi)星搜集到的資料研究了帶電粒子在地球磁場空間中的運動情況后，得出了在距地面幾千公里和幾萬公里的高空存在著電磁輻射帶（范阿侖輻射帶）的結(jié)論。有人在實驗室中通過實驗裝置，形成了如圖決16-2所示的磁場分布區(qū)域MM，在該區(qū)域中，磁感應(yīng)強度B的大小沿軸從左到右，由強變?nèi)?，由弱變強，對稱面為PP。已知軸上O點磁感應(yīng)強度B的大小為B0，兩端M點的磁感應(yīng)強度為BM?，F(xiàn)有0圖決16-2zPPOMMv0一束質(zhì)量均為m，電量均為q，速度大小均為v0的粒子，在O點以與軸成不同的投射角a0向右半空間發(fā)射。設(shè)磁場足夠強，粒子只能在由緊鄰軸的磁感線圍成的截面積很小的“磁力管”內(nèi)運動。試分析說明具有不同的投射角a0的粒子在磁場區(qū)MM間的運動情況。提示：理論上可證明：在細“磁力管”的管壁上粒子垂直磁場方向的速度v的平方與磁力管軸上的磁感應(yīng)強度的大小B之比為一常量。四、如圖決16-3所示，有兩根不可伸長的柔軟的輕繩，長度分別為和，它們的下端在C點相連結(jié)并懸掛一質(zhì)量為的重物，上端分別與質(zhì)量可忽略的小圓環(huán)A、B相連，圓環(huán)套在圓形水平橫桿上，A、B可在橫桿上滑動，它們與橫桿間的靜摩擦系數(shù)分別為和。已知和的數(shù)值，且。試求和在各種取值情況下，此系統(tǒng)處于靜力平衡時兩環(huán)之間的距離AB。五、有三個質(zhì)量相等的粒子，粒子1與粒子2中間夾置一個被充分壓縮了的輕質(zhì)短彈簧，并用輕質(zhì)細線縛在一起（可視為一個小物體），靜止地放置在光滑水平面上。另一個粒子3沿該光滑水平面射向它們。粒子3和粒子1相碰撞并粘連在一起運動。后輕質(zhì)細線自動崩斷，使彈簧釋放，三個粒子分成兩部分：一部分為粒子2，另一部分為粘在一起的粒子1、3。已知彈簧被充分壓縮時的彈性勢能是EP。為了使被釋放出的粒子2的散射角保持在30之內(nèi)，求粒子3入射時的動能應(yīng)滿足什么條件。提示：此處散射角是指粒子2射出后的運動方向與粒子3入射時的運動方向之間的夾角。R1圖決16-4LR2六、在光導(dǎo)纖維制造過程中，由于拉伸速度不均勻，會使拉出的光纖偏離均勻的圓柱體，而呈圓錐狀，現(xiàn)把一段長為L，折射率為的光纖簡化為細長圓錐體的一部分，其頂角很小，兩端截面的半徑分別是R1和R2，R1略大于R2。圖決16-4是過光纖軸線的剖面圖。1若將該光纖置于空氣中，求在圖示平面內(nèi)從大頭入射并能從小頭出射的光線的最大入射角。2計算以最大的入射角入射的光線在光纖中的反射次數(shù)。七、愛因斯坦的“等效原理”指出，在不十分大的空間范圍和時間間隔內(nèi)，慣性系中引力作用下的物理規(guī)律與沒有引力但有適當加速度的非慣性系中的物理規(guī)律是相同的，現(xiàn)在研究以下問題。1試從光量子的觀點（即把光子看作能量為的粒子）出發(fā)，討論在地面附近的重力場中，由地面向離地面的距離為L處的接收器發(fā)射頻率為的激光與接收器接收到的頻率之間的關(guān)系。2假設(shè)地球?qū)ξ矬w沒有引力作用，現(xiàn)在一以加速度沿直線做勻加速運動的箱子中做一假想實驗，在箱尾和箱頭處分別安裝一適當?shù)募す獍l(fā)射器和激光接收器，兩者間的距離為L，現(xiàn)從發(fā)射器向接收器發(fā)射周期為T0的激光。試從地面參考系的觀點出發(fā)，求出位于箱頭處的接收器所接收到的激光的周期T。3要使上述兩個問題所得到的結(jié)論是完全等價的，則問題2中的箱子的加速度的大小和方向應(yīng)如何？第 2 頁 共 2 頁第十六屆決賽試題參考解答一、1在打開閥門前，平衡時，上下容器中液體表面處的蒸氣皆為飽和蒸氣。因為溫度相同，所以其飽和蒸氣壓相同。但在閥門兩旁，由指數(shù)分布規(guī)律可知，蒸氣的蒸氣壓不同，在左邊，因為容器內(nèi)液面上方空間的高度差很小，所以蒸氣壓幾乎等于液面處的飽和蒸氣壓；而在右邊，由于管較長，所以蒸氣壓明顯小于下面容器內(nèi)液面處的飽和蒸氣壓，因而也小于閥門左邊的蒸氣壓。這樣打開閥門后，左邊蒸氣將向右邊遷移。按照指數(shù)分布規(guī)律，將使下面容器中表面處的蒸氣壓大于飽和蒸氣壓，從而有一部分蒸氣液化（凝結(jié)），使下方容器中的液量增加，另一方面，上面容器中液面上方和蒸氣由于向閥門右邊遷移，從而使蒸氣壓降低，造成液面處的蒸氣壓小于飽和蒸氣壓，這樣，上面容器中液體將汽化（蒸發(fā)），使液量減少。以上所述的過程將持續(xù)不斷地進行，直到上面容器中的液體全部汽化而凝結(jié)在下面容器中為止，此后狀態(tài)將不再變化。2由于最后結(jié)果是上面容器中的液體全部轉(zhuǎn)移到下面容器中，所以從能量來看，就是上面質(zhì)量為的液體的重力勢能轉(zhuǎn)化為總質(zhì)量為的液體的內(nèi)能，從而使系統(tǒng)溫度上升。若忽略容器、長管以及蒸氣等的熱容量的影響，用T表示最后的溫度，則由能量守恒定律可知 （1） （2） 二、根據(jù)他們的大膽假設(shè)，目前鸚鵡螺生長線近似為30條的事實，可以認為是月球繞地球運動周期近似是30天的反映。把這一看法推廣到任何地質(zhì)年代（推廣的依據(jù)是地球、月球質(zhì)量在這段時間中沒有發(fā)生變化，也不考慮物理常數(shù)的變化），就可以按照動力學(xué)規(guī)律算出任何地質(zhì)年代月球繞地球的運動周期。根據(jù)月球、地球質(zhì)量的巨大差別，可以把它們之間的相對運動簡化為月球圍繞地球的圓周運動。根據(jù)開普勒第三定律，或萬有引力定律和牛頓第二定律可知，月球運動周期T和地月之間的距離L有下列關(guān)系 （1）其中比例系數(shù)只與地球質(zhì)量和引力常數(shù)有關(guān)，故在題中所給簡化模型下，該比例常數(shù)也與年代無關(guān)，對任何地質(zhì)年代都成立。若第個地質(zhì)年代月球運動周期為，該年代的月地間的距離為，則有 （2）設(shè)當代的月球繞地球運動的周期為T0，它們間的距離為L0，則有 （3）由此可算出不同地質(zhì)年代地月之間的距離，如下表所示。年代（106年）生長線數(shù)月球-地球距離（以L0為單位）漸新世29260.91白堊紀100220.81侏羅紀180180.71石炭紀320150.63奧陶紀47090.45以年代為橫坐標，月地間的距離為縱坐標，用上面的數(shù)據(jù)作圖，結(jié)果如圖決解16-1所示，各點大體上在一條直線上，可以看出，隨著距今年代的增加，月球和地球之間距離按線性規(guī)律減少，即月球幾乎正以恒定的速率遠離我們而去，為了得到月球遠離地球的速度，可在擬合直線上選取相距較遠的兩點，例如選A1（100，0.82）和A2（450，0.44）兩組數(shù)據(jù)，可算得月球遠離地球的速度的近似值。 （4）如果取平均月-地距離為3.8105km（只要知道地球半徑即可估算出此值，因為地月距離就是它的60倍。這正是牛頓當年討論萬有引力時所用的）。這時，由（4）式可得平均速度的絕對值 m/a （5）其中，負號表示距離越來越遠，即月球正以每年0.42m的速度遠離我們而去。三、1帶電粒子沿軸做螺旋運動時受到阻力而減速。設(shè)粒子達到磁感應(yīng)強度為B處的速度為，其垂直和平行于磁場的方向的分速度分別為和。粒子剛從O點射出時，其垂直磁場方向的分速度為，根據(jù)提示，粒子運動過程中，在細“磁力管”的管壁上垂直磁場方向的速度的平方與磁力管軸上的磁場的大小B之比為一常量，即 （1）因粒子還具有沿軸向的分速度，所以粒子在磁力管中做螺旋運動，由于洛倫茲力垂直粒子的速度，對帶電粒子不做功，因而粒子在任何點的速度的大小不變均為，按題設(shè)，軸上O點右側(cè)磁場B逐漸變大，因而，粒子向右運動過程中，垂直磁場方向的速度隨之增大，平行于磁場方向的速度亦隨之按下列規(guī)律變化： （2）由式（2）可知，隨沿軸磁場B的增大，平行于磁場方向的速度將隨之減小，軸向速度的減小是因為粒子沿軸向右運動時受到阻力，因磁力管壁的磁場與軸不平行，粒子在運動過程中受到的洛倫茲力斜向指向軸，如圖決解16-2所示，是平行于軸的分量，它成為阻礙粒子沿軸向右運動的阻力。是洛倫茲力垂直于軸的分量，它為粒子做螺旋運動時提供粒子做圓周運動的向心力，圓周半徑，由式（1）得 （3）此式表明螺旋半徑隨磁場B的增大而減小。結(jié)合式（2）的討論可知，螺旋運動的軸向速度逐漸減小，即螺旋螺距逐漸減小，到達M端時，料一陣子以半徑做圓周運動。2臨界投射角由（2）式知，以某個投射角發(fā)射的粒子到達M點時，其平行于磁場方向的速度恰等于零，得 （4）此式表明：當投射角時，粒子恰好在M點軸向速度為零，即垂直于磁場方向的分速度最大，稱為臨界投射角。投射角的粒子到達M點時，因軸向速度尚未減至零，這些粒子就從M處逸出，離開磁場區(qū)域。3投射角大于臨界角的粒子的運動當粒子在O點以臨界角發(fā)射，即做螺旋運動到達端點M時，因軸向速度為零，粒子在此瞬間停止向右移動，只做圓周運動，但因沿軸磁場分布的非均勻性，磁場大小存在變化陡度。因而粒子在M點仍受到向左的作用力，粒子即離開端點M向左做螺旋運動（螺旋的方向不變）。到達O點時，向左運動的沿軸向速度達到最大，繼續(xù)向左運動，離開O點后，左半程運動的情況與右半程的運動情況相仿，到達左端點M時，軸向速度亦為零，并受到指向O點的洛倫茲力沿軸向的分量作用，向右運動，因此，左、右端M點處，猶如鏡面反射一樣，粒子在鄰近軸的細磁力管內(nèi)，在兩端面間做螺旋形往復(fù)周期運動。投射角的粒子在未到達M點時，軸向速度已減至零，這些粒子將在小于MM點距離間相對于對稱面PP做周期的往復(fù)螺旋運動，投射角愈大，往復(fù)運動的距離愈小，當投射角時，粒子不受軸向力，就在對稱面PP上以半徑做圓周運動。四、解法1由于和為已知量，只要求出AB的值A(chǔ)BC即確定（即A、B、C的相對位置確定）?，F(xiàn)對系統(tǒng)平衡時AB應(yīng)取的數(shù)值分析如下：1 已知，則當A、C和重物在同一豎直線上時，系統(tǒng)平衡，AC張緊，長繩則松馳（如圖決解16-3所示）。將B沿桿右移直至BC繩拉直（如圖決解16-4所示），系統(tǒng)一直保持平衡，這與的取值無關(guān)，若使B繼續(xù)右移一極小的距離，則繩BC中將出現(xiàn)張力，C點右移，AC將傾斜，其中張力也將改變。如果，A環(huán)將在AC繩張力作用下滑動，所以系統(tǒng)將失去平衡，若，設(shè)此時BC中張力為T，則B環(huán)與桿間正壓力，B環(huán)所受向左的力。如果F2N2，則B環(huán)向左滑回原處，系統(tǒng)失去平衡。由此可見，當或時，系統(tǒng)的平衡位置只能是：A、C在豎直線上，0AB（結(jié)論一）。2 當，且AB時，系統(tǒng)將如圖決解16-5所示，A環(huán)受力：N1=；，當F1，即時A環(huán)將不能保持靜止。同理，時，B環(huán)將不能保持靜止，A、B兩環(huán)哪個先動，將由、的數(shù)值決定。圖決解16-5中的與是互相關(guān)聯(lián)的量。由正弦定律有，當AB值增大時，和均減小，和隨之增大。設(shè)C點與AB的距離為，由幾何關(guān)系可得，。設(shè)A滑動時，則，設(shè)B滑動時，則，比較和的大小即可知AB增大（即減?。rA、B兩環(huán)誰先滑動。（）若，則A先滑動，即的條件下，當時，A即將滑動，此時 由此可得結(jié)論二：在，的情況下，若系統(tǒng)保持平衡，AB的數(shù)值一定滿足下面的要求： （注意，此時的條件自然得到滿足）（）若，則B先滑動，即的條件下，當時，B即將滑動，此時由此可得結(jié)論三：當、滿足下列二條件時，在，且的情況下，若系統(tǒng)保持平衡，AB的數(shù)值一定滿足下面的要求： 若=，則，A、B將同時開始要滑動，此時AB的數(shù)值為 AB的數(shù)值滿足的條件為AB此結(jié)果已包括在結(jié)論二和結(jié)論三中符號“”的等號中。五、建立如圖決解16-9所示的坐標系，以粒子3入射速度為軸正方向。設(shè)每個粒子的質(zhì)量為，當粒子3與1相碰并粘在一起，而在細線斷開之前，三個粒子是一起運動的，若其共同速度為，按照動量守恒定律，有 （1）即也沿方式，其大小為細線斷開后彈簧釋放，彈性力做功使彈性勢能轉(zhuǎn)化為粒子1、3和粒子2的動能增量。設(shè)粒子1、3最后的速度為，粒子2最后的速度為，由機械能守恒和動量守恒定律可知 （2） （3）因彈簧安置的方向不同等原因，粒子2將可能以不同的速度向各方向飛出，設(shè)與的夾角為，在細線崩斷過程中，粒子2和粒子1、3由于受到彈力的沖量作用，都將產(chǎn)生相應(yīng)的動量的增量，從而有速度的增量，設(shè)其速度增量分別為和，則有 或 （4） 將（4）式代入（3）式，得 因而 或 （5）（2）式可寫成如下的形式將（4）、（5）兩式代入上式并化簡，有 得到（6）式表明，在給定的條件下，的大小是一定的，的大小和方向與的方向有關(guān)，即與彈簧安置的方向有關(guān)，如圖決解16-10所示。若和的大小一定，即圖中圓的半徑和P點到圓心的距離一定，當與垂直時，角最大，這時的方向沿圓的切線方向，所以在彈簧各種可能的安置方向中，以圖決解16-10所示的沿的方向安置時，粒子2有最大散射角，要求粒子2的散射角保持在30以內(nèi)，必須要求 即 或 （7）