數(shù)學 外文翻譯 外文文獻 英文文獻 具體數(shù)學

CONCRETEMATHEMATICSRLGRAHAM,DEKNUTH,OPATASHNIKCONCRETEMATHEMATICS，13THEJOSEPHUSPROBLEMRLGRAHAM,DEKNUTH,OPATASHNIKSIXTHPRINTING,PRINTEDINTHEUNITEDSTATESOFAMERICA1989BYADDISONWESLEYPUBLISHINGCOMPANY，REFERENCE14PAGES具體數(shù)學RL格雷厄姆，DE克努特，O帕塔希尼克具體數(shù)學，13，約瑟夫環(huán)問題RL格雷厄姆，DE克努特，O帕塔希尼克第一版第六次印刷于美國，韋斯利出版公司，1989年，引用816頁1遞歸問題本章研究三個樣本問題。這三個樣本問題給出了遞歸問題的感性知識。它們有兩個共同的特點它們都是數(shù)學家們一直反復地研究的問題；它們的解都用了遞歸的概念，按遞歸概念，每個問題的解都依賴于相同問題的若干較小場合的解。2約瑟夫環(huán)問題我們最后一個例子是一個以FLAVIUSJOSEPHUS命名的古老的問題的變形，他是第一世紀一個著名的歷史學家。據(jù)傳說，如果沒有JOSEPHUS的數(shù)學天賦，他就不可能活下來而成為著名的學者。在猶太|羅馬戰(zhàn)爭中，他是被羅馬人困在一個山洞中的41個猶太叛軍之一，這些叛軍寧死不屈，決定在羅馬人俘虜他們之前自殺，他們站成一個圈，從一開始，依次殺掉編號是三的倍數(shù)的人，直到一個人也不剩。但是在這些叛軍中的JOSEPHUS和他沒有被告發(fā)的同伴覺得這么做毫無意義，所以他快速的計算出他和他的朋友應該站在這個惡毒的圓圈的哪個位置。在我們的變形了的問題中，我們以N個人開始，從1到N編號圍成一個圈，我們每次消滅第二個人直到只剩下一個人。例如，這里我們以設N10做開始。這時的消滅順序是2,4,6,8,10,3,7,1,9。所以編號是5的人活下來了。這個問題就是定位最后活下來的人的數(shù)字JN。我們剛剛看到的是J105的情況。我們可能會推測當N是偶數(shù)的時候JNN2；而且當N2的時候結論驗證了假設J21。但是其他一些數(shù)字比較小的情況告訴我們|當N4和N6的時候這個假設錯誤了。于是我們回到了起點；讓我們試著來個更好的猜測。呃，JN看起來總是奇數(shù)。而且事實上，這個現(xiàn)象的原因是圍成的圓圈的第一輪消滅了所有的編號是偶數(shù)的人。之后我們又回到了與我們開始的時候類似的情形，除了人數(shù)只有原來一半的人，而且他們的編號改變了。所以，讓我們假設最開始有2N個人，在第一輪結束后，我們剩下而且3將是下一個出局的。這個就像是以N個人開始的情況，除了每個人的編號變?yōu)閮杀稖p一。那就是，J2N2JN1當N1我們現(xiàn)在可以快速的計算一下當N比較大的時候的值。例如，我們知道J105，所以J202J1012519同樣可知J4017，進一步我們可以推算出J52M2M11但是，奇數(shù)的情況呢當有2N1個人的時候，編號是1的人會在第2N個人出局后緊接著出局，然后，我們剩下我們再次獲得了形如N個人的情況，但是這次他們的編號是兩倍加一。所以J2N12JN1當N1與等式J11組合，我們得到一個定義了J的所有取值的遞推式J11J2N2JN1當N1J2N12JN1當N1這個公式不是從JN1計算JN，這個遞歸式更加的“高效”，因為他以2為因子使N遞減了一半或更多。我們可以計算J1000000，如上所示，我們只要應用19次1式。但是，我們依舊要尋找一個閉合形式的公式，因為那樣會更加快速和更有意義?？傊?，這是非常重要的事情。用我們的遞歸式，我們可以很快地建造一張較小取值的表?？赡芪覀兛梢酝ㄟ^這張表看出模式并猜出結果。瞧看起來我們可以以2的冪分組通過表中的豎線；在每組的開始，JN總是1，而且在一組內以2遞增。所以，如果我們把N寫成形如N2MJ的公式，當2M是不超過N的2的最大次冪，且L是剩余的數(shù)。這樣我們的遞歸式的解法看起來是J2ML2L1當M0且0L0且2ML2N那么L是偶數(shù)。且通過1式和歸納法假設可得J2ML2J2M1L/2122L/2112L1這個就是我們想要的。奇數(shù)的情況證明方法類似，當2ML2L1。我們可能也注意到式子1還表達了這樣一個關系J2N1J2N2總之，這個數(shù)學歸納法證明完畢，且2式被證明了。為了展示解法2式，讓我們來計算一下J100。在這個例子中，我們有1002636，所以J100236173現(xiàn)在，我們解決了艱難的部分解決問題。我們再說點輕松的每解決一個問題都可以泛化，使得可以應用一大類問題。當我們已經(jīng)掌握一項技巧，完整的研究它，看看借助它我們可以走多遠是非常值得的。所以，在這節(jié)的余下部分，我們將會研究我們的解法2式以及研究遞歸式1的一些擴展。這些研究將會展示出所有這樣問題的結構和基礎。在我們尋找解法的時候，2的冪起到了重要的作用，所以很自然的，我們想用2的基數(shù)表示N和JN。假設N的二進制表達式是NBMBM1B1B02也就是NBM2MBM12M1B12B0每個BI取值是0或1，且最高位BM是1回想一下N2ML我們先后得到如下表達式，N1BM1BM2B1B02L0BM1BM2B1B022LBM1BM2B1B022L1BM1BM2B1B012JNBM1BM2B1B0M2最后一個式子是因為JN2L1以及BM2L1以及BM1。我們已經(jīng)證明JBM1BM2B1B02BM1BM2B1B0M23這樣，用計算機編程的專業(yè)術語解釋就是我們從N計算JN只需要做一位循環(huán)左移多么神奇。例如，如果N10011001002,那么JNJ1100100210010012,也就是648173。如果我們從一開始就一直用二進制方法研究，我們可能會立即就發(fā)現(xiàn)這個模式。如果我們以N個人開始，迭代J函數(shù)M1次，計算機將會作M1次的一位循環(huán)左移；所以當N是一個M1位的數(shù)字，我們可能希望最后又得到N。但是實際上不是。舉個例子，當N13，我們有J1101210112,但是之后J101121112,這時處理過程中斷了；當0出現(xiàn)在首位的時候會被忽略。事實上，根據(jù)定義，JN必須總是N,因為JN是存活著的人的編號；所以如果JN0AND2ML2N,THENLISEVENANDJ2ML2J2M1L/2122L/2112L1BY1ANDTHEINDUCTIONHYPOTHESISTHISISEXACTLYWHATWEWANTASIMILARPROOFWORKSINTHEODDCASE,WHEN2ML2L1。WEMIGHTALSONOTETHAT1IMPLIESTHERELATIONJ2N1J2N2EITHERWAY,THEINDUCTIONISCOMPLETEAND2ISESTABLISHEDTOILLUSTRATESOLUTION19,LETSCOMPUTEJ100INTHISCASEWEHAVE1002636,SOJ100236173NOWTHATWEVEDONETHEHARDSTUFFSOLVEDTHEPROBLEMWESEEKTHESOFTEVERYSOLUTIONTOAPROBLEMCANBEGENERALIZEDSOTHATITAPPLIESTOAWIDERCLASSOFPROBLEMSONCEWEVELEARNEDATECHNIQUE,ITSINSTRUCTIVETOLOOKATITCLOSELYANDSEEHOWFARWECANGOWITHITHENCE,FORTHERESTOFTHISSECTION,WEWILLEXAMINETHESOLUTION2ANDEXPLORESOMEGENERALIZATIONSOFTHERECURRENCE1THESEEXPLORATIONSWILLUNCOVERTHESTRUCTURETHATUNDERLIESALLSUCHPROBLEMSPOWERSOF2PLAYEDANIMPORTANTROLEINOURFINDINGTHESOLUTION,SOITSNATURALTOLOOKATTHERADIX2REPRESENTATIONSOFNANDJNSUPPOSENSBINARYEXPANSIONISNBMBM1B1B02THATIS,NBM2MBM12M1B12B0WHEREEACHBIISEITHER0OR1ANDWHERETHELEADINGBITBMIS1RECALLINGTHATN2ML,WEHAVE,SUCCESSIVELY,N1BM1BM2B1B02L0BM1BM2B1B022LBM1BM2B1B022L1BM1BM2B1B012JNBM1BM2B1B0M2THELASTSTEPFOLLOWSBECAUSEJN2L1ANDBECAUSEBM2L1ANDBM1。WEHAVEPROVEDTHATJBM1BM2B1B02BM1BM2B1B0M23THATIS,INTHELINGOOFCOMPUTERPROGRAMMING,WEGETJNFROMNBYDOINGAONEBITCYCLICSHIFTLEFTMAGICFOREXAMPLE,IFN10011001002THENJNJ1100100210010012,WHICHIS648173IFWEHADBEENWORKINGALLALONGINBINARYNOTATION,WEPROBABLYWOULDHAVESPOTTEDTHISPATTERNIMMEDIATELYIFWESTARTWITHNANDITERATETHEJFUNCTIONM1TIMES,WEREDOINGM1ONEBITCYCLICSHIFTSSO,SINCENISANM1BITNUMBER,WEMIGHTEXPECTTOENDUPWITHNAGAINBUTTHISDOESNTQUITEWORKFORINSTANCEIFN13WEHAVEJ1101210112,BUTTHENJ101121112,ANDTHEPROCESSBREAKSDOWNTHE0DISAPPEARSWHENITBECOMESTHELEADINGBITINFACT,JNMUSTALWAYSBEN,BYDENITION,SINCEJNISTHESURVIVORSNUMBERHENCEIFJNNWECANNEVERGETBACKUPTONBYCONTINUINGTOITERATEREPEATEDAPPLICATIONOFJPRODUCESASEQUENCEOFDECREASINGVALUESTHATEVENTUALLYREACHA“FIXEDPOINT,“WHEREJNNTHECYCLICSHIFTPROPERTYMAKESITEASYTOSEEWHATTHATFIXEDPOINTWILLBEITERATINGTHEFUNCTIONENOUGHTIMESWILLALWAYSPRODUCEAPATTERNOFALL1SWHOSEVALUEIS2VN1WHEREVNISTHENUMBEROF1BITSINTHEBINARYREPRESENTATIONOFNTHUS,SINCEV133，WEHAVE2ORMOREJJJJ132317SIMILARLY8ORMOREJJJ101101101101011221011023CURIOUS,BUTTRUELETSRETURNBRIEFLYTOOURRSTGUESS,THATJNN/2WHENNISEVENTHISISOBVIOUSLYNOTTRUEINGENERAL,BUTWECANNOWDETERMINEEXACTLYWHENITISTRUEJNN22L12ML/2L1/32M2IFTHISNUMBERL1/32M2ISANINTEGER,THENN2MLWILLBEASOLUTION,BECAUSELWILLBELESSTHAN2MITSNOTHARDTOVERIFYTHAT2M2ISAMULTIPLEOF3WHENMISODD,BUTNOTWHENMISEVENWEWILLSTUDYSUCHTHINGSINCHAPTER4THEREFORETHEREAREINNITELYMANYSOLUTIONSTOTHEEQUATIONJNN/2BEGINNINGASFOLLOWSNOTICETHEPATTERNINTHERIGHTMOSTCOLUMNTHESEARETHEBINARYNUMBERSFORWHICHCYCLICSHIFTINGONEPLACELEFTPRODUCESTHESAMERESULTASORDINARYSHIFTINGONEPLACERIGHTHALVINGOK,WEUNDERSTANDTHEJFUNCTIONPRETTYWELLTHENEXTSTEPISTOGENERALIZEITWHATWOULDHAVEHAPPENEDIFOURPROBLEMHADPRODUCEDARECURRENCETHATWASSOMETHINGLIKE1,BUTWITHDIFERENTCONSTANTSTHENWEMIGHTNOTHAVEBEENLUCKYENOUGHTOGUESSTHESOLUTION,BECAUSETHESOLUTIONMIGHTHAVEBEENREALLYWEIRDLETSINVESTIGATETHISBYINTRODUCINGCONSTANTS，ANDANDTRYINGTONDACLOSEDFORMFORTHEMOREGENERALRECURRENCEF1F2N2FN,FORN1（4）F2N12FN,FORN1OURORIGINALRECURRENCEHAD1，1AND1。STARTINGWITHF1ANDWORKINGOURWAYUP,WECANCONSTRUCTTHEFOLLOWINGGENERALTABLEFORSMALLVALUESOFNITSEEMSTHATSCOECIENTISNSLARGESTPOWEROF2FURTHERMORE,BETWEENPOWERSOF2,SCOECIENTDECREASESBY1DOWNTO0ANDSINCREASESBY1UPFROM0THEREFOREIFWEEXPRESSFNINTHEFORMFNANBNCN,（6）BYSEPARATINGOUTITSDEPENDENCEON，AND,ITSEEMSTHATAN2MBN2M1LCNL（7）HERE,ASUSUAL,N2MLAND0L2M，F(xiàn)ORN1。ITSNOTTERRIBLYHARDTOPROVE113AND114BYINDUCTION,BUTTHECALCULATIONSAREMESSYANDUNINFORMATIVEFORTUNATELYTHERESABETTERWAYTOPROCEED,BYCHOOSINGPARTICULARVALUESANDTHENCOMBININGTHEMLETSILLUSTRATETHISBYCONSIDERINGTHESPECIALCASE1，0WHENFNISSUPPOSEDTOBEEQUALTOANRECURRENCE111BECOMESA11A2N2AN；FORN1A2N12AN；FORN1SUREENOUGH,ITSTRUEBYINDUCTIONONMTHAT,A2ML2MNEXT,LETSUSERECURRENCE111ANDSOLUTION113INREVERSE,BYSTARTINGWITHASIMPLEFUNCTIONFNANDSEEINGIFTHEREAREANYCONSTANTS,THATWILLDENEITPLUGGINGTHECONSTANTFUNCTIONFN1INTO111SAYSTHATANEATIDEA1221321HENCETHEVALUES,1,1,1SATISFYINGTHESEEQUATIONSWILLYIELDANBNCNFN1。SIMILARLY,WECANPLUGINFNN12N2N2N12NTHESEEQUATIONSHOLDFORALLNWHEN1，2AND1,SOWEDONTNEEDTOPROVEBYINDUCTIONTHATTHESEPARAMETERSWILLYIELDFNNWEALREADYKNOWTHATFNNWILLBETHESOLUTIONINSUCHACASE,BECAUSETHERECURRENCE111UNIQUELYDENESFNFOREVERYVALUEOFNANDNOWWEREESSENTIALLYDONEWEHAVESHOWNTHATTHEFUNCTIONSAN,BN,ANDCNOF113,WHICHSOLVE111INGENERAL,SATISFYTHEEQUATIONSAN2M,ORN2MLAND0L2MANBNCN1ANCNNOURCONJECTURESIN114FOLLOWIMMEDIATELY,SINCEWECANSOLVETHESEEQUATIONSTOGETCNNANLANDBNAN1CN2M1L。THISAPPROACHILLUSTRATESASURPRISINGLYUSEFULREPERTOIREMETHODFORSOLVINGRECURRENCESFIRSTWENDSETTINGSOFGENERALPARAMETERSFORWHICHWEKNOWTHESOLUTIONTHISGIVESUSAREPERTOIREOFSPECIALCASESTHATWECANSOLVETHENWEOBTAINTHEGENERALCASEBYCOMBININGTHESPECIALCASESWENEEDASMANYINDEPENDENTSPECIALSOLUTIONSASTHEREAREINDEPENDENTPARAMETERSINTHISCASETHREE,FOR，ANDEXERCISES16AND20PROVIDEFURTHEREXAMPLESOFTHEREPERTOIREAPPROACHWEKNOWTHATTHEORIGINALJRECURRENCEHASAMAGICALSOLUTION,INBINARYJBMBM1B1B02BM1B1B0BM2,WHENBM1DOESTHEGENERALIZEDJOSEPHUSRECURRENCEADMITOFSUCHMAGICSURE,WHYNOTWECANREWRITETHEGENERALIZEDRECURRENCE111ASF1F2NJ2FNJ,FORJ0,1ANDN1,（8）IFWELET0AND1。ANDTHISRECURRENCEUNFOLDS,BINARYWISEFBMBM1B1B022FBMBM1B12B04FBMBM1B222B1B12MFBM22M1BM1B02M2M1BM1B0SUPPOSEWENOWRELAXTHERADIX2NOTATIONTOALLOWARBITRARYDIGITSINSTEADOFJUST0AND1THEDERIVATIONABOVETELLSUSTHATFBMBM1B1B02BM1BM2B1B02（9）NICEWEWOULDHAVESEENTHISPATTERNEARLIERIFWEHADWRITTEN112INANOTHERWAYFOREXAMPLE,WHENN10011001002OURORIGINALJOSEPHUSVA