《名師伴你行》人教A版數(shù)學(xué)必修五第三章學(xué)案3二元一次不等式(組)與平面區(qū)域

1、開始,學(xué)點一,學(xué)點二,學(xué)點三,學(xué)點四,1.我們把含有 個未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是 的不等式稱為二元一次不等式. 2.我們把由幾個 組成的不等式組稱為二元一次不等式組. 3.二元一次不等式解集的幾何意義 （1）已知直線l:Ax+By+C=0,它把坐標平面分為 部分，每個部分叫做 ，開半平面與l的并集叫做閉半平面.,兩,1,二元一次不等式,兩,開半平面,不等式表示的區(qū)域或不等式的圖象,（2）以不等式解（x,y）為坐標的所有點構(gòu)成的集合，叫做 . 4.直線l:Ax+By+C=0把坐標平面內(nèi)不在直線l上的點分為兩部分，直線l的同一側(cè)的點的坐標使式子Ax+By+C的值具有 的符號，并且兩側(cè)的點的坐標使

2、Ax+By+C的值的符號 ，一側(cè)都大于0，另一側(cè)都小于0.,相同,相反,學(xué)點一 二元一次不等式表示的平面區(qū)域,分別畫出下列不等式表示的平面區(qū)域. （1）3x-4y+120； （2）4x+3y0.,【分析】先在平面直角坐標系中作出二元一次不等式對應(yīng)的直線，然后取特殊點，判斷不等式所表示的平面區(qū)域.,【解析】（1）先畫出直線3x-4y+12=0(畫成虛線).取原點(0,0)，并代入3x-4y+12,得120. 原點在3x-4y+120所表示的平面區(qū)域內(nèi).,故不等式3x-4y+120表示的平面區(qū)域如圖3-3-2中甲所示. （2）先畫出直線4x+3y=0（畫成實線）. 取點(1,0)，并代入4x+3y

3、,得40. 點(1,0)在4x+3y0所表示的平面區(qū)域內(nèi). 故不等式4x+3y0表示的平面區(qū)域如圖3-3-2中乙所示.,圖3-3-2,【評析】在畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域時，應(yīng)用“直線定界，點定域”的方法來畫平面區(qū)域.即先作直線Ax+By +C=0，再在它將平面分成的兩個區(qū)域中任一個區(qū)域內(nèi)選取一個點的坐標，將它代入Ax+By+C,確定它的符號，從而確定二元一次不等式所表示的區(qū)域.在取點時,若直線不過原點，一般用“原點定域”,這樣做能簡化運算過程.畫直線時線的虛實要分清.,解：（1）先畫出直線2x+y-10=0（畫成虛線），取點(0,0),代入2x+y-10，有20+0-10=-100, 2

4、x+y-100表示的區(qū)域是直線2x+y-10=0的左下方的平面區(qū)域，如圖甲陰影部分所示.,畫出下列不等式表示的平面區(qū)域. （1）2x+y-100; （2）y-2x+3.,(2)將y-2x+3變形為2x+y-30，首先畫出2x+y-3=0（畫成實線），取點(0,0),代入2x+y-3，有20+0-3=-30, 2x+y-30表示的平面區(qū)域是直線2x+y-3=0的左下方的平面區(qū)域. 2x+y-30表示的區(qū)域是直線2x+y-3=0以及左下方的平面區(qū)域，如圖乙陰影部分所示.,學(xué)點二 二元一次不等式組表示的平面區(qū)域,【分析】本題的關(guān)鍵在于正確地描繪出邊界直線，然后根據(jù)給出的不等式，判斷出所表示的平面區(qū)域

5、.為此必須分別畫出每個不等式所表示的平面區(qū)域，然后取各平面區(qū)域的公共部分.,畫出下列各不等式組所表示的平面區(qū)域.,【解析】(1)x-2y3,即x-2y-30,表示直線x-2y-3=0上及左上方的區(qū)域; x+y3,即x+y-30,表示直線x+y-3=0上及左下方區(qū)域; x0表示y軸及其右邊區(qū)域; y0表示x軸及其上方區(qū)域. 綜上可知,不等式組(1)表示的區(qū)域如圖3-3-3所示的陰影部分.,(2)x-y0,表示直線x-3y+9=0右下方點的集合.,綜上可得，不等式組表示的平 面區(qū)域如圖3-3-5所示的陰影部分.,【評析】（）不等式組表示的 平面區(qū)域是各個不等式所表示平面區(qū) 域的公共部分,解決類似本

6、題的問題時， 先應(yīng)對每一個不等式所表示的平面區(qū) 域作出正確的判斷，保證不因某一個不等式所表示的平面區(qū)域產(chǎn)生失誤，其次應(yīng)注意所表示的平面區(qū)域是否包括了邊界.在畫這一部分區(qū)域時，應(yīng)分清邊界的虛實. （）畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常用的方法是：“直線定界，原點定域”，即先畫出對應(yīng)的直線，再將原點坐標代入直線方程中，看其值比零大還是比零?。徊坏仁浇M表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，是它們平面區(qū)域的公共部分.,圖3-3-5,解:(1)不等式x+y-60表示在直線x+y-6=0上及右上方的點的集合，x-y0表示在直線x-y=0上及右下方的點的集合，y3表示在直線y=3上及其下方的點的集

7、合，x5表示直線x=5左方的點的集合，不等式組,畫出下列不等式組表示的平面區(qū)域.,學(xué)點三平面區(qū)域的綜合應(yīng)用,【分析】先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，即可求出其面積.,圖3-3-,【評析】解本題時注意到ABC為等腰直角三角形，點B到直線AC的距離即為ABC的長|AB|，由點到直線的距離公式求得|AB|，面積便可求出.,由y2及|x|y|x|+1圍成的幾何圖形的面積是 .,3,解：先作出y=2,y=|x|,y=|x|+1的圖象，再作出y2,y|x|,y|x|+1的區(qū)域.它們圍成兩個面積相等的梯形，如圖所示，可求出各點坐標為A(-2,2), B(2,2),C(-1,2),D(1,2),E(0,1),

8、|CE|= , |AO|= , 可求得CE與AO兩直 線間距離為 , , 所求面積 .,學(xué)點四平面區(qū)域的實際應(yīng)用,【分析】本題考查實際應(yīng)用題.,有糧食和石油兩種物資，可用輪船與飛機兩種方式運輸，每天每艘輪船和每架飛機的運輸效果見下表 現(xiàn)在要在一天內(nèi)運輸至少2 000 t糧食和1 500 t石油，分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件.,方 式,效 果,種 類,【解析】設(shè)需安排x艘輪船和y架飛機，則 用圖形表示這個限制條件，得如圖3-3-7所示的平面區(qū)域（陰影部分）.,圖3-3-7,【評析】解決這類問題，應(yīng)先列表分析數(shù)據(jù)，從而找出量與量之間的關(guān)系，設(shè)出變量，列出不等式組，再畫出平面區(qū)域.,某工廠

9、生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1 t需耗A種礦石10 t，B種礦石5 t，煤4 t;生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1 t需耗A種礦石4 t，B種礦石4 t，煤9 t.每1 t甲種產(chǎn)品的利潤是600元，每1 t乙種產(chǎn)品的利潤是1 000元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中要求消耗A種礦石不超過300 t，B種礦石不超過200 t，煤不超過360 t，請列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域.,解：從已知條件建立數(shù)學(xué)模型，即列出不等式組. 將已知數(shù)據(jù)列成下表：,消 耗 量,產(chǎn) 品,資 源,設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x t,y t,利潤總額為z元,那么,10 x+4y300， 5x+4y200， 4x+

10、9y360， x0, y0， z=600 x+1 000y, 作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖所示的陰影部分）.,1.如何理解二元一次不等式表示的平面區(qū)域？ 一般地，二元一次不等式Ax+By+C0所表示的平面區(qū)域為在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0的某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線，當我們在坐標系中畫不等式Ax+By+C 0表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線. 因為對在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(x,y)，實數(shù)Ax+By+C的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0,y0)，根據(jù)Ax0+By0

11、+C的正負即可判斷Ax+By+ C0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.特殊地，當C0時，常把原點作為此特殊點.,2.用二元一次不等式組表示平面區(qū)域的方法是怎樣的？ （1）解決此類問題時，應(yīng)先對每一個不等式所表示的平面區(qū)域作出正確的判斷，保證不因某一個不等式所表示的平面區(qū)域的錯誤而產(chǎn)生錯誤；其次，應(yīng)注意所表示的平面區(qū)域是否包括邊界.包括邊界時，邊界用實線表示，不包括邊界時，邊界用虛線表示. （2）不等式組所表示的平面區(qū)域應(yīng)是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分. （3）若干條直線把坐標平面劃分為若干個區(qū)域，若,某個區(qū)域內(nèi)的一點均在不等式組的每個不等式所表示的區(qū)域內(nèi)

12、，則此區(qū)域即為不等式組所表示的區(qū)域. （4）畫平面區(qū)域的步驟是：畫線畫出不等式所對應(yīng)的方程所表示的直線（如果原不等式中帶等號，則畫成實線，否則，畫成虛線）；定側(cè)將某個區(qū)域位置明顯的特殊點的坐標代入不等式，根據(jù)“同側(cè)同號、異側(cè)異號”的規(guī)律確定不等式所表示的平面區(qū)域在直線的哪一側(cè)；求“交”如果平面區(qū)域是由不等式組決定的，則在確定了各個不等式所表示的區(qū)域后，再求這些區(qū)域的公共部分，這個公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域，俗稱“直線定界，特殊點定域”. （5）注意逆向問題的處理.,1.二元一次不等式表示平面區(qū)域，使用了點集的觀點來分析直線，并研究了點的集合(x,y)|x+y-10表示什么區(qū)域的問題.要注意到用集合的觀點和語言來分析描述圖形的問題，能使問題更清楚、準確,便于理解. 2.Ax+By+C0表示的是直線Ax+By+C=0的某一側(cè)的平面區(qū)域，一定要注意不包括邊界；Ax+By+C0表示的是直線Ax+By+C=