常熟理工學(xué)院概率論與數(shù)理統(tǒng)計題庫部分答案

1、一、選擇題1-5 DDDDD 6-10 ABBBB 11-15 ADCCA 16-20 BAA(C/D)B 21-25 AAAAA 26-30 DCDCC 31-35 ABCBC 36-40 CCDCD 41-45 CCDAC 46-50 BADBA 51-55 BCABB 56-60 CABAB 61-65 CCBAB 66-70 DCCCB 71-75 BDBBB 76-78 AAC 三、解答題1、設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件滿足條件：，且已知，求.解： ， 則，其中舍去，因?yàn)? 2、設(shè)事件與相互獨(dú)立，兩事件中只有發(fā)生及只有發(fā)生的概率都是，試求及.解：由已知條件知：則 解得 3、一口袋中有6個紅

2、球及4個白球。每次從這袋中任取一球，取后放回，設(shè)每次取球時各個球被取到的概率相同。求：（1）前兩次均取得紅球的概率；（2）取了次后，第次才取得紅球的概率。解：（1）記A=前兩次均取得紅球， （2）記B=取了次后，第次才取得紅球，4、甲、乙、丙3位同學(xué)同時獨(dú)立參加概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試，不及格的概率分別為.（1）求恰有兩位同學(xué)不及格的概率；（2）如果已經(jīng)知道這3位同學(xué)中有2位不及格，求其中一位是同學(xué)乙的概率.解：（1）設(shè)，.則 （2）、甲、乙、丙三門炮向同一架飛機(jī)射擊，設(shè)甲、乙、丙炮射中飛機(jī)的概率依次為0.4，0.5，0.7，又設(shè)若只有一門炮射中，飛機(jī)墜毀的概率為0.2，若有兩門炮射中，飛機(jī)墜毀的

3、概率為0.6，若三門炮同時射中，飛機(jī)必墜毀.試求飛機(jī)墜毀的概率？解：設(shè)甲炮射中飛機(jī)，乙炮射中飛機(jī)，丙炮射中飛機(jī)，一門炮射中飛機(jī)，兩門炮射中飛機(jī)，三門炮射中飛機(jī)，飛機(jī)墜毀，則由題意可知事件相互獨(dú)立，故 故由全概率公式可得：6、已知一批產(chǎn)品中96 %是合格品. 檢查產(chǎn)品時，一合格品被誤認(rèn)為是次品的概率是0.02；一次品被誤認(rèn)為是合格品的概率是0.05. 求在被檢查后認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率.解：設(shè)為被查后認(rèn)為是合格品的事件，為抽查的產(chǎn)品為合格品的事件. ， 7、某廠用卡車運(yùn)送防“非典”用品下鄉(xiāng)，頂層裝10個紙箱，其中5箱民用口罩、2箱醫(yī)用口罩、3箱消毒棉花。到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失1箱，不知

4、丟失哪一箱?，F(xiàn)從剩下9箱中任意打開2箱，結(jié)果都是民用口罩，求丟失的一箱也是民用口罩的概率。解：考慮成從10個紙箱中取3箱這樣一個模型，設(shè)=第i次取道民用口罩，i=1，2，3。 則8、設(shè)有來自三個地區(qū)的各名，名和名考生的報名表，其中女生的報名表分別為份，份和份.隨機(jī)地取一個地區(qū)的報名表，從中先后抽出兩份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率；(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率.解：設(shè)事件表示報名表是個考區(qū)的,；事件表示第次抽到的報名表是女生表,；則有 (1)由全概率公式可知，先抽到的一份是女生表的概率為 (2)所求事件的概率為 先考慮求解，依題意可知，抽簽與順序無關(guān)，則有

5、 ， 由全概率公式可知： 因?yàn)椋?則由全概率公式可知： 故所求事件的概率為：9、玻璃杯成箱出售，每箱只，假設(shè)各箱含只殘次品的概率相應(yīng)為，一顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時售貨員隨意取一箱，而顧客開箱隨機(jī)查看只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回.試求：(1)顧客買下該箱的概率；(2)在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率.解：令表示顧客買下所查看的一箱玻璃杯，表示箱中恰有件殘次品,由題意可得： (1)由全概率公式可知，顧客買下所查看的一箱玻璃杯的概率為： (2)由貝葉斯公式知，在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率為： 10、設(shè)有兩箱同類零件，第一箱內(nèi)裝件，其中件是一等品；第二箱內(nèi)裝件，

6、其中件是一等品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后隨機(jī)取出兩個零件(取出的零件均不放回)，試求(1)現(xiàn)取出的零件是一等品的概率；(2)在先取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解:(1)記表示在第次中取到一等品, 表示挑到第箱.則有 (2) 11、有朋友自遠(yuǎn)方來，他坐火車、坐船、坐汽車、坐飛機(jī)來的概率分別是.若坐火車來遲到的概率是；坐船來遲到的概率是；坐汽車來遲到的概率是；坐飛機(jī)來，則不會遲到.實(shí)際上他遲到了，推測他坐火車來的可能性的大??？解：設(shè)表示朋友坐火車來，表示朋友坐船來，表示朋友坐汽車來，表示朋友坐飛機(jī)來；表示朋友遲到了. 朋友坐飛機(jī)遲到的可能性為.12、

7、甲乙兩隊(duì)比賽，若有一隊(duì)先勝三場，則比賽結(jié)束假定在每場比賽中甲隊(duì)獲勝的概率為0.6，乙隊(duì)為0.4，求比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望解：設(shè)表示比賽結(jié)束時的比賽場數(shù)，則的可能取值為3，4，5 其分布律為； 故， 13、一箱中裝有6個產(chǎn)品,其中有2個是二等品,現(xiàn)從中隨機(jī)地取出3個,試求取出二等品個數(shù)的分布律.解:的可能取值為 從而的分布律為: X012P14、甲、乙兩個獨(dú)立地各進(jìn)行兩次射擊，假設(shè)甲的命中率為，乙的命中率為，以和分別表示甲和乙的命中次數(shù)，試求和的聯(lián)合概率分布.解：由題意知：， 因?yàn)楹拖嗷オ?dú)立，則 從而隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布律為： 012 04/252/251/100 18/25 4/251/50 24

8、/25 2/251/10015、袋中有只白球，只黑球，現(xiàn)進(jìn)行無放回摸球，且定義隨機(jī)變量和：；求：(1)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布；(2)與的邊緣分布.解：(1)由題意可知：的可能取值為0,1；的可能取值為0,1. 從而隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為： XY0103/103/1013/101/10 (2)因?yàn)?從而的邊緣分布律為： X01P 因?yàn)?從而的邊緣分布律為：Y01P16、某射手每次打靶能命中的概率為，若連續(xù)獨(dú)立射擊5次，記前三次中靶數(shù)為，后兩次中靶數(shù)為,求（1）的分布律；（2）關(guān)于和的邊緣分布律解：(1)由題意的所有可能取值為0，1，2，3，的所有可能取值為0，1，2. , , , , , ,

9、, , , , , 故的聯(lián)合分布律為：012 (2) 和的邊緣分布律分別為： 0123 17、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，試求（1）系數(shù);（2）方差.解：(1)因?yàn)?，所以，即 (2), 因而， . 18、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求：(1)確定常數(shù)和；（2）的概率密度函數(shù)解：（1）因是連續(xù)函數(shù)，故 ， 即，解得 （2）由可知，19、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 求（1）的值；（2）解：（1） (2) 20、某工廠生產(chǎn)的一種設(shè)備的使用壽命（年）服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為 。工廠規(guī)定，設(shè)備在售出一年之內(nèi)損壞可以調(diào)換，若售出一臺可獲利100元，調(diào)換一臺設(shè)備需花費(fèi)300遠(yuǎn)，試求廠方售出一臺設(shè)備凈獲利的數(shù)學(xué)

10、期望。解：設(shè)Y=廠方售出一臺設(shè)備凈獲利，則Y的可能取值為100，-200。 ， 故，21、某種型號的器件的壽命（以小時計）具有以下的概率密度 。現(xiàn)有一大批此種器件（設(shè)各器件損壞與否相互獨(dú)立），任取4只，問其中至少有一只壽命大于2000小時的概率是多少？解：設(shè)4只器件中壽命大于1000小時的器件個數(shù)為,則， 且其中 故 22、 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 . 求的概率密度.解：的分布函數(shù)為： 當(dāng)時， 當(dāng)時， 故的概率密度函數(shù)為：23、設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，求方程有實(shí)根的概率.解：依題意可知，則的概率密度為： 若要使得方程有實(shí)根，則有：，即；解得或 故方程有實(shí)根的概率為： 24、設(shè)一物體是圓截面

11、，測量其直徑，設(shè)其直徑服從上的均勻分布，則求橫截面積的數(shù)學(xué)期望和方差，其中解:由題意可得,直徑的概率密度為:則 而橫截面積故 25、設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，求隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)。 解： 服從為偶函數(shù)， 即 26、設(shè)某種藥品的有效期間以天計，其概率密度為求：(1)的分布函數(shù)；(2)至少有天有效期的概率. 解：(1)當(dāng)時， 當(dāng)時， 則 (2) 此題錯誤27、設(shè)隨機(jī)變量服從均勻分布，求的概率密度.解：的反函數(shù)為，且 當(dāng)即時， 故的概率密度為： 28、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求隨機(jī)變量的概率密度解：函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)為， 則 29、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為，求.解：在的區(qū)域上作直線，并記，則 =

12、 = 30、設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為試求(1)的分布函數(shù)；(2)的邊緣密度函數(shù).解：(1)當(dāng)時，當(dāng)時， 在其他情況下， 此處以下錯誤 從而的分布函數(shù)為 (2)當(dāng)時， 在其他情況下， 從而的邊緣密度函數(shù)為：31、設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 試求(1)和的邊緣密度函數(shù)；(2).解：(1)當(dāng)時， 在其他情況下， 從而的邊緣密度函數(shù)為： 當(dāng)時， 在其他情況下， 從而的邊緣密度函數(shù)為： (2)32、設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，（1）確定常數(shù)；（2）討論的獨(dú)立性解：（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋煌砜傻?顯然對任意的，恒有，故隨機(jī)變量相互獨(dú)立33、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù), 求：(1)

13、的分布函數(shù)；(2) 關(guān)于的邊緣分布函數(shù). 解： (1) 即有 （2）當(dāng)時， 當(dāng)時，的邊緣分布密度函數(shù) 當(dāng)時，當(dāng)時，的邊緣分布函數(shù) 34、設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)向量的概率密度為求：(1)的分布函數(shù)；(2)關(guān)于的邊緣概率密度.解：(1) (2) 35、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 求（1）的值；（2）.解：（1）因 故 （2） 36、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為試求：（1）邊緣分布Y的分布律；（2）；（3）.112解：（1）邊緣分布Y的分布律為： （2） (3), 因, 故 37、從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，設(shè)為途中遇到紅燈的次數(shù)，求(

14、1)的分布律；(2)的期望. 解：(1)由題意可知： 則 從而的分布律為：0123(2) 38、設(shè)盒中放有五個球，其中兩個白球，三個黑球。現(xiàn)從盒中一次抽取三個球，記隨機(jī)變量X,Y分別表示取到的三個球中的白球數(shù)與黑球數(shù)，試分別計算X和Y的分布律和數(shù)學(xué)期望. 解： 的可能取值為0，1，2， ， 的分布列為X012P0.60.3類似可求 的分布列為Y321P0.60.3 所以 ， 又因?yàn)?39、一臺設(shè)備由三大部件構(gòu)成,在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率分別為0.10,0.20,0.30.假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立,以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù),試求的數(shù)學(xué)期望和方差. 解：設(shè) 易見有四個可能值0，1，2，

15、3。由于獨(dú)立，可見 所以 40、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度，試求：（1）概率；（2）數(shù)學(xué)期望。解：（1）=1-=1-=1-1=0 （2）41、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為已知，求系數(shù).解：由概率密度的性質(zhì)而所以有(1) 又因所以有(2) 因故而所以 (3) 解由(1),(2),(3)所組成的方程組，得42、設(shè)的概率密度為 試求：（1）的分布函數(shù)； （2）數(shù)學(xué)期望。解：（1）當(dāng)時， ；當(dāng)時， ； 當(dāng)時， . 綜上，的分布函數(shù) （2）43、設(shè)隨機(jī)變量代表某生物的一項(xiàng)生理指標(biāo)，根據(jù)統(tǒng)計資料可認(rèn)為其數(shù)學(xué)期望，標(biāo)準(zhǔn)差試用切比雪夫不等式估計概率解：因?yàn)?，而， 由切比雪夫不等式，44、設(shè)是總體的一個樣本，若，樣本方差

16、，試求.解：因是總體的一個樣本，且，則由題意可知 故 因， 故45、已知總體服從(二點(diǎn)分布)，為總體的樣本，試求未知參數(shù)的最大似然估計解：的分布律, 似然函數(shù) 令 解得,故最大似然估計量46、設(shè)總體X服從正態(tài)分布，其中是末知參數(shù)，是來自總體的一個容量為的簡單隨機(jī)樣本，試求的極大似然估計量。解：由題意，的概率密度函數(shù)為： 樣本的似然函數(shù)為： 所以對數(shù)似然函數(shù)為： 求導(dǎo)得似然方程為：，解得 故的極大似然估計量為： 47、設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，是來自總體的一個容量為的簡單隨機(jī)樣本，求（1）的矩陣估計量；（2）判斷是否為的無偏估計量. (3)求的極大似然估計量。解：（1） 因總體期望值的矩

17、估計為樣本平均值,則,從而的矩估計量為：. （）因 故不是的無偏估計量. （）ln（）=得到48、設(shè)服從正態(tài)分布，和均未知參數(shù)，試求和的最大似然估計量. 解：的概率密度為： 似然函數(shù)為： 對數(shù)似然函數(shù)為： 令 因此得的最大似然估計量為：49、設(shè)是來自參數(shù)為的泊松分布總體的一個樣本,試求的最大似然估計量及矩估計量.解：(1)依題意可知,總體,其分布律為則似然函數(shù)為: 對數(shù)似然函數(shù)為:似然方程為: 解得為的最大似然估計量. (2)因?yàn)榭傮w,則故=為的矩估計量.50、設(shè)總體的概率密度為，是取自總體的簡單隨機(jī)樣本.求：(1) 的矩估計量；(2) 的方差.解：(1) 記，令，則的矩估計量為：. (2)因

18、為 所以 的方差為：51、設(shè)總體的概率分布列為： 0 1 2 3 p2 2 p(1-p) p2 1-2p其中 () 是未知參數(shù). 利用總體的如下樣本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3求 (1) p的矩估計值； (2) p的極大似然估計值 .解：(1) ， 令 ， 得 的矩估計為 . (2) 似然函數(shù)為 令 ， . 由 ，故舍去所以的極大似然估計值為 52、設(shè)總體的概率密度為 其中是未知參數(shù)，是來自總體的一個容量為的簡單隨機(jī)樣本，求(1)的矩估計量；(2)的最大似然估計量.解：(1) 令 則的矩估計量為： (2)樣本的似然函數(shù)為： 對數(shù)似然函數(shù)為： 求導(dǎo)得似然方程為： 解得 故的

19、最大似然估計量為： 53、設(shè)總體，為總體的一個樣本，并且已知樣本的平均值，求 的置信水平為的置信區(qū)間（、）解： 的置信水平為0.95的置信區(qū)間為 所以的置信水平為的置信區(qū)間為 54、有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取16袋，得重量(以g計)的樣本平均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布，試求總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解：由題意可知， . ，=503, . 均值的的置信水平為0.95的置信區(qū)間置信區(qū)間為，即四、綜合題1、已知求解 ， 故 2、設(shè)是兩個事件，又設(shè)且，證明：.證明： 3、假設(shè),試證.證明： 4、已知事件相互獨(dú)立，證明：與相互獨(dú)立.證明： ； 從而和相互獨(dú)立.5

20、、設(shè)是任意二事件，其中，證明：是與獨(dú)立的充分必要條件.證明： ，即與獨(dú)立. 6、設(shè)事件A、B滿足，試證明A與B獨(dú)立和A與B互不相容不可能同時發(fā)生。解：（反證法）假設(shè)A與B獨(dú)立和A與B互不相容同時成立。由“A與B獨(dú)立”可得， 。（1）又“A與B互不相容”可得，。 （2）由式（1）（2）得，。而該式與題設(shè)中的“”矛盾！ 故，A與B獨(dú)立和A與B互不相容不可能同時發(fā)生。7、證明：解： 因, 故 8、某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%(記為),10%(記為),90%(記為)的概率分別為,現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取3件,發(fā)現(xiàn)這3件都是好的(記為).試分別求,(設(shè)物品件數(shù)很多,取出一件以后不影響取后一件的概率)解：則，

21、9、假設(shè)某山城今天下雨的概率是，不下雨的概率是；天氣預(yù)報準(zhǔn)確的概率是，不準(zhǔn)確的概率是；王先生每天都聽天氣預(yù)報，若天氣預(yù)報有雨，王先生帶傘的概率是1，若天氣預(yù)報沒有雨，王先生帶傘的概率是；試求：(1)某天天氣預(yù)報下雨的概率？(2)王先生某天帶傘外出的概率？(3)某天鄰居看到王先生帶傘外出，求預(yù)報天氣下雨的概率？解：令A(yù)=今天天氣預(yù)報下雨，=今天天氣真實(shí)下雨，=王先生今天帶傘外出(1), 其中(2), 其中(3)=鄰居看到王先生帶傘外出，今天天氣下雨 10、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為令表示對的次獨(dú)立重復(fù)觀測中事件發(fā)生的次數(shù)，求.解： Y服從二項(xiàng)分布，參數(shù)為故，11、設(shè)2000件產(chǎn)品中有40件次品，按放

22、回抽樣連取100件，其中次品數(shù)為隨機(jī)變量（1）寫出隨機(jī)變量的概率分布律的表達(dá)式；（2）按泊松分布近似計算概率。解 .(1)(2), 12、設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求的概率密度.解 則Y的概率密度為13、設(shè)，兩個隨機(jī)變量，是相互獨(dú)立且同分布，求隨機(jī)變量的分布律.解：（1）的所有可能取值為0，1，且 01故的分布律為： （2）的所有可能取值為0，1，2，且 012 故的分布律為： 14、設(shè)二維隨機(jī)變量是區(qū)域內(nèi)的均勻分布，試寫出聯(lián)合概率密度函數(shù)，并確定是否獨(dú)立？是否相關(guān)？ 解： 的聯(lián)合概率密度， 由邊緣概率密度的定義， ,即， 同理，因?yàn)椋?所以不獨(dú)立 又因?yàn)椋?同理 ， 所以，即不相關(guān) 15、

23、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 求（1）的值；（2）兩個邊緣概率密度函數(shù)。解：（1）由可得， （2）兩個邊緣概率密度函數(shù)分別為 16、設(shè)隨機(jī)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為試求：(1) 常數(shù)； (2) 和的邊緣密度函數(shù)；（）證明與相互獨(dú)立. 解：(1)由規(guī)范性可知: 即得 (2)當(dāng)時， 在其他情況下， 從而的邊緣密度函數(shù)為：當(dāng)時， 在其他情況下， 從而的邊緣密度函數(shù)為：(3)因?yàn)閷θ我?所以與相互獨(dú)立. 17、已知隨機(jī)變量的概率密度為， 隨機(jī)變量的概率密度，且相互獨(dú)立試求（1）、的聯(lián)合密度函數(shù)；（2）；（）數(shù)學(xué)期望（）。解：（1） 因?yàn)橄嗷オ?dú)立，故 （2）（3） 18、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)，

24、求（1）的邊緣密度函數(shù)；（2）.解：(1) 當(dāng)時，故當(dāng)時， 故 (2) . 19、一個電子儀器由兩個部件構(gòu)成，以和分別表示兩個部件的壽命(單位：千小時).已知和的聯(lián)合分布函數(shù)為：求聯(lián)合概率密度；（2）求關(guān)于X和Y的邊緣概率密度；（3）判別和是否獨(dú)立？解:(1)由題意可知:的聯(lián)合概率密度為: （2） 因?yàn)閷θ我? 所以和相互獨(dú)立. 20、已知隨機(jī)變量的分布律為和，且,求的聯(lián)合分布律。解: 由,從而 由 得，再由可得聯(lián)合分布律為 21、設(shè)，試證明服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.證明： 的分布函數(shù)為： 令得 由此知服從 22、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為3的泊松(Poisson)分布，試證明仍服從泊松分布

25、，參數(shù)為6.解 參見教材第93頁例3.5.223、設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且服從同一貝努利分布， 試證明隨機(jī)變量與相互獨(dú)立.證：由題設(shè)知 0 1 0 1 2 ； ； ； ； ； . 所以 與相互獨(dú)立. 24、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為已知對獨(dú)立重復(fù)觀測3次，事件至少發(fā)生一次的概率為。（1）求常數(shù)。 （2）為了使事件至少發(fā)生一次的概率超過0.95，那么對至少要作多少次獨(dú)立重復(fù)觀測。（）解 令對獨(dú)立重復(fù)觀測3次中事件A發(fā)生的次數(shù)為Y，易知,其中(1)，解得(2) 令對獨(dú)立重復(fù)觀測n次中事件A發(fā)生的次數(shù)為Z ,其中 ,故至少要作11次獨(dú)立重復(fù)觀測25、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為， 試求（1）常數(shù)；（2）的概率密度；（3）的概率密度.解：（1）因是連續(xù)