高一數(shù)學必修3概率公式總結以及例題-人教課標版(精美教案)

高一數(shù)學必修概率公式總結以及例題u 事件：隨機事件（ ），確定性事件: 必然事件( )和不可能事件( )v隨機事件的概率(統(tǒng)計定義)：一般的，如果隨機事件在次實驗中發(fā)生了次，當實驗的次數(shù)很大時，我們稱事件發(fā)生的概率為 說明： 一個隨機事件發(fā)生于具有隨機性，但又存在統(tǒng)計的規(guī)律性，在進行大量的重復事件時某個事件是否發(fā)生，具有頻率的穩(wěn)定性 ，而頻率的穩(wěn)定性又是必然的，因此偶然性和必然性對立統(tǒng)一 不可能事件和確定事件可以看成隨機事件的極端情況 隨機事件的頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這個擺動的幅度越來越小，而這個接近的某個常數(shù)，我們稱之為概事件發(fā)生的概率 概率是有巨大的數(shù)據(jù)統(tǒng)計后得出的結果，講的是一種大的整體的趨勢，而頻率是具體的統(tǒng)計的結果 概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值w概率必須滿足三個基本要求： 對任意的一個隨機事件 ，有如果事件x古典概率（ ）： 所有基本事件有限個 每個基本事件發(fā)生的可能性都相等 滿足這兩個條件的概率模型成為古典概型 如果一次試驗的等可能的基本事件的個數(shù)為個，則每一個基本事件發(fā)生的概率都是，如果某個事件包含了其中的個等可能的基本事件，則事件發(fā)生的概率為 y幾何概型（ ）：一般地，一個幾何區(qū)域中隨機地取一點，記事件“改點落在其內部的一個區(qū)域內”為事件，則事件發(fā)生的概率為 （ 這里要求的側度不為，其中側度的意義由確定，一般地，線段的側度為該線段的長度；平面多變形的側度為該圖形的面積；立體圖像的側度為其體積 ）幾何概型的基本特點： 基本事件等可性 基本事件無限多說明：為了便于研究互斥事件，我們所研究的區(qū)域都是指的開區(qū)域，即不含邊界，在區(qū)域內隨機地取點，指的是該點落在區(qū)域內任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的側度成正比，而與其形狀無關。z互斥事件( )：不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件 對立事件（ ）：兩個互斥事件中必有一個發(fā)生,則稱兩個事件為對立事件 ，事件的對立事件 記為：獨立事件的概率：，若說明： 若可能都不發(fā)生，但不可能同時發(fā)生 ，從集合的關來看兩個事件互斥，即指兩個事件的集合的交集是空集 對立事件是指的兩個事件，而且必須有一個發(fā)生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一個發(fā)生，可能都不發(fā)生 對立事件一定是互斥事件 從集合論來看：表示互斥事件和對立事件的集合的交集都是空集，但兩個對立事件的并集是全集 ，而兩個互斥事件的并集不一定是全集 兩個對立事件的概率之和一定是 ，而兩個互斥事件的概率之和小于或者等于 若事件是互斥事件，則有 一般地，如果 兩兩互斥，則有 在本教材中 指的是 中至少發(fā)生一個 在具體做題中，希望大家一定要注意書寫過程，設處事件來，利用哪種概型解題，就按照那種概型的書寫格式，最重要的是要設出所求的事件來 ，具體的格式請參照我們課本上（新課標試驗教科書蘇教版）的例題|例題選講：例. 在大小相同的個球中，個是紅球，若從中任意選個，求所選的個球至少有一個是紅球的概率？【分析】題目所給的個球中有個紅球，個其它顏色的球，我們可以根據(jù)不同的思路有不同的解法解法：（互斥事件）設事件 為“選取個球至少有個是紅球” ，則其互斥事件為 意義為“選取個球都是其它顏色球” 答：所選的個球至少有一個是紅球的概率為 .解法：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有種情況，設事件 為“選取個球至少有個是紅球” ，而事件所含有的基本事件數(shù)有 所以答：所選的個球至少有一個是紅球的概率為 .解法：（獨立事件概率）不妨把其它顏色的球設為白色求，設事件 為“選取個球至少有個是紅球” ，事件有三種可能的情況：紅白；白紅；紅，對應的概率分別為：， 則有 答：所選的個球至少有一個是紅球的概率為 .評價：本題重點考察我們對于概率基本知識的理解，綜合所學的方法，根據(jù)自己的理解用不同的方法，但是基本的解題步驟不能少!變式訓練： 在大小相同的個球中，個是紅球， 個是白球，若從中任意選取個，求至少有個是紅球的概率？解法：（互斥事件）設事件 為“選取個球至少有個是紅球”，則其互斥事件為， 意義為“選取個球都是白球”答：所選的個球至少有一個是紅球的概率為 .解法：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有種情況，設事件 為“選取個球至少有個是紅球” ，而事件所含有的基本事件數(shù)有， 所以 答：所選的個球至少有一個是紅球的概率為 .解法：（獨立事件概率）設事件 為“選取個球至少有個是紅球” ，則事件的情況如下： 紅 白 白 紅白 白 白 紅 白 紅 白 紅 紅 白 紅白 紅 白 紅 白 紅 紅 所以 答：所選的個球至少有一個是紅球的概率為 .變式訓練：盒中有只燈泡，其中只次品，只正品，有放回的從中任抽次，每次抽取只，試求下列事件的概率：（）第次抽到的是次品（）抽到的次中，正品、次品各一次解：設事件為“第次抽到的是次品”，事件為“抽到的次中，正品、次品各一次”則 ，（或者）答：第次抽到的是次品的概率為 ，抽到的次中，正品、次品各一次的概率為變式訓練：甲乙兩人參加一次考試共有道選擇題，道填空題，每人抽一道題，抽到后不放回，求（）甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率？（）求至少人抽到選擇題的概率？【分析】（）由于是不放回的抽，且只抽兩道題，甲抽到選擇題而乙抽到填空題是獨立的，所以可以用獨立事件的概率（）事件“至少人抽到選擇題”和事件“兩人都抽到填空題”時互斥事件，所以可以用互斥事件的概率來解：設事件為“甲抽到選擇題而乙抽到填空題”，事件為“至少人抽到選擇題”，則為“兩人都抽到填空題” （）（） 則 答：甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率為 ，少人抽到選擇題的概率為 .變式訓練：一只口袋里裝有個大小形狀相同的球，其中個紅球， 個黃球，從中不放回摸出個球，球兩個球顏色不同的概率？【分析】先后抽出兩個球顏色相同要么是紅球，要么是黃球略解:變式訓練：設盒子中有個球，其中個紅球， 個白球，每次人抽一個，然后放回，若連續(xù)抽兩次，則抽到個紅球個白球的概率是多少？略解:例. 急救飛機向一個邊長為千米的正方形急救區(qū)域空頭急救物品，在該區(qū)域內有一個長寬分別為米和米的水池，當急救物品落在水池及距離水池米的范圍內時，物品會失效，假設急救物品落在正方形區(qū)域內的任意一點是隨機的（不考慮落在正方形區(qū)域范圍之外的），求發(fā)放急救物品無效的概率？【分析】為題屬于幾何概型，切是平面圖形，其測度用面積來衡量解：如圖，設急救物品投放的所有可能的區(qū)域，即邊長為千米的正方形為區(qū)域 ，事件“發(fā)放急救物品無效”為 ，距離水池米范圍為區(qū)域 ，即為圖中的陰影部分， 則有答：略 說明：這種題目要看清題目意思，為了利用幾何概率，題目中一般都會有落在所給的大的區(qū)域之外的不計的條件，但如果涉及到網(wǎng)格的現(xiàn)象是一般則不需要這個條件，因為超出一個網(wǎng)格，就會進入另外一個網(wǎng)格，分析是同樣的變式訓練：在地上畫一正方形線框，其邊長等于一枚硬幣的直徑的倍，向方框中投擲硬幣硬幣完全落在正方形外的不計，求硬幣完全落在正方形內的概率？略解：變式訓練：如圖，設有一個正方形網(wǎng)格，其中每個小正三角形的邊長都是 , 現(xiàn)有一直徑等于的硬幣落在此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點的概率？【分析】因為圓的位置由圓心確定，所以要與網(wǎng)格線有公共點只要圓心到網(wǎng)格線的距離小于等于半徑解：如圖，正三角形內有一正三角形 ，其中 ，當圓心落在三角形 之外時，硬幣與網(wǎng)格有公共點答：硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點的概率為 .變式訓練：如圖，已知矩形的概率？略解：變式訓練：平面上畫了彼此相距2a的平行線把一枚半徑 的硬幣，任意的拋在這個平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率？解：設事件為“硬幣不與任何一條平行線相碰”為了確定硬幣的位置，有硬幣的中心向距離最近的平行線作垂線，垂足2a為， 線段的長度的取值范圍為 ，其長度就是幾何概型所有的可能性構成的區(qū)域的幾何測度，只有當時，硬幣不與平行線相碰，其長度就是滿足事件 的區(qū)域的幾何測度，所以答：硬幣不與任何一條平行線相碰的概率為【評價與鏈接】該題是幾何概型的典型題目，要求我們正確確認區(qū)域和區(qū)域，理解它們的關系以及它們的測度如何來刻畫。蒲豐投針問題：平面上畫有等距離的一系列的平行線，平行線間距離為（） ，向平面內任意的投擲一枚長為的針，求針與平行線相交的概率？ 解：以表示針的中點與最近的一條平行線的距離，又以表示針與此直線的交角，如圖易知 ，有這兩式可以確定平面上的一個矩形，這是為了針與平行線相交，其充要條件為，有這個不等式表示的區(qū)域為圖中的陰影部分，由等可能性知 2a如果，而關于的值，則可以用實驗的方法，用頻率去近似它，既: 如果 投針 次，其中平行線相交的次數(shù)為次，則頻率為 ，于是，注釋：這也是歷史上有名的問題之一，用試驗的方法先用數(shù)學積分的手段結合幾何概型求出概率，再用頻率近似概率來建立等式，進而求出. 在歷史上有好多的數(shù)學家用不同的方法來計算 ，如中國的祖沖之父子倆，還有撒豆試驗，也是可以用來求 的.會面問題：甲乙兩人約定在時到時在某地會面，并約定先到者等候另一人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率？解：設“兩人能會面”為事件，以 和分別表示甲、乙兩人到達約會地點的時間，則兩人能夠會面的充要條件為： 在平面上建立如圖所示的坐標系，則的所有可能的結果是邊長為的正方形,而可能會面的時間由圖中陰影部分所表示，由幾何概型知，答：兩人能會面的概率 .課本上一道例題的變式訓練：如圖，在等腰直角三角形中，在斜邊上任取一點，求的概率？【分析】點隨機的落在線段上，故線段為區(qū)域，當點位于如圖的內時，故線段即為區(qū)域解:在上截取 ，于是答：的概率為【變式訓練】如圖，在等腰直角三角形中，在內部任意作一條射線，與線段交于點，求的概率？ 錯解：在上截取 ，在內部任意作一條射線，滿足條件的看作是在線段上任取一點，則有 【分析】這種解法看似很有道理，但仔細一看值得深思，我們再看看題目的條件已經(jīng)發(fā)生了改變，雖然在線段上取點是等可能的，但過和任取得一點所作的射線是均勻的，所以不能把等可能的取點看作是等可能的取射線，在確定基本事件時一定要注意觀察角度， 注意基本事件的等可能性.正解：在內的射線是均勻分布的，所以射線作在任何位置都是等可能的，在上截取 ，則 ，故滿足條件的概率為評價：這就要求同學們根據(jù)不同的問題選取不同的角度，確定區(qū)域和，求出其測度，再利用幾何概型來求概率.例3. 利用隨機模擬法計算曲線所圍成的圖形的面積.【分析】在直角坐標系中作出長方形（ 所圍成的部分，用隨機模擬法結合幾何概型可以得到它的面積的近似值） 解：（）利用計算機或者計算器生成兩組到區(qū)間上的隨機數(shù)，（）進行平移變換：，其中分別隨機點的橫坐標和縱坐標（）假如作次試驗，數(shù)處落在陰影部分的點數(shù)，用幾何概型公式計算陰影部分的面積 由 得出 評價：這是一種用計算機模擬試驗的方法，結合幾何概型 公式來計算若干函數(shù)圍成的圖形面積，其基本原理還是利用我們教材上介紹的撒豆試驗，只是用隨機數(shù)來代替豆子而已，另外要求我們理解用試驗的頻率來近似概率的思想. 另外這種題目到我們學習了積分，還可以有下面的解法：天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的靈感。 良言一句三冬暖，惡語傷人六月寒，下面是板報網(wǎng)為大家分享的有關激勵人的名言，激勵人心的句子，希望能夠在大家的生活學習工作中起到鼓勵的作用。不要心存僥幸，避免貪婪的心作怪，這會令你思考發(fā)生短路。如