九宮格的解題過程

.九宮格的解題過程第1步首先計算每行數(shù)字之和。19九個數(shù)字之和：12345678945九宮格共有三行，并且每行的數(shù)字之和相等，因此45/315，即每行數(shù)字之和為15。第2步計算中間格的數(shù)字。考慮第2行，第2列，和2條對角線的數(shù)字之和。它們的總和為15/460。在它們的總和中，中間格子的數(shù)字出現(xiàn)了4次，其它位置格子的數(shù)字都出現(xiàn)了而且僅出現(xiàn)了1次。所以，它們的總和（4中間格子的數(shù)字）（其它8個數(shù)字）（3中間格子的數(shù)字）（19九個數(shù)字之和）因此，603中間格子的數(shù)字45，中間格子的數(shù)字等于5第3步，奇數(shù)不能出現(xiàn)在4個角上的格子里。比如，如果數(shù)字9出現(xiàn)在角上的格子里，那么為了保證9所在行或所在列的數(shù)字和為15，必須需要4個數(shù)字，兩兩之和必須為6。1，2，3，4，6，7，8中，只有2和4組成和為6的數(shù)字對，找到第2個和為6的數(shù)字對是不可能的。因此，數(shù)字9不能出現(xiàn)在4個角上的格子里。同樣道理，1，3，7也不能出現(xiàn)在4個角上的格子里。第4步，2，4，6，8必須填在4個角上的格子里，并且保證對角線數(shù)字和為15。第5步，將1，3，7，9填入相應(yīng)的格子里就完成了九宮格填數(shù)字任務(wù)，注意和為15的條件。完成了填九宮格的任務(wù)后，我們進一步考慮，如果上面九宮格內(nèi)所有數(shù)字都加數(shù)字1會發(fā)生什么呢？即可不可以用數(shù)字2，3，4，5，6，7，8，9，10填九宮格，得到每一行，每一列，每一對角線的三個數(shù)字之和都相等的新九宮格呢。顯而易見，上面九宮格每行每列每對角線數(shù)字之和為18，奇數(shù)3，5，7，9處在4個角上的格子里，中間數(shù)6處在中間的格子里。從19和210各九個數(shù)字所填充的九宮格可以得出下列規(guī)律：1）九個數(shù)字是由9個相連的整數(shù)構(gòu)成的。2）九個數(shù)字中正中間的數(shù)字填在九宮格的中間格子里。19中的5，2-10中的6等。3）每行每列的數(shù)字和等于中間數(shù)字的三倍。比如1553和18=63。4）第2，4，6，8位的數(shù)字填充到4個角上的格子里。如2，3，4，5，6，7，8，9，10中的3，5，7，9和1，2，3，4，5，6，7，8，9中的2，4，6，8。問題1：已知9個相連的整數(shù)填充的九宮格其每行數(shù)字和為45，求這九個數(shù)字。中間格數(shù)字為45315，15為正中間的數(shù)字，因此九個數(shù)字為11，12，13，14，15，16，17，18，19。問題2：已知9個相連的整數(shù)填充的九宮格其每行數(shù)字和為96，求九宮格4個角上格子里的數(shù)。96332，得到九個數(shù)字為28，29，30，31，32，33，34，35，36。4個角上的數(shù)字為29，31，33，35，其中35和29為對角關(guān)系，31和33為對角關(guān)系。問題3：成公差為d（d!=0）的等差數(shù)列是否也填九宮格？比如公差為3的等差數(shù)列，1，4，7，10，13，16，19，22，25，如何填九宮格呢？5，15，25，35，45，55，65，75，85又怎樣填？古人說，“學(xué)貴有疑。小疑則小進，大疑則大進”。在學(xué)習(xí)中，我們要注意歸納和演繹能力的培養(yǎng)，總結(jié)一些規(guī)律，不但增加了學(xué)習(xí)的有效性和趣味性，對理解和掌握有關(guān)問題也很有益處。培育創(chuàng)新型人才既是學(xué)校和老師的責(zé)任，也是我們學(xué)生要刻意磨練的目標(biāo)。本文通過詳解九宮格問題，得到了一些有意義的結(jié)論和規(guī)律，而這些規(guī)律的獲得使我們對九宮格問題也有了更加深入的認識?；梅降那蠼馊A幻方的解法第一種：楊輝法：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。1243576892 9 47 5 36 1 8第二種：九宮圖也是幻方的別稱，三階幻方就是著名的洛書，他的排列是：“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，五居中央（9在上中，1在下中。3在左中，7在右中，2在左上，4在右上，6在左下，8在右下）第三種：羅伯法：最小的數(shù)據(jù)上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下寫，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一個樣8 1 63 5 74 9 2四階幻方的解法1、先把這16個數(shù)字按順序從小到到排成一個4乘4的方陣2、內(nèi)外四個角對角上互補的數(shù)相易，（方陣分為兩個正方形，外大內(nèi)小，然后把大正方形的四個對角上的數(shù)字對換，小正方形四個對角上的數(shù)字對換）即（1，16）（4，13）互換（6，11）（7，10）互換16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1另：對于n=4k階幻方，我們先把數(shù)字按順序填寫。寫好后，按4*4把它劃分成k*k個方陣。因為n是4的倍數(shù)，一定能用4*4的小方陣分割。然后把每個小方陣的對角線，象制作4階幻方的方法一樣，對角線上的數(shù)字換成互補的數(shù)字，就構(gòu)成幻方。五階幻方的解法：羅伯法：最小的數(shù)據(jù)上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下寫，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一個樣。17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9（在最上一行的中間填1,接著在1的右上方填2,由于1在最上一行,所以1的右上方應(yīng)該是第五行的第四個,接下來在2的右上方填3,3的右上方應(yīng)該是第三行第一個,所以在此填4,在4的右上方填5,在5的下方填6,接著按前面五個數(shù)的填法依次填7,8,9,10;在10的下方填11,然后按上面的方法填,每次填五個數(shù),直到完成.無論從上到下還是從左到右都是五排,所以每排的五個數(shù)之和為(1+2+3+4+25)5=65,因此,你可以驗算一下是否每個和都是65.此法適合于一切奇階幻方.）數(shù)獨游戲數(shù)獨，據(jù)說最先是在瑞典，后來到美國，然后到日本被發(fā)揚光大。這個游戲，進入了今年上海交大的自主招生試題最后一道大題就是數(shù)獨題。上面的圖片中，紅色是在玩游戲前給出的數(shù)字，藍色的數(shù)字就是后填的。游戲的規(guī)則很簡單，每一行填入19九個數(shù)字，每一列也填入19九個數(shù)字，但同時要滿足每一個九宮格中也包含19九個數(shù)字，也就是說每一個九宮格中也填入19九個數(shù)字。此圖的特別之處就是橫行縱列加上兩條對角線上的三個數(shù)字之和均為15。類似于這樣的問題，也稱之為幻方，像上面的九宮格，可稱為3階幻方（因每行，每列，兩條對角線上數(shù)字個數(shù)是3），還有4階、5階、6階等。此外還可分為奇階幻方和偶階幻方。九宮格就屬于奇階幻方。下面是個五階幻方。幻方的填寫是有規(guī)律的，我想通過上面兩個兩個幻方可以找到一些規(guī)律。偶階幻方的填寫規(guī)律比奇階幻方要稍微復(fù)雜小聲點說，我還不是太明白，還在繼續(xù)學(xué)習(xí)中。練習(xí)1：.完成一道數(shù)獨游戲題吧，說不定下回哪個考試也會有這樣的題呢！練習(xí)2：3階幻方三個數(shù)的和是15，5階幻方五個數(shù)的和是65，你能說出7階幻方中七個數(shù)的和是多少嗎？進一步，你能說出奇階幻方中n個數(shù)字的和是多少嗎？練習(xí)3： 完成一個7階幻方。比如說三階幻方，先向外翻折擴展，然后按上圖左二的規(guī)律，按順序?qū)懮?-9的數(shù)字，接下來幻方之外的數(shù)，按左往右仍，右往左仍，上往下扔，下往上扔的規(guī)律填進幻方，將其余的刪去，就得到一個橫豎斜都等于15的幻方了！下圖是五階幻方的解法，方法相同，只是規(guī)模大了點。七階幻方如下：（唉，上面那種做圖太累，后面的圖就來自于互聯(lián)網(wǎng)了。）只要按照這個方法，無論多少階，只要是個奇數(shù)，都可以畫得出來，至少一個！你可以奸詐一點，比如說畫好菱形后，1的起始位置是可以換的，寫的方向也是可以換的，但是最后出來的幻方本質(zhì)上是一樣的。對于偶數(shù)呢，最小是4階的，四階的幻方老師也講了一個解法，就是大對角線換，小對角線也換。步驟如下：先按順序?qū)懗?-16的數(shù)在4階幻方里面，如下：接下來所謂的大對角線換，小對角線換就是1和16換，4和13換，6和11，7和10，換完就出來了：橫豎斜都是34。然后問題就來了，有沒有辦法可以解出任意高偶數(shù)階的幻方的方法呢？我曾經(jīng)很傻很天真的試圖把4階這種換對角線的方法推廣到6階，但是怎么弄都未果，估計這種方法對于4階只是種巧合吧。后來大學(xué)玩matlab后，發(fā)現(xiàn)matlab里面函數(shù)magic可以輸出任意階的幻方，哦，soga，原來真的有的啊。后來我就對著matlab里面magic的源文件寫出了這個C+版本，只是為了鞏固自己對四階的理解罷了。然后下面整理一下一般的偶數(shù)階幻方的解法，解法來源于互聯(lián)網(wǎng)。首先一般的偶數(shù)階解法都是把偶數(shù)分成兩種，4,8,12,16這種4m的雙偶數(shù)和6,10,14這種4m+2的單偶數(shù)，一般的解法都是分開來兩類的，包括matlab里面的magic函數(shù)，不過查了一下也有很多大牛研究出了統(tǒng)一解法，更有大神把奇偶階全部同意了，膜拜ing。雙偶數(shù)解法：偶數(shù)階下面先講簡單的雙偶數(shù)解法，看了很多解法，但是最后發(fā)現(xiàn)了一個通解，網(wǎng)上看到的大部分解法都是這個通解的特例。首先呢，如下圖所示，先把n階幻方分成4個小塊，對于左上角那個你任意的把一半放個填成灰色，但是有一個約束條件，就是左上角這個小塊中每一行每一列都要只有n/4個灰色的。然后呢，右上的那個小塊的填色方案就是左上填色方案的左右鏡像對稱，左下的就是左上天色方案的上下鏡像對稱，自然，右下就是左上的中心對稱了。如下圖所示：然后呢，你把1-n這么多個數(shù)按順序填進白色的格子里去，灰色的部分要留著。如下面左圖所示：之后呢，把剩下的沒填的數(shù)反過來填進去，也就是從右下到左上的順序，填完雙偶數(shù)階幻方就出來了?，F(xiàn)在我們來討論一下這種方法，首先看我們原本的四階幻方的解法，有沒有發(fā)現(xiàn)其實和這種方法是一個東西。然后再看看雙偶數(shù)階的另一種解法，比如說下面這個8階幻方：這里的解法呢，就是把整個幻方分成22個44的小塊，按順序填好1-64個數(shù)，然后每個44小塊的對角線上的數(shù)不變，其余的數(shù)做中心對稱。再看看下面這個：12階，分成33個44的小塊，和之前一樣，按順序填好數(shù)，然后每個44小塊的對角線上的數(shù)不變，其余的數(shù)做中心對稱。雖然和我最開始的那種分法不一樣，但是你仔細一想，其實是完全一樣的，只是他的填色方案是固定的一種模式而已。還有一種說法是每個小塊對角線上的數(shù)換成互補的那個數(shù)，其實本質(zhì)還是一樣嘛。下面是一個雙偶數(shù)的matlab程序，我填色方案用時是國際象棋棋盤那種黑白相間。function a = hf_4m(n)flag = zeros(n/2,n/2);flag(1:2:n/2,1:2:n/2) = 1;flag(2:2:n/2,2:2:n/2) = 1;flag = flag fliplr(flag);flipud(flag) flipud(fliplr(flag);a = reshape(1:n2,n,n);a = a .* flag;a = reshape(a,1,n2);blank_idx = find(a=0);number_left = (1:n2) .* (a=0);number_left = fliplr(setdiff(number_left,0);a(blank_idx) = number_left;a = reshape(a,n,n);單偶數(shù)解法：下面來看看單偶數(shù)的解法，這種現(xiàn)在主要有兩種方法，分區(qū)法和易位法。其中呢，分區(qū)法也有兩種。先說分區(qū)法，首先呢就是把方陣劃分成下面A,B,C,D四塊，因為是單偶數(shù)，所以每一塊必然是個奇數(shù)幻方。然后把1n/4這些數(shù)組成的奇數(shù)階幻方算出來，填進A里面，然后接下來的n/4的幻方填進D里面，（其實有個很簡單的方法，就是把A里面的每個數(shù)加上n/4就可以了），再把D里面的加上n/4放到B里面，最后那些放到C里面。下面是10階幻方的一個例子：然后下面的東西有點拗口，但是細細讀就會明白了：先假設(shè)階數(shù)是4k+2，那么k=(n-2)/4，然后下面是第一種方法：從A小塊的中間行中間格開始（上圖中的13），向右找k個數(shù)（包括中間行中間格那個），和C小塊的相應(yīng)位置的數(shù)換位。A小塊的其他行（也就是除了最中間那一行）從最左開始數(shù)出k個數(shù)，和C中相應(yīng)位置的數(shù)換。B小塊中間列開始，向左數(shù)K-1列出來（當(dāng)然也包括B小塊中間那一列），然后這些列和D小塊中相應(yīng)未知的數(shù)換位。（6階k-1=0，就不用了）然后就完成了。14階幻方的換位方式如下：這種方法的matlab函數(shù)如下：function a = hf_4m_2(n)a = zeros(n,n);a(1:n/2,1:n/2) = magic(n/2);a(n/2+1:n,n/2+1:n) = a(1:n/2,1:n/2) + n2/4;a(1:n/2,n/2+1:n) = a(1:n/2,1:n/2) + n2/4*2;a(n/2+1:n,1:n/2) = a(1:n/2,1:n/2) + n2/4*3;m = (n/2-1)/2;temp = a(n/2+1)/2,(n/2+1)/2:(n/2+1)/2+m-1);a(n/2+1)/2,(n/2+1)/2:(n/2+1)/2+m-1) = a(n/2+1)/2+n/2,(n/2+1)/2:(n/2+1)/2+m-1);a(n/2+1)/2+n/2,(n/2+1)/2:(n/2+1)/2+m-1) = temp;temp = a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2),1:1+m-1);a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2),1:1+m-1) = a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2)+n/2,1:1+m-1);a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2)+n/2,1:1+m-1) = temp;if(m1)temp = a(1:n/2,n*3/4+1/2-m+2:n*3/4+1/2);a(1:n/2,n*3/4+1/2-m+2:n*3/4+1/2) = a(1+n/2:n,n*3/4+1/2-m+2:n*3/4+1/2);a(1+n/2:n,n*3/4+1/2-m+2:n*3/4+1/2) = temp;end然后還有一種換位方法，A小塊中間那一行第2列開始往右數(shù)k個數(shù)，和C小塊中相應(yīng)位置的數(shù)換位，A小塊中其余行都從最左開始向右數(shù)k列，這些數(shù)也和C小塊的做交換。B小塊中，從最右開始向左數(shù)k-1個列，與D中相應(yīng)位置的數(shù)換位，結(jié)果也是一樣的。這種方法matlab代碼如下：function a = hf_4m_2(n)a = zeros(n,n);a(1:n/2,1:n/2) = magic(n/2);a(n/2+1:n,n/2+1:n) = a(1:n/2,1:n/2) + n2/4;a(1:n/2,n/2+1:n) = a(1:n/2,1:n/2) + n2/4*2;a(n/2+1:n,1:n/2) = a(1:n/2,1:n/2) + n2/4*3;m = (n/2-1)/2;temp = a(n/2+1)/2,2:2+m-1);a(n/2+1)/2,2:2+m-1) = a(n/2+1)/2+n/2,2:2+m-1);a(n/2+1)/2+n/2,2:2+m-1) = temp;temp = a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2),1:1+m-1);a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2),1:1+m-1) = a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2)+n/2,1:1+m-1);a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2)+n/2,1:1+m-1) = temp;if(m1)temp = a(1:n/2,n:-1:n-m+2); a(1:n/2,n:-1:n-m+2) = a(1:n/2)+n/2,n:-1:n-m+2);a(1:n/2)+n/2,n:-1:n-m+2) = temp;end這兩中方法為什么可行我還沒仔細研究，但是剛剛編程發(fā)現(xiàn)一個很神奇的現(xiàn)象，就是第一種方法的BD小塊交換規(guī)則配上第二種方法的AC小塊交換規(guī)則，也是可以的。囧。對于單偶數(shù)的幻方，還有一種楊輝創(chuàng)造的二階方陣易位法（我發(fā)現(xiàn)楊輝老兄很喜歡玩數(shù)陣）。對于n = 4m+2階幻方，先用奇數(shù)階的方法做出一個2m+1階幻方來，然后把1n那么多個數(shù)4個一組，分成(2m+1)個組，1,2,3,45,6,7,89,10,11,12分別稱為第1組，第2組，第3組第(2m+1)組。接下來那每一組四個數(shù)按下面的方法放入22的方陣中：然后把之前那個2m+1階幻方，每個位置上的數(shù)如果是i，那么就換成第i組22方陣，這樣就有了一個nn的方陣了，但是這個方陣還不是幻方，需要再修正。我們繼續(xù)討論剛才那一個2m+1階幻方，假設(shè)我們n=14，那么2m+1 = 7，對于下圖中這個7階的方陣，我們把倒數(shù)第二行染綠，然后從中間那一行開始向下知道倒數(shù)第三行為止全部染藍，如果中間那一行就是倒數(shù)第二行，那么不染藍。接下來在把最左和最右兩列的染色向下拉一格。如下圖：我們知道對應(yīng)于剛剛做出來的那個nn的方陣，每22方陣，四個數(shù)對應(yīng)于上圖的一個格。我們現(xiàn)在做如下操作，如果是綠色的格子，那么22方陣的最下面兩個數(shù)交換，如果是藍色格子的話，22方陣不僅下面兩個數(shù)交換，而且上面兩個數(shù)也要交換。下面舉個例子：對于14階幻方，先生成一個7階幻方然后把相應(yīng)位置填上相應(yīng)的2階方陣：填好色：綠色格子下面兩個數(shù)換位，藍色的上下都換，就得到結(jié)果啦楊輝易位法代碼如下：function a = hf_4m_2_yiwei(n)h = magic(n/2);a = zeros(n,n);for i = 1 : n/2for j = 1 : n/2a(i*2-1:i*2,j*2-1:j*2) = 2 3;4 1 + (h(i,j)-1)*4;endendflag = zeros(n/2,n/2);flag(n/2-1,:) = 1; %下面兩個互換if(n 6) flag(n/2+1)/2:n/2-2,:) = 2;%上面下面都要換endflag(2:n/2,1 n/2) = flag(1:n/2-1,1 n/2);for i = 1 : n/2for j = 1 : n/2if(flag(i,j) 0)temp = a(i*2,j*2-1);a(i*2,j*2-1) = a(i*2,j*2);a(i*2,j*2) = temp;endif(flag(i,j) = 2)temp = a(i*2-1,j*2-1);a(i*2-1,j*2-1) = a(i*2-1,j*2);a(i*2-1,j*2) = temp;endendend喲西，好了，終于寫的差不多了。自個研究了一下，收獲頗多。不過幻方可不僅僅是構(gòu)造那么簡單，以前看的一本書里面有各種變態(tài)的幻方，什么切尾幻方什么的。還有很多數(shù)學(xué)上的東西，下面提問，請證明：偶數(shù)階幻方行列式值一定是0！下面附上一個很多年前改寫matlab的magic函數(shù)的C+代碼：#include#includeclassmagicpublic: int *m; magic(); magic(int n); magic(magic &c); void show(); int size;magic:magic(magic &c) int n=c.size; size=n; m=newint*n; for(int l=0;ln;l+) ml=newintn; for(int k=0;kn;k+) mlk=c.mlk; magic:magic(int n) size=n; m=newint*n; for(int l=0;ln;l+) ml=newintn; for(int k=0;kn;k+) mlk=0; void magic:show() for(int l=0;lsize;l+) for(int k=0;ksize;k+) coutsetw(3)mlk ; coutendl; coutendl;magiccreatmagic(int n) intl,k; if(n%2=1) magic i(n),j(n),m(n),a(n),b(n); for(l=0;ln;l+) for(k=0;kn;k+) j.mlk=k+1; i.mlk=l+1; for(l=0;ln;l+) for(k=0;kn;k+) a.mlk=(i.mlk+j.mlk-(n+3)/2)%n; if(a.mlk0) a.mlk+=n; b.mlk=(i.mlk+j.mlk*2-2)%n; if(b.mlk0) b.mlk+=n; m.mlk=n*a.mlk+b.mlk+1; return m; elseif(n%4=0) magic i(n),j(n),d(n),m(n); for(l=0;ln;l+) for(k=0;kn;k+) j.mlk=k+1; i.mlk=l+1; d.mlk=( (i.mlk%4)/2) = (j.mlk%4)/2) ); m.mlk=l*n+k+1; if(d.mlk=1) m.mlk=n*n+1-m.mlk; return m; else int p=n/2; magic t(creatmagic(p),m(n); for(l=0;ln;l+) for(k=0;kn;k+) if(ln/2&kn/2) m.mlk=t.mlk; elseif