函數(shù)的對稱性與周期性

1、函數(shù)的對稱性與周期性吳江市盛澤中學(xué)數(shù)學(xué)組徐建東對稱性：函數(shù)圖象存在的一種對稱關(guān)系，包括點(diǎn)對稱和線對稱。周期性：設(shè)函數(shù)的定義域是，若存在非零常數(shù)，使得對任何，都有且，則函數(shù)為周期函數(shù)，為的一個(gè)周期。對稱性和周期性是函數(shù)的兩大重要性質(zhì)，他們之間是否存在著內(nèi)在的聯(lián)系呢？本文就來研究一下它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，有不足之處望大家批評指正。一、一個(gè)函數(shù)關(guān)于兩個(gè)點(diǎn)對稱。命題1：如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對稱，那么函數(shù)是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個(gè)周期。證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，對定義域內(nèi)的所有成立。又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，對定義域內(nèi)的所有成立。從而即：是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個(gè)周期。特例：當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，即奇函數(shù)如果又

2、關(guān)于點(diǎn)對稱，那么函數(shù)是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個(gè)周期。命題：如果函數(shù)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)和對稱，那么：當(dāng)，時(shí)，是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個(gè)周期。當(dāng)，時(shí)，不是周期函數(shù)。證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，對定義域內(nèi)的所有成立。又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，對定義域內(nèi)的所有成立。從而當(dāng)，時(shí)即：當(dāng)，時(shí)，是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個(gè)周期。當(dāng)，時(shí)當(dāng)，時(shí)，不是周期函數(shù)。當(dāng)，時(shí)（與條件矛盾，舍去）綜合得原命題成立。二、一個(gè)函數(shù)如果關(guān)于一個(gè)點(diǎn)和一條線對稱。命題2：如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和直線對稱，那么函數(shù)是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個(gè)周期。證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，對定義域內(nèi)的所有成立。又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，對定義域內(nèi)的所有成立。從而即：即：是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個(gè)周期。特例：當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，即奇函數(shù)如果又關(guān)于直線對稱，那么函數(shù)是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個(gè)周期。命題：如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和直線對稱，那么函數(shù)是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個(gè)周期。證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，對定義域內(nèi)的所有成立。又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，對定義域內(nèi)的所有成立。從而即：即：是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個(gè)周期。三、一個(gè)函數(shù)如果關(guān)于兩條線對稱。命題3：如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線和直線對稱，那么函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。證明：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，對定義域內(nèi)的所有成立。又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，對定義域內(nèi)的所有成立。從而即：是以為周期的周期函