回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)----《“兩點(diǎn)之間線段最短”公理的應(yīng)用》教學(xué)新探

1回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)“兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短”公理的應(yīng)用公理的應(yīng)用公理的應(yīng)用公理的應(yīng)用教學(xué)新探教學(xué)新探教學(xué)新探教學(xué)新探一一一一、問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出3月12日，植樹(shù)節(jié)，一個(gè)播種希望的季節(jié)。我?！靶抡n程下有效課堂教學(xué)策略的研究”課題也播下了希望的種子。作為其中的一名“植樹(shù)人”，經(jīng)歷著課程改革的點(diǎn)滴風(fēng)雨，感受著一線教師在課堂教學(xué)中不同教學(xué)方式的嘗試與變化，從對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)的批判到合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)形式的流行，倘若把握不住學(xué)習(xí)的本質(zhì)便會(huì)使我們的教學(xué)從一個(gè)極端走向另一個(gè)極端在熱鬧的課堂表象下是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的流失。中國(guó)古人對(duì)學(xué)習(xí)有著深刻的認(rèn)識(shí)在象形文字中，學(xué)上半部分是兩個(gè)手把著的算籌，下半部分為一個(gè)專門(mén)的場(chǎng)所，引申為從書(shū)本上、教師里獲取間接知識(shí)；習(xí)的上半部分是“羽”，代表雛鷹，雛鷹離開(kāi)巢臼試著飛行稱之為習(xí)，引申為從經(jīng)驗(yàn)中、個(gè)體實(shí)踐中獲取知識(shí)。可見(jiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)是教師與學(xué)生兩者之間的有機(jī)結(jié)合，任何一方的忽視都是不可行的。二二二二、理論依據(jù)理論依據(jù)理論依據(jù)理論依據(jù)數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它具有很強(qiáng)的概括性、抽象性和邏輯性。數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維過(guò)程的教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程是在頭腦中建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，是主體的一種自主行為。它遵循著人類認(rèn)識(shí)的一般規(guī)律，也有其特殊規(guī)律。2007年4月教育部數(shù)學(xué)教育高級(jí)研修班在寧波舉行會(huì)議。華師大數(shù)學(xué)系汪曉勤副教授在這次會(huì)議中作了歷史的相似性及其教學(xué)啟示報(bào)告，報(bào)告中提到要像數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題那樣進(jìn)行教學(xué)，而這一重要思想就如偉大科學(xué)家愛(ài)因斯坦給M索洛文的信中所提及的那樣，愛(ài)因斯坦把經(jīng)驗(yàn)、直覺(jué)與理論描述為如右圖的圖景從直接經(jīng)驗(yàn)到建立公理（A），這是一種直覺(jué)聯(lián)系，從公理到導(dǎo)出命題（A），那是一種邏輯必然聯(lián)系，從導(dǎo)出命題到實(shí)際（S）則是一種實(shí)踐、S2S1S公公公公A導(dǎo)導(dǎo)導(dǎo)導(dǎo)直直直直2實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，從中得到的經(jīng)驗(yàn)還可修正已有的公理，如此循環(huán)往復(fù)。三三三三、實(shí)踐研究實(shí)踐研究實(shí)踐研究實(shí)踐研究下面從“兩點(diǎn)之間線段最短”這一公理出發(fā)，對(duì)教學(xué)過(guò)程中的若干問(wèn)題、環(huán)節(jié)進(jìn)行如下的實(shí)踐與探究（一一一一）從直接經(jīng)驗(yàn)中得到公理從直接經(jīng)驗(yàn)中得到公理從直接經(jīng)驗(yàn)中得到公理從直接經(jīng)驗(yàn)中得到公理浙教版數(shù)學(xué)（七上）的教材中是通過(guò)生活常識(shí)引入這一公理（1）小狗看到遠(yuǎn)處的骨頭，總是徑直奔向食物；（2）從A地到B地有3條路可走（如圖1），為了盡快到達(dá)，人們通常選擇其中的直路。從上面的兩個(gè)事例中，你能發(fā)現(xiàn)什么共同之處嗎而在對(duì)應(yīng)的作業(yè)題中，有這樣一題（圖圖圖圖1）如圖2，A、B、C、D表示4個(gè)村莊，村民們準(zhǔn)備合打一口水井，（1）水井的位置現(xiàn)有P、Q兩種選擇方案，哪一種方案中，水井到各村莊的距離總和較小（2）你能給出一種使水井到各村莊的距離之和最小的方案嗎若能，請(qǐng)標(biāo)出水井的位置，并說(shuō)明理由。這個(gè)公理的正確性無(wú)庸質(zhì)疑，學(xué)生都有這樣的生活經(jīng)驗(yàn)，但這個(gè)對(duì)應(yīng)的課后練習(xí)對(duì)一部分學(xué)生產(chǎn)生了難度，他們可能會(huì)有個(gè)大概的感覺(jué)是在中間，卻還無(wú)法與“兩點(diǎn)之間線段最短”這一知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系。教師通過(guò)講解先讓學(xué)生對(duì)這一公理的應(yīng)用有一初步的感知，不急于揭示本質(zhì)，但也不停留于此，而是通過(guò)下面幾個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，進(jìn)行類比，引發(fā)學(xué)生積極思考。（二二二二）從公理導(dǎo)出的問(wèn)題從公理導(dǎo)出的問(wèn)題從公理導(dǎo)出的問(wèn)題從公理導(dǎo)出的問(wèn)題問(wèn)題1如圖3，A、B兩地位于河的兩岸，現(xiàn)要求架設(shè)一座橋，使從A到對(duì)岸B的路程最短，并使橋與和河兩岸垂直，怎樣選擇橋址呢請(qǐng)畫(huà)出架設(shè)橋的地方。步驟橋架設(shè)的位置與河岸垂直，因此河的寬度這一條件不起作用，通過(guò)多媒體演示將河兩岸靠攏（圖32）；步驟在圖32中，學(xué)生很容易找到A、B之間的最短距離（圖33）；DCABPQ（圖圖圖圖2）AB（圖圖圖圖3）AB3圖圖圖圖31圖圖圖圖32圖圖圖圖33圖圖圖圖34步驟再用多媒體演示將河兩岸分開(kāi)（見(jiàn)圖34），此時(shí)橋的位置P1P2就確定下來(lái)了。最后指導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，理解“兩點(diǎn)之間線段最短”在此題中的應(yīng)用。通過(guò)多媒體的演示體現(xiàn)知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)與關(guān)系，挖掘“知識(shí)附著點(diǎn)”，即對(duì)學(xué)習(xí)新知、解決新問(wèn)題起支撐作用的原有知識(shí)，或者說(shuō)將其固定于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中的那些知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比，進(jìn)行思考，抓住知識(shí)的內(nèi)涵本質(zhì)。問(wèn)題2如圖4，某人想從A地到河邊去取水，然后倒入設(shè)在B地的水桶內(nèi)，怎樣才能使行走路線最短，試畫(huà)出行走路線。圖圖圖圖4類比圖41與圖42中點(diǎn)A、B的不同位置思考如何將本題（圖41）轉(zhuǎn)化到學(xué)生的知識(shí)附著點(diǎn)（圖42）問(wèn)題3為了豐富學(xué)生的課余生活，某校決定舉辦一次機(jī)器人投籃大賽。規(guī)則是如圖5，操縱者站在距線段AB為2米的C處，使機(jī)器人從A處出發(fā)，到C處取到籃球，然后行使到B處，將籃球投入設(shè)在B處的籃筐內(nèi)，用時(shí)少的即為勝利者。為了獲得勝利，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出C的最佳位置（保留畫(huà)圖痕跡），若AB3米，求出機(jī)器人行使的最短路程。聯(lián)系上題的知識(shí)附著點(diǎn)（圖51）（圖圖圖圖5）圖圖圖圖51ABABABABP1（P2）ABBP1ABP2AB圖圖圖圖41AB圖圖圖圖42BABBLAB4關(guān)鍵畫(huà)出到AB距利用對(duì)稱找離為2的直線（圖52）到C點(diǎn)位置圖圖圖圖52圖圖圖圖53教師抓住這幾個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的結(jié)構(gòu)、關(guān)系及順序，并恰當(dāng)?shù)母淖兯鼈儯瑥亩鴦?chuàng)造出一系列的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生以不同的角度和不同的情形去看待它們，讓學(xué)生感受到“萬(wàn)變不離其宗”，而這“宗”就是最核心問(wèn)題，從而掌握知識(shí)的本質(zhì)，達(dá)到教學(xué)的最佳效果。（三三三三）回歸公理回歸公理回歸公理回歸公理，剖析公理的本質(zhì)剖析公理的本質(zhì)剖析公理的本質(zhì)剖析公理的本質(zhì)從以上幾個(gè)問(wèn)題中，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，我們研究的都是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離最短問(wèn)題，那么再次回到浙教版數(shù)學(xué)（七上）這一公理的引入。在狗去吃骨頭的三種路線中（如圖6所示）A、P1、B與A、P3、B不在同一直在線，唯有A、P2、B在一直線上，讓學(xué)生抓住“兩點(diǎn)之間線段最短”的實(shí)質(zhì)就是這些點(diǎn)所形成的路線是直線，而非（圖圖圖圖6）曲線或是折線。特別是A、P3、B這條折線的路線較長(zhǎng)還有一個(gè)理由兩邊之和大于第三邊，而三角形的三邊關(guān)系這個(gè)性質(zhì)也是基于“兩點(diǎn)之間線段最短”這一公理之上的。（四四四四）把經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于實(shí)際把經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于實(shí)際把經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于實(shí)際把經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于實(shí)際，抓住本質(zhì)抓住本質(zhì)抓住本質(zhì)抓住本質(zhì)，將問(wèn)題引入更深層次將問(wèn)題引入更深層次將問(wèn)題引入更深層次將問(wèn)題引入更深層次通過(guò)教師以上搭建的不同腳手架，使學(xué)生一步一步扎扎實(shí)實(shí)地抓住了“兩點(diǎn)之間線段最短”這個(gè)公理的核心內(nèi)容，在學(xué)生的學(xué)習(xí)知識(shí)結(jié)構(gòu)中建立了這一知識(shí)的應(yīng)用模型，在此基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)下面兩個(gè)應(yīng)用，開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)模式，將問(wèn)題引入更深層次，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。應(yīng)用一1、新年聯(lián)歡會(huì)上，同學(xué)在禮堂四周擺了一圈長(zhǎng)條桌子，其中北邊條桌上擺滿了蘋(píng)果，東邊條桌上擺滿了香蕉，禮堂中間放一把椅子。游戲規(guī)則是這樣的甲、乙兩人從A處（如圖7）同時(shí)出發(fā)，先去拿蘋(píng)果，再去拿香蕉，然后回到椅子所在的B處，誰(shuí)先坐到椅子上誰(shuí)贏。（圖圖圖圖7）2CAABBMAABP3P1P22AB5小聰和小明比賽，比賽一開(kāi)始，只見(jiàn)小聰直奔東北角兩張條桌的交點(diǎn)M處，左手抓蘋(píng)果，右手拿香蕉，回頭直奔B處，不料還未跑到B處，只見(jiàn)小明已經(jīng)手捧蘋(píng)果和香蕉穩(wěn)穩(wěn)的坐在B處的椅子上了。如果小明不比小聰跑得快，是不是還有快捷方式呢教學(xué)中先分析小聰?shù)穆肪€如圖8，引導(dǎo)學(xué)生思考如果小聰走的是最短路線，即AMBM最小，能否讓AM與BM在同一直線上嗎然后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作畫(huà)不同的對(duì)稱點(diǎn)，通過(guò)多次的實(shí)驗(yàn)比較，學(xué)生定能找到問(wèn)題的答案（如圖8）。（圖圖圖圖8）2、在直角坐標(biāo)系中，有四個(gè)點(diǎn)A（8，3）、B（4，5）、C（0，N）、D（M，0），當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短時(shí)，NM的值是_通過(guò)第1題的思維練習(xí)，學(xué)生對(duì)于第2題一定能迎刃而解。而第1題這一生活化的例子是對(duì)第2題的鋪設(shè)，縮小知識(shí)之間的潛在距離，使探究活動(dòng)更具有效性。應(yīng)用二1、設(shè)X、Y為正數(shù)，且6YX，求4122YX的最小值。本題應(yīng)用中，引導(dǎo)學(xué)生將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到幾何模型，如何創(chuàng)設(shè)“兩點(diǎn)之間線段最短”這個(gè)幾何模型呢顯然我們要將問(wèn)題中的12X與42Y看作兩條線段的長(zhǎng)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩條線段和的最小值。根據(jù)代數(shù)式的特征引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系直角三角形的勾股定理這一知識(shí)。（1）如圖，作長(zhǎng)為6的線段AB，過(guò)A、B兩點(diǎn)在同側(cè)作AB的垂線段AC、BD，使AC1，BD2；（2）設(shè)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PAX，PBY，則6YX，連結(jié)PC、PD，則PC12X，PD42Y（3）如圖，只要在AB上找到使PCPD為最小的點(diǎn)P的位置，就可以計(jì)算出4122YX的最小值。CDBAMABBACDP圖圖圖圖PCDCBA圖圖圖圖62、某漁夫在A地捕魚(yú)（如圖9），A離海岸（直線）最近點(diǎn)距離為6KM，點(diǎn)B離家C距離為10KM，因?yàn)槭艿剿饔绊?，他劃船的速度只能達(dá)到3HKM/，而步行速度能達(dá)到6HKM/，打完魚(yú)后，漁夫?yàn)楸M快到家，他應(yīng)該在BC之間哪點(diǎn)著陸請(qǐng)畫(huà)圖并作必要說(shuō)明，同時(shí)算出回家所用的時(shí)間。先列式設(shè)著陸點(diǎn)為P，則63CPAPT（圖圖圖圖9）再引導(dǎo)如何將此代數(shù)式轉(zhuǎn)化成幾何模型此時(shí)探究活動(dòng)教師的適度介入會(huì)使學(xué)生的探究活動(dòng)更有意義將式子適當(dāng)變形成231CPAPT，見(jiàn)下圖如何構(gòu)造2CP這一線段，使得與AP在同一直線上引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想含30的直角三角形應(yīng)用二的兩個(gè)例子是對(duì)學(xué)生已建立起來(lái)的知識(shí)結(jié)構(gòu)的又一次沖擊，是打破思維定勢(shì)的又一次創(chuàng)新。數(shù)和形在本環(huán)節(jié)中得到了有機(jī)的結(jié)合，啟發(fā)學(xué)生如何應(yīng)用“兩點(diǎn)之間線段最短”的經(jīng)典幾何模型，通過(guò)對(duì)比、聯(lián)想等適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)變思維方向，調(diào)節(jié)思維策略，不斷在原有基礎(chǔ)上突破思維定勢(shì)，創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題的模型，達(dá)到學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。結(jié)束語(yǔ)結(jié)束語(yǔ)結(jié)束語(yǔ)結(jié)束語(yǔ)認(rèn)識(shí)論告訴我們，人們創(chuàng)造或接受一種新的知識(shí)，便都想認(rèn)識(shí)它、學(xué)習(xí)它、ABC30PDABCBCAPBCAP7研究它，并進(jìn)而發(fā)展它。數(shù)學(xué)教學(xué)在某種意義上也正是反映了這三個(gè)層次，即傳授知識(shí)，教育學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；啟迪思維，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)；培養(yǎng)能力，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)?！皟牲c(diǎn)之間線段最短”這一問(wèn)題的研究設(shè)計(jì)正是充分體現(xiàn)了這三個(gè)層次的一個(gè)有機(jī)結(jié)合，有表及里，有感性到理性，有形象到抽象，精心設(shè)計(jì)每個(gè)問(wèn)題，環(huán)環(huán)深入，揭露