4-2 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性

1、第二節(jié) 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性,因?yàn)橛?，即,一、線(xiàn)性相關(guān)性的概念,因?yàn)橹挥挟?dāng),所以向量組 E 線(xiàn)性無(wú)關(guān).,從而，我們可以得出結(jié)論：,向量組 A: a1 , a2 , am 線(xiàn)性相 關(guān)的充分必要條件是齊次線(xiàn)性方程組,有非零解.,注意,定義,則稱(chēng)向量組 是線(xiàn)性相關(guān)的，否則稱(chēng)它線(xiàn)性無(wú)關(guān),定理 向量組 （當(dāng) 時(shí)）線(xiàn)性相關(guān) 的充分必要條件是 中至少有一個(gè)向 量可由其余 個(gè)向量線(xiàn)性表示,二、線(xiàn)性相關(guān)性的判定,因?yàn)橛?線(xiàn)性相關(guān)性在線(xiàn)性方程組中的應(yīng)用,結(jié)論,定理2,例 向量組,因?yàn)榫仃?A = ( a1 , a2 , a3 ) 的行列式 |A| 0, 所以 R (A ) = 3 . 由定理 2知，向量組 a1

2、, a2 , a3 是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.,例增1 討論向量組,解 先求矩陣（a1 , a2 , a3 ) 的秩.由,的線(xiàn)性相關(guān)性.,知 R (a1 , a2 , a3) = 2 3, 所以向量組 a1 , a2 , a3 線(xiàn)性相關(guān).,解,例5,分析,證,定理3,證明：已知,因?yàn)?所以，,證畢。,解 因?yàn)?知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2, 所以向量組 a1 , a2 , a3 線(xiàn)性相關(guān).,根據(jù)定理 3(1)可知，向量組 a1 , a2 , a3 , a4 也線(xiàn)性相關(guān).,例 13 已知向量組,線(xiàn)性無(wú)關(guān)，,討論 的線(xiàn)性相關(guān)性。,由定理 3(3)可知向量組,線(xiàn)性相關(guān),根據(jù)定理 3(4)可得,

3、能由向量組,線(xiàn)性表示，且表示方法唯一,說(shuō)明,. 向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線(xiàn)性方 程組的向量表示；線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表示的概念；,. 線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的概念；線(xiàn)性相關(guān)性 在線(xiàn)性方程組中的應(yīng)用；（重點(diǎn)）,. 線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的判定方法：定義， 兩個(gè)定理（難點(diǎn)）,四、小結(jié),思考題,證明（）、（）略,（）充分性,必要性,思考題解答,書(shū)后習(xí)題四,若有不全為0的數(shù),使,成立,則,線(xiàn)性相關(guān),亦線(xiàn)性相關(guān).,8(2)、舉例說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的：,解：已知有不全為零的數(shù),使,上式可化為,選取,為單位向量，所以,均線(xiàn)性無(wú)關(guān),這樣，盡管前式成立。而由于其中,和,因此，上述命題是錯(cuò)誤的。,8(4)、舉例說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的：,若 和,均線(xiàn)性相關(guān),則有不全為0的數(shù), 使,同時(shí)成立.,解：任意設(shè),則,與題設(shè)矛盾。所以上述命題是錯(cuò)誤的。,習(xí)題四 9、設(shè),證明向量組,線(xiàn)性相關(guān).,;,證：由已知條件得,10設(shè),且向量