高等代數(shù)與解析幾何第七章（1-3習(xí)題） 線性變換與相似矩陣答案

1、高等代數(shù)與解析幾何第七章（1-3習(xí)題） 線性變換與相似矩陣答案 第七章 線性變換與相似矩陣 習(xí)題7.1 習(xí)題7.1.1判別下列變換是否線性變換？ （1）設(shè)是線性空間中的一個(gè)固定向量， （）解：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，有 ， ， 顯然是的線性變換； ， ，即此時(shí)不是的線性變換。 （）解：當(dāng)當(dāng) ，時(shí)，時(shí)，有 ； 顯然是的線性變換； ， ，則，則 ，即此時(shí)不是的線性變換。 （2）在（）l ，其中是中的固定數(shù)； 的線性變換：設(shè) ，則 ， ， 。 ，其中是的 （4）把復(fù)數(shù)域看作復(fù)數(shù)域上的線性空間，共軛復(fù)數(shù)； 解： 不是線性變換。因?yàn)槿?，即 （5）在 。 ， 時(shí)，有 ， 中，設(shè)與是其中的兩個(gè)固定的矩陣，。 ， 解

2、：是的線性變換。對(duì)，有 ， 。 習(xí)題7.1.2在軸向 中，取直角坐標(biāo)系 ，以表示空間繞 表示空間繞軸由 軸向 軸由方向 方向旋轉(zhuǎn)900的變換，以 旋轉(zhuǎn)900的變換，以變換。證明 表示空間繞軸由軸向方向旋轉(zhuǎn)900的 （表示恒等變換）， ， ； 并說明證明：在知： 是否成立。 中任取一個(gè)向量 ， ，即 ，；，故 ， ，所以 。 ，則根據(jù) ，；， 。 及 的定義可 ， 因?yàn)?因?yàn)椋?，所以 。 ， ，所以 。 ，證明 。 因?yàn)?習(xí)題7.1.3在證明：在 中，中任取一多項(xiàng)式 ，有 。所以 習(xí)題7.1.4設(shè)，是上的線性變換。若 。 證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng) 時(shí)，有 。 ，證明 命題成立。假設(shè)等式對(duì)成立

3、，即也成立。因有 。下面證明等式對(duì) ，即等式對(duì)也成立，從而對(duì)任意自然數(shù)都成立。 習(xí)題7.1.5證明（1）若是上的可逆線性變換，則的逆變換唯一；（2）若，是上的可逆線性變換，則 證明：（1）設(shè)進(jìn)而 。 ， 。 也是可逆線性變換，且 都是的逆變換，則有 。即的逆變換唯一。 （2）因，都是上的可逆線性變換，則有 ，同理有 由定義知 是可逆線性變換，。 習(xí)題7.1.6設(shè)是上的線性變換，向量 都不是零向量，但 線性無關(guān)。 證明：設(shè) ，依次用，得 故即得 。 ；同理有： ；依次類推可得 ，即得 ，而，得 可得 ， ，進(jìn)而得 ，且，。證明 ， ， ， 為 逆變換，有唯一性得 有定義知，線性無關(guān)。 習(xí)題7.1.7設(shè)是上的線性變換，證明是可逆線性變換的充要條件為既是單射線性變換又是滿射線性變換，即是一一變換。 證明：兩端用若任取變換。 已知既是單射線性變換又是滿射線性變換，即雙射?，F(xiàn)定 ，定有，同時(shí)有 知是可逆線性變換。 習(xí)題7.1.8設(shè)是上的線性變換，證明（1）是單射線性變換的充要條件為 ；（2）是單射線性變換的充要條件為把線性 ，且有 ，規(guī)定，即有 ，有。由定義 已知是可逆線性變換，即存在作用即得，則存在 。若 ，則 ，因此是單射線性變換。 ，使得 ，即是滿射線性 義新的變換： 無關(guān)的向量組變?yōu)榫€性無關(guān)的向量組。 證明：（1） 已知 是單射線性變換，對(duì)，即 。 ，則有 ，故是單射。 線性