數(shù)值分析作業(yè)答案

1、第2章 插值法1、當x=1，-1，2時，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多項式。（1）用單項式基底。（2）用Lagrange插值基底。（3）用Newton基底。證明三種方法得到的多項式是相同的。解：（1）用單項式基底設(shè)多項式為:，所以：所以f(x)的二次插值多項式為：（2）用Lagrange插值基底Lagrange插值多項式為：所以f(x)的二次插值多項式為：(3) 用Newton基底:均差表如下：xkf(xk)一階均差二階均差10-1-33/2247/35/6Newton插值多項式為：所以f(x)的二次插值多項式為：由以上計算可知，三種方法得到的多項式是相同的。6、在上給出的等距

2、節(jié)點函數(shù)表，若用二次插值求ex的近似值，要使截斷誤差不超過10-6，問使用函數(shù)表的步長h應(yīng)取多少？解：以xi-1,xi,xi+1為插值節(jié)點多項式的截斷誤差，則有式中令得插值點個數(shù)是奇數(shù)，故實際可采用的函數(shù)值表步長8、，求及。解：由均差的性質(zhì)可知，均差與導數(shù)有如下關(guān)系：所以有：15、證明兩點三次Hermite插值余項是并由此求出分段三次Hermite插值的誤差限。證明：利用xk，xk+1上兩點三次Hermite插值條件知有二重零點xk和k+1。設(shè)確定函數(shù)k(x):當或xk+1時k(x)取任何有限值均可；當時，構(gòu)造關(guān)于變量t的函數(shù)顯然有在xk,xx,xk+1上對g(x)使用Rolle定理，存在及使

3、得在，上對使用Rolle定理，存在，和使得再依次對和使用Rolle定理，知至少存在使得而，將代入，得到推導過程表明依賴于及x綜合以上過程有：確定誤差限：記為f(x)在a,b上基于等距節(jié)點的分段三次Hermite插值函數(shù)。在區(qū)間xk，xk+1上有而最值進而得誤差估計：16、求一個次數(shù)不高于4次的多項式，使它滿足，。解：滿足,的Hermite插值多項式為設(shè)，令得于是第3章 曲線擬合的最小二乘法16、觀測物體的直線運動，得出以下數(shù)據(jù)：i012345時間t/s00.91.93.03.95.0距離s/m010305080110求運動方程。解：經(jīng)描圖發(fā)現(xiàn)t和s近似服從線性規(guī)律。故做線性模型，計算離散內(nèi)積有

4、：，求解方程組得：，運動方程為：平方誤差：17、已知實驗數(shù)據(jù)如下：i01234Xi1925313844Yi 19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式，并計算均方差。解： ，計算離散內(nèi)積有：，求解方程組得：，所求公式為：均方誤差：第4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分1、確定下列求積分公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）；將分別代入公式兩端并令其左右相等，得解得。所求公式至少具有2次代數(shù)精確度。又由于故具有3次代數(shù)精確度。（2）分別代入公式兩端并令其左右相等，得解得：令，得令

5、，得故求積分公式具有3次精確度。（3）當時，易知有令求積分公式對準確成立，即則解得或?qū)⒋胍汛_定的積分公式，則故所求積分式具有2次代數(shù)精確度。（4）當時，有故令時求積公式準確成立，即解得。將代入上述確定的求積分公式，有故所求積公式具有3次代數(shù)精確度。2、分別用梯形公式和辛普森公式計算下列積分：（1）（2）（3）解（1）復化梯形公式，復化辛普森公式，（2），（3），5、推導下列三種矩形求積公式：；。解：（1）左矩形公式，將f(x)在a處展開，得兩邊在a,b上積分，得由于x-a在a,b上不變號，故由積分第二中值定理，有從而有（2）右矩形公式，同（1），將f（x）在b點處展開并積分，得（3）中矩形分

6、式，將在處展開，得兩邊積分并用積分中值定理，得6、若分別使用復合梯形公式和復合辛普森公式計算積分，問區(qū)間應(yīng)分多少等份才能使截斷誤差不超過。解：由于由復合梯形公式的余項有：解得可取由辛普森公公式的余項有：解得可取8、用龍貝格求積方法計算下列積分，使誤差不超過（1）；（2）；（3）。解：（1）00.10.0.20.0.0.30.0.0.0.(2)03.*10-618.*10-7-4.*10-21(3)18、用三點公式求在處的導數(shù)值，并估計誤差。的值由下表給出：1.01.11.20.25000.22680.2066解：三點求導公式為取表中，分別將有關(guān)數(shù)值代入上面三式，即可得導數(shù)近似值。由于從而可求得

7、誤差上限與導數(shù)值如下：X1.01.11.2三點公式-0.247-0.217-0.187誤差0.00250.001250.0025理論解-0.25-0.-0.數(shù)值積分法,令，由對積分采用梯形公式，得令k=0,1,得同樣對有從而有代入數(shù)值，解方程，即得如下X1.01.11.2三點公式-0.247-0.217-0.187誤差-0.25-0.-0.理論解-0.25-0.-0.第5章 解線性方程的直接方法7、用列主元消去法解線性方程組并求出系數(shù)矩陣A的行列式的值。8、用直接三角分解求線性方程組的解。解：由公式知 2 -3612、設(shè),計算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2-范數(shù)及F-范數(shù)。解：13、求證：（1）；（2）證明：（1）由定義知（2）由范數(shù)定義，有故第6章 解線性方程的迭代法1、設(shè)線性方程組（1） 考察用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程組的收斂性；（2） 用雅可比迭代法，高斯-塞德