函數的傅里葉級數展開最新版本

1、.,1. 函數的傅里葉級數展開,.,一.傅里葉級數的引進 在物理學中,我們已經知道最簡單的波是諧波(正弦波),它是形如 的波,其中 是振幅, 是角頻率, 是初相位.其他的波如矩形波,鋸形波等往往都可以用一系列諧波的疊加表示出來.這就是說,設 是一個周期為 的波,在一定條件下可以把它寫成 其中 是 階諧波, 我們稱上式右端的級數是由 所確定的傅里葉級數,.,二. 三角函數的正交性 設 是任意實數, 是長度為 的區(qū)間,由于三角函數 是周期為 的函數,經過簡單計算,有 利用積化和差的三角公式容易證明 還有,.,我們考察三角函數系 其中每一個函數在長為 的區(qū)間上定義，其中任何兩個不同的函數乘積沿區(qū)間上

2、的積分等零 ，而每個函數自身平方的積分非零 。我們稱這個函數系在長為 的區(qū)間上具有正交性。,.,三、傅里葉系數 設函數 已展開為全區(qū)間設的一致收斂的三角級數 現(xiàn)在利用三角函數系數的正交性來研究系數 與 的關系。將上述展開式沿區(qū)間 積分，右邊級數可以逐項積分，由 得到 即 又設 是任一正整數，對 的展開式兩邊乘以 沿 積分，由假定，右邊可以逐項積分，由 和 ，得到,.,即 同樣可得 因此得到歐拉-傅里葉公式,.,自然，這些系數也可以 沿別的長度為 的區(qū)間來積分。 以上是在 已展開為一致收斂的三角級數的假定下得到系數的表達式的。然而從歐拉-傅里葉公式的形式上看，只要周期為 的函數 在區(qū)間 上可積和

3、絕對可積（如果 式有界函數，則假定它是可積的。這時它一定式絕對可積的；如果 是無界函數，就假定他是絕對可積，因而也是可積的，這樣，不論在哪一種情形，都是可積和絕對可積了），就可以按歐拉-傅里葉公式來確定所有的數 ，從而作出三角級數,.,我們稱這級數是 關于三角函數系 的傅里葉級數，而 稱為 的傅里葉系數，記為,.,四、收斂判別法 傅里葉級數的收斂判別法。設函數 在 上可積和絕對可積 若 在 點的左右極限 和 都存在，并且兩個廣義單側導數 都存在，則 的傅里葉級數在 點收斂。當 是 的連續(xù)點時它收斂與 ，當 是 的間斷點（一定是第一類間斷點）時收斂于,.,例1 在 上展開函數 為傅里葉級數。 例

4、2 在 上展開函數 為傅里葉級數。 例3 在 上展開 為傅里葉級數。,.,例4 將 在 上展開為余弦級數。 例5 將以下函數展開為正弦級數,.,五、傅里葉級數的復數形式 傅里葉級數的 階諧波 可以用復數形式表示。由歐拉公式 得 如果記 那么上面的傅里葉級數就化成一個簡潔的形式,.,這就是傅里葉級數的復數形式， 為復振幅， 與 是一對共軛復數,.,六、收斂判別法的證明 1、狄利克雷積分 為了研究傅里葉級數的收斂性問題，我們必須把傅里葉級數的部分和表示為一個特定形式的反常積分 狄利克雷積分。 設 在 上可積和絕對可積，它的傅里葉級數為 其中,.,傅里葉級數的部分和 由三角公式 當 ，有公式,.,當

5、 時把右邊理解為 時的極限值，值一等式也就成立。把它應用到 的表達式中，得到 經過驗證知道，被積函數是 的周期為 的函數，可以把積分區(qū)間換為 ，因此 作代換 ，得,.,上面 的幾種積分表達式都稱為狄利克雷積分。,.,2、黎曼引理 黎曼引理 設函數 在區(qū)間 上可積和絕對可積，那么以下的極限式成立 局部性定理 函數 的傅里葉級數在 點的收斂和發(fā)散情況，只和 在這一點的充分領近區(qū)域的值有關。,.,3、迪尼判別法及其推論 迪尼定理（迪尼判別法） 設能取到適當 ，使由函數 以及 點所作出的 滿足條件：對某正數 ，使在 上， 為可積和絕對可積，那么 的傅里葉級數在 點收于 。 利普希茨判別法（地理判別法的

6、一個推論） 如果函數 在 點連續(xù)，并且對于充分小的正數 在 點的利普希茨條件 成立，其中 皆是正數，且 ，那么 的傅里葉級數在 點收斂于 ，更一般地，如果對于充分小的 成立,.,同前，那么 的傅里葉級數在 點收斂于 一個重要推論 如果 在 點有有限導數 ，或是有兩個單側的有限導數,.,甚至只是有更一般的有限導數 那么 的傅里葉級數在 點收斂于 或 因為這時對于函數 在 點的 的利普希茨條件是成立的。,.,七、傅里葉級數的性質 一、一致收斂性 1設周期為 的可積和絕對可積函數 在比 更寬的區(qū)間 上有有限導數 ，那么 的傅里葉級數在區(qū)間 上一致收斂于 。 2設周期為 的可積和絕對可積函數 在比 更寬的區(qū)間 上連續(xù)且為分段單調函數，那么 的傅里葉級數在區(qū)間 上一致收斂于 。,.,二，傅里葉級數的逐項求積和逐項求導 設 是 上分段連續(xù)函數，它的傅里葉級數是 我們并不假定右端級數的和是 甚至也不假定它收斂，然而它卻可以逐項積分，設 和 是 上任意兩點，則有 三，最佳平方平均逼近 設 是任意一個 次三角多項式,.,其中 都是常數。又設 是 上可積和平