北京市石景山區(qū)2016屆高三上期末數(shù)學(xué)試卷（理）含答案解析

第 1 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 2015年北京市石景山區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) 1設(shè)集合 M=0， 1， 2， N=x|3x+2 0，則 MN=（ ） A 1 B 2 C 0， 1 D 1， 2 2若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=2x+y 的最大值為（ ） A 0 B 2 C 3 D 4 3如圖的程序框圖表示算法的運(yùn)行結(jié)果是（ ） A 2 B 2 C 1 D 1 4已知數(shù)列 等差數(shù)列， ， ，則前 n 項(xiàng)和 最大的是（ ） A “”是 “直線 2x+1=0 與直線 y 2=0 平行 ”的（ ） A充分必要條件 B充分而不必要條件 C必要而不充分條件 D既不充分也不必要條件 6若曲線 p 0）上只有一個(gè)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為 1，則 p 的值為（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7 如圖，點(diǎn) O 為正方體 ABCD的中心，點(diǎn) E 為面 B中心，點(diǎn) F 為 BC的中點(diǎn)，則空間四邊形 D該正方體的各個(gè)面上的投影不可能是（ ） 第 2 頁(yè)（共 18 頁(yè)） A B C D 8如圖，在等腰梯形 ， ， E， F 分別是底邊 中點(diǎn)，把四邊形直線 起，使得面 面 動(dòng)點(diǎn) P 平面 平面 成的角分別為 1， 2（ 1， 2 均不為 0）若 1=2，則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡為（ ） A直線 B橢圓 C圓 D拋物線 二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 9在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的 點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為 10 的二項(xiàng)展開式中 x 項(xiàng)的系數(shù)為 （用數(shù)字作答） 11在 ，角 A， B， C 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a， b， c，且 a=15， b=10， A=60，則 12在極坐標(biāo)系中，設(shè)曲線 =2 和 相交于點(diǎn) A， B，則 | 13 2 位男生和 3 位女生共 5 位同學(xué)站成一排，若 3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 種（用數(shù)字作答） 14股票交易的開 盤價(jià)是這樣確定的：每天開盤前，由投資者填報(bào)某種股票的意向買價(jià)或意向賣價(jià)以及相應(yīng)的意向股數(shù)，然后由計(jì)算機(jī)根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定適當(dāng)?shù)膬r(jià)格，使得在該價(jià)位上能夠成交的股數(shù)最多（注：當(dāng)賣方意向價(jià)不高于開盤價(jià)，同時(shí)買方意向價(jià)不低于開盤價(jià)，能夠成交）根據(jù)以下數(shù)據(jù)，這種股票的開盤價(jià)為 元，能夠成交的股數(shù)為 賣家意向價(jià)（元） 向股數(shù) 200 400 500 100 買家意向價(jià)（元） 向股數(shù) 600 300 300 100 三、解答題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程 15已知函數(shù) f（ x） =2 x， x R （ ）求函數(shù) f（ x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間； 第 3 頁(yè)（共 18 頁(yè)） （ ）求函數(shù) f（ x）在 上的最大值與最小值 16某教育主管部門到一所中學(xué)檢查學(xué)生的體質(zhì)健康情況從全體學(xué)生中，隨機(jī)抽取 12 名進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試，測(cè)試成績(jī)（百分制）以莖葉圖形式表示如圖所示根據(jù)學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)，成績(jī)不低于 76 的為優(yōu)良 （ ）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； （ ）將頻率視為概率根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，在該校學(xué)生中任選 3 人進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試，求至少有 1 人成績(jī)是 “優(yōu)良 ”的概率； （ ）從抽取的 12 人中隨機(jī)選取 3 人，記 表示成績(jī) “優(yōu)良 ”的學(xué)生人數(shù)，求 的分布列及期望 17在四棱錐 P ，側(cè)面 底面 E 為 點(diǎn)，底面 0， D=， （ ）求證： 平面 （ ）求證 ： 平面 （ ）在線段 是否存在一點(diǎn) Q，使得二面角 Q P 為 45？若存在，求 的值；若不存在，請(qǐng)述明理由 18已知函數(shù) f（ x） =x 1+ （ a R， e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） （ ）若曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線平行于 x 軸，求 a 的值； （ ）求函數(shù) f（ x）的極值； （ ）當(dāng) a=1 的值時(shí)，若直線 l： y=1 與曲線 y=f（ x）沒有公共點(diǎn)，求 k 的最大值 19已知橢圓 C： （ a b 0）的焦距為 4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形 （ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； 第 4 頁(yè)（共 18 頁(yè)） （ ）設(shè) F 為橢圓 C 的左焦點(diǎn)， M 為直線 x= 3 上任意一點(diǎn)，過(guò) F 作 垂線交橢圓 ， Q證明： 過(guò)線段 中點(diǎn) N（其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） 20給定一個(gè)數(shù)列 在這個(gè)數(shù)列里，任取 m（ m 3， m N*）項(xiàng)，并且不改變它們?cè)跀?shù)列 的先后次序，得到的數(shù)列 一個(gè) m 階 子數(shù)列 已知數(shù)列 通項(xiàng)公式為 （ n N*， a 為常數(shù)），等差數(shù)列 數(shù)列 一個(gè) 3 子階數(shù)列 （ 1）求 a 的值； （ 2）等差數(shù)列 ， 一個(gè) m（ m 3， m N*）階子數(shù)列，且 （ k 為常數(shù)， k N*， k 2），求證： m k+1 （ 3）等比數(shù)列 ， 一個(gè) m（ m 3， m N*）階子數(shù)列，求證： c1+2 第 5 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 2015年北京市石景山區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) 1設(shè)集合 M=0， 1， 2， N=x|3x+2 0，則 MN=（ ） A 1 B 2 C 0， 1 D 1， 2 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 求出集合 N 的元素，利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論 【解答】 解： N=x|3x+2 0=x|（ x 1）（ x 2） 0=x|1 x 2， MN=1， 2， 故選： D 2若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=2x+y 的最大值為（ ） A 0 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 化目標(biāo)函數(shù) z=2x+y 為 y= 2x+z， 由圖可知，當(dāng)直線 y= 2x+z 過(guò) A（ 2， 0）時(shí)，直線在 y 軸上的截距最大， z 有最大值為 4 故選： D 3如圖的程序框圖表示算法的運(yùn)行結(jié)果是（ ） 第 6 頁(yè)（共 18 頁(yè)） A 2 B 2 C 1 D 1 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 S， i 的值，當(dāng) i=5 時(shí)滿足條件 i 4，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 2 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 S=0， i=1 不滿足條件 i 4，不滿足條件 i 是偶數(shù)， S=1， i=2 不滿足條件 i 4，滿足條件 i 是偶數(shù)， S= 1， i=3 不滿足條件 i 4，不滿足條件 i 是偶數(shù)， S=2， i=4 不滿足條件 i 4，滿足條件 i 是偶數(shù)， S= 2， i=5 滿足條件 i 4，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 2 故選： A 4已知數(shù)列 等差數(shù)列， ， ，則前 n 項(xiàng)和 最大的是（ ） A 考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 由 等差數(shù)列， ， ，解得 6， d= 4故 28n= 2（ n ）2+ 由此能求出結(jié)果 【解答】 解： 等差數(shù)列， ， ， ，解得 6， d= 4 6n+ 第 7 頁(yè)（共 18 頁(yè)） = 28n = 2（ n ） 2+ 當(dāng) n=4 或 n=5 時(shí)， 最大值 故選 B 5 “”是 “直線 2x+1=0 與直線 y 2=0 平行 ”的（ ） A充分必要條件 B充分而不必要條件 C必要而不充分條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 兩條直線平行的判定 【分析】 本題考查線線平行關(guān)系公式的利用，注意 2 條線是否重合 【解答】 解： 兩直線平行 斜率相等即可得 ， 又因?yàn)椴荒苤睾希?dāng) a=1， b=4 時(shí)，滿足 ，但是重合， 所以選 C 6若曲線 p 0）上只有一個(gè)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為 1，則 p 的值為（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考點(diǎn)】 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 利用拋物線的性質(zhì)求出 p 即可 【解答】 解：因?yàn)閽佄锞€關(guān)于拋物線的軸對(duì)稱，所以拋物線頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離唯一， 可得 ， p=2 故選： C 7如圖，點(diǎn) O 為正方體 ABCD的中心，點(diǎn) E 為面 B中心，點(diǎn) F 為 BC的中點(diǎn)，則空間四邊形 D該正方體的各個(gè)面上的投影不可能是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖 【分析】 根據(jù)平行投影的特點(diǎn)和正方體的性質(zhì)，得到分別從正方體三個(gè)不同的角度來(lái)觀察正方體，得到三個(gè)不同的投影圖，逐個(gè)檢驗(yàn)，得到結(jié)果 【解答】 解：由題意知光線從上向下照射，得到 C， 光線從前向 后照射，得到 A， 光線從左向右照射得到 B， 故空間四邊形 D該正方體的各個(gè)面上的投影不可能是 D， 故選： D 第 8 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 8如圖，在等腰梯形 ， ， E， F 分別是底邊 中點(diǎn)，把四邊形直線 起，使得面 面 動(dòng)點(diǎn) P 平面 平面 成的角分別為 1， 2（ 1， 2 均不為 0）若 1=2，則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡為（ ） A直線 B橢圓 C圓 D拋物線 【考點(diǎn)】 軌跡方程 【分析】 先確定 以 在直線為 x 軸， 垂直平分線為 y 軸建立坐標(biāo)系，求出軌跡方程，即可得出結(jié)論 【解答】 解：由題意， 1=2， 以 在直線為 x 軸， 垂直平分線為 y 軸建立坐標(biāo)系，設(shè) E（ a， 0） ， F（ a， 0）， P（ x， y），則 （ x+a） 2+ （ x a） 2+ 30，軌跡為圓 故選： C 二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 9在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的基本概念 【分析】 利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位 i 的 冪運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出其在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 【解答】 解：復(fù)數(shù) = = = 1+i，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 1， 1）， 該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于 = ， 故答案為 10 的二項(xiàng)展開式中 x 項(xiàng)的系數(shù)為 5 （用數(shù)字作答） 第 9 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 【分析】 在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令 x 的冪指數(shù)等于 1，求出 r 的值，即可求得展開式中 x 項(xiàng)的系數(shù) 【解答】 解： 的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為 = （ 1） r ，令=1，求得 r=1， 可得展開式中 x 項(xiàng)的系數(shù)為 = 5， 故答案為： 5 11在 ，角 A， B， C 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a， b， c，且 a=15， b=10， A=60，則 【考點(diǎn)】 正弦定理 【分析】 由正弦定理可得， 可求 后結(jié)合大邊對(duì)大角及同角平方關(guān)系即可求解 【解答】 解： a=15， b=10， A=60 由正弦定理可得， = = a b A B B 為銳角 = 故答案為： 12在極坐標(biāo)系中，設(shè)曲線 =2 和 相交于點(diǎn) A， B，則 | 2 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程 【分析】 由 =2，得 x2+，由 ，得 x=1，由此聯(lián)立方程組能求出交點(diǎn) A、 B，由此能求出 | 【解答】 解： =2， x2+， ， x=1， 聯(lián)立 ，得 或 ， A（ 1， ）， B（ 1， ）， |2 故答案為： 2 第 10 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 13 2 位男生和 3 位女生共 5 位同學(xué)站成一排，若 3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 72 種（用數(shù)字作答） 【考點(diǎn)】 排列、組合的實(shí)際應(yīng)用 【分 析】 把 3 位女生的兩位捆綁在一起看做一個(gè)復(fù)合元素，和剩下的一位女生，插入到 2位男生全排列后形成的 3 個(gè)空中的 2 個(gè)空中，問(wèn)題得以解決 【解答】 解：把 3 位女生的兩位捆綁在一起看做一個(gè)復(fù)合元素，和剩下的一位女生，插入到2 位男生全排列后形成的 3 個(gè)空中的 2 個(gè)空中， 故有 2 種， 故答案為： 72 14股票交易的開盤價(jià)是這樣確定的：每天開盤前，由投資者填報(bào)某種股票的意向買價(jià)或意向賣價(jià)以及相應(yīng)的意向股數(shù)，然后由計(jì)算機(jī)根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定適當(dāng)?shù)膬r(jià)格，使得在該價(jià)位上能夠成交的股數(shù)最多（注：當(dāng)賣方意向價(jià)不高 于開盤價(jià)，同時(shí)買方意向價(jià)不低于開盤價(jià)，能夠成交）根據(jù)以下數(shù)據(jù)，這種股票的開盤價(jià)為 ，能夠成交的股數(shù)為 600 賣家意向價(jià)（元） 向股數(shù) 200 400 500 100 買家意向價(jià)（元） 向股數(shù) 600 300 300 100 【考點(diǎn)】 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用 【分析】 分別計(jì)算出開盤價(jià)為 買家意向股數(shù)及賣家意向股數(shù)，進(jìn)而比較即得結(jié)論 【解答】 解：依題意，當(dāng)開盤價(jià)為 時(shí)，買家意向股數(shù)為 600+300+300+100=1300， 賣家意向股數(shù)為 200，此時(shí)能夠成交的股數(shù)為 200； 當(dāng)開盤價(jià)為 時(shí)，買家意向股數(shù)為 300+300+100=700， 賣家意向股數(shù)為 200+400=600，此時(shí)能夠成交的股數(shù)為 600； 當(dāng)開盤價(jià)為 時(shí)，買家意向股數(shù)為 300+100=400， 賣家意向股數(shù)為 200+400+500=1100，此時(shí)能夠成交的股數(shù)為 400； 當(dāng)開盤價(jià)為 時(shí)，買家意向股數(shù)為 100， 賣家意向股數(shù)為 200+400+500+100=1200，此時(shí)能夠成交的股數(shù)為 100； 故答案 為： 600 三、解答題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程 15已知函數(shù) f（ x） =2 x， x R （ ）求函數(shù) f（ x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間； （ ）求函數(shù) f（ x）在 上的最大值與最小值 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法 【分析】 （ ）先化簡(jiǎn)函數(shù)可得 f（ x） = ，即可求函數(shù) f（ x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間； 第 11 頁(yè)（共 18 頁(yè)） （ ）由定義域根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù) f（ x）在 上的最大值與最小值 【解答】 解： = （ ） f（ x）的最小正周期為 令 ，解得 ， 所以函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間為 （ ）因?yàn)?，所以 ，所以 ， 于是 ，所以 0 f（ x） 1 當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)， f（ x）取最小值 f（ x） f（ 0） =0 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)最大值 16某教育主管部門到一所中學(xué)檢查學(xué)生的體質(zhì)健康情況從全體學(xué)生中，隨機(jī)抽取 12 名進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試，測(cè)試成績(jī)（百分制）以莖葉圖形式表示如圖所示根據(jù)學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)，成績(jī)不低于 76 的為優(yōu)良 （ ）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； （ ）將頻率視為概率根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，在該校學(xué)生中任選 3 人進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試，求至少有 1 人成績(jī)是 “優(yōu) 良 ”的概率； （ ）從抽取的 12 人中隨機(jī)選取 3 人，記 表示成績(jī) “優(yōu)良 ”的學(xué)生人數(shù)，求 的分布列及期望 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；古典概型及其概率計(jì)算公式 【分析】 （ ）利用莖葉圖能求出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù) （ ）抽取的 12 人中成績(jī)是 “優(yōu)良 ”的頻率為 ，由此得到從該校學(xué)生中任選 1 人，成績(jī)是 “優(yōu)良 ”的概率為 ，從而能求出 “在該校學(xué)生中任選 3 人，至少有 1 人成績(jī)是 優(yōu)良 ”的概率 第 12 頁(yè)（共 18 頁(yè)） （ ）由題意可得， 的可能取值為 0， 1， 2， 3，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出 的分布列和 【解答】 解：（ ）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為 86，中位數(shù)為 86 （ ）抽取的 12 人中成績(jī)是 “優(yōu)良 ”的頻率為 ， 故從該校學(xué)生中任選 1 人，成績(jī)是 “優(yōu)良 ”的概率為 ， 設(shè) “在該校學(xué)生中任選 3 人，至少有 1 人成績(jī)是 優(yōu)良 的事件 ”為 A， 則 P（ A） =1 =1 = （ ）由題意可得， 的可能取值為 0， 1， 2， 3 P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = = ， P（ =3） = = = ， 所以 的分布列為 0 1 2 3 P = 17在四棱錐 P ，側(cè)面 底面 E 為 點(diǎn)，底面 0， D=， （ ）求證： 平面 （ ）求證： 平面 （ ） 在線段 是否存在一點(diǎn) Q，使得二面角 Q P 為 45？若存在，求 的值；若不存在，請(qǐng)述明理由 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定 第 13 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【分析】 （ ）取 點(diǎn) F，連結(jié) F，從而 而平面 平面 此能證明 平面 （ ）推導(dǎo)出 此能證明 平面 （ ）以 D 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出在線段 存在 Q（ 0， 2 ， 2 ），使得二面角 Q P 為 45，= 【解答】 證明：（ ）取 點(diǎn) F，連結(jié) E 為 點(diǎn)， D=， ， F， 四邊形 平行四邊形， F=F， D=D， 面 面 平面 平面 面 平面 （ ） 在四棱錐 P ，側(cè)面 底面 底面 底面 直角梯形， 0， D=， ， C= = ， D=D， 平面 解：（ ）以 D 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， D（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， 1）， B（ 1， 1， 0）， C（ 0， 2， 0），設(shè) Q（ 0， b， c）， =（ 1， 1， 0）， =（ 0， 0， 1）， =（ 0， b， c）， 設(shè)平面 法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 x=1，得 =（ 1， 1， 0）， 設(shè)平面 法向量 =（ 則 ，取 ，得 =（ 1， 1， ）， 二面角 Q P 為 45， = = ，解得 = ， Q（ 0， ， c）， ，解得 c=2 ， Q（ 0， 2 ， 2 ）， = = 第 14 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 在線段 存在 Q（ 0， 2 ， 2 ），使得二面角 Q P 為 45， = 18已知函數(shù) f（ x） =x 1+ （ a R， e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） （ ）若曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線平行于 x 軸，求 a 的值； （ ）求函數(shù) f（ x）的極值； （ ）當(dāng) a=1 的值時(shí)，若直線 l： y=1 與曲線 y=f（ x）沒有公共點(diǎn)，求 k 的最大值 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 （ ）依題意， f（ 1） =0，從而可求得 a 的值； （ ） f（ x） =1 ，分 a 0 時(shí) a 0 討論，可知 f（ x）在 （ ， 單調(diào)遞減，在（ +）上單調(diào)遞增，從而可求其極值； （ ）令 g（ x） =f（ x）（ 1） =（ 1 k） x+ ，則直線 l： y=1 與曲線 y=f（ x）沒有公共點(diǎn) 方程 g（ x） =0 在 R 上沒有實(shí)數(shù)解，分 k 1 與 k 1 討論即可得答案 【解答】 解：（ ）由 f（ x） =x 1+ ，得 f（ x） =1 ， 又曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線平行于 x 軸， f（ 1） =0，即 1 =0，解得 a=e （ ） f（ x） =1 ， 當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x） 0， f（ x）為（ ， +）上的增函數(shù)，所以 f（ x）無(wú)極值； 當(dāng) a 0 時(shí)，令 f（ x） =0，得 ex=a， x= x （ ， f（ x） 0； x （ +）， f（ x） 0； f（ x）在 （ ， 單調(diào)遞減，在（ +）上單調(diào)遞增， 故 f（ x）在 x=取到極小值，且極小值為 f（ =極大值 綜上，當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x）無(wú)極值；當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x）在 x=取到極小值 極大值 第 15 頁(yè)（共 18 頁(yè)） （ ）當(dāng) a=1 時(shí)， f（ x） =x 1+ ，令 g（ x） =f（ x）（ 1） =（ 1 k） x+ ， 則直線 l： y=1 與曲線 y=f（ x）沒有公共點(diǎn)， 等價(jià)于方程 g（ x） =0 在 R 上沒有實(shí)數(shù)解 假設(shè) k 1，此時(shí) g（ 0） =1 0， g（ ） = 1+ 0， 又函數(shù) g（ x）的圖象連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理可知 g（ x） =0 在 R 上至少有一解， 與 “方程 g（ x） =0 在 R 上沒有實(shí)數(shù)解 ”矛盾，故 k 1 又 k=1 時(shí)， g（ x） = 0，知方程 g（ x） =0 在 R 上沒有實(shí)數(shù)解， 所以 k 的最大值為 1 19已知橢圓 C： （ a b 0）的焦距為 4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形 （ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）設(shè) F 為橢圓 C 的左焦點(diǎn)， M 為直線 x= 3 上 任意一點(diǎn)，過(guò) F 作 垂線交橢圓 ， Q證明： 過(guò)線段 中點(diǎn) N（其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【分析】 （ I）由橢圓 C 的焦距為 4，及等邊三角形的性質(zhì)和 a2=b2+得 a， b，即可求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）設(shè) M（ 3， m）， P（ Q（ 中點(diǎn)為 N（ m，設(shè)直線 方程為 x=2，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合三點(diǎn)共線的方法：斜率相等，即可得證 【解答】 解：（ ）由題意可得 c=2，