2018年江蘇省高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題分類(lèi)之應(yīng)用題

1、.十、應(yīng)用題（一）試題細(xì)目表地區(qū)+題號(hào)類(lèi) 型 考 點(diǎn)思 想 方 法2018南通泰州期末18解 答 直線、圓、三角函數(shù)的定義、基本不等式建模思想2018無(wú)錫期末17解 答 2018鎮(zhèn)江期末17解 答 2018揚(yáng)州期末17解 答 2018常州期末17解 答 2018南京鹽城期末17解 答 2018蘇州期末17解 答 2018蘇北四市期末17解 答 （二）試題解析1.（2018南通泰州期末18）如圖，某小區(qū)中央廣場(chǎng)由兩部分組成，一部分是邊長(zhǎng)為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規(guī)劃修建的條直道，將廣場(chǎng)分割為個(gè)區(qū)域：、為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），、為休閑區(qū)域，其中點(diǎn)在半圓弧上，分別與，相交于

2、點(diǎn)，.（道路寬度忽略不計(jì)） 【答案】【解】以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.（1）直線的方程為，半圓的方程為，由得.所以，點(diǎn)到的距離為.（2）由題意，得.直線的方程為，令，得.直線的方程為，令，得.所以，的長(zhǎng)度為，.區(qū)域、的面積之和為，區(qū)域的面積為，所以.設(shè)，則，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立.所以，休閑區(qū)域、的面積的最小值為.答：當(dāng)時(shí)，綠化區(qū)域、的面積之和最大.2.（2018無(wú)錫期末17）如圖，點(diǎn)為某沿海城市的高速公路出入口，直線為海岸線，是以為圓心，半徑為的圓弧型小路.該市擬修建一條從通往海岸的觀光專(zhuān)線，其中為上異于的一點(diǎn)，與平行，設(shè).（1）證明：觀光專(zhuān)線的總長(zhǎng)度隨的增大而減

3、??；（2）已知新建道路的單位成本是翻新道路的單位成本的2倍.當(dāng)取何值時(shí)，觀光專(zhuān)線的修建總成本最低？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】解：（1）由題意，所以，又，所以觀光專(zhuān)線的總長(zhǎng)度，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，即觀光專(zhuān)線的總長(zhǎng)度隨的增大而減小.（2）設(shè)翻新道路的單位成本為，則總成本，令，得，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，最小.答：當(dāng)時(shí)，觀光專(zhuān)線的修建總成本最低.3.（2018鎮(zhèn)江期末17）如圖，準(zhǔn)備在墻上釘一個(gè)支架，支架由兩直桿 AC與BD 焊接而成，焊接點(diǎn) D 把桿AC 分成 AD, CD 兩段，其中兩固定點(diǎn) A，B 間距離為 1 米，AB 與桿 AC 的夾角為 60 ，桿AC 長(zhǎng)為 1 米，若制

4、作 AD 段的成本為 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作桿BD 成本是 4a 元/米. 設(shè) ADB = a ，則制作整個(gè)支架的總成本記為 S 元.（1）求 S 關(guān)于a 的函數(shù)表達(dá)式，并求出a 的取值范圍；（2）問(wèn) AD 段多長(zhǎng)時(shí)， S 最小？【答案】在ABD中,由正弦定理得，所以，則，由題意得（2）令，設(shè)0單調(diào)遞減極大值單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，S最小，此時(shí)答：（1）S 關(guān)于a 的函數(shù)表達(dá)式為，且；（2）當(dāng)時(shí)S最小.4.（2018揚(yáng)州期末17）如圖，射線OA和OB均為筆直的公路，扇形OPQ區(qū)域（含邊界）是一蔬菜種植園，其中P、Q分別在射線OA和OB上。經(jīng)測(cè)量得，扇形OPQ的圓心角（

5、即POQ）為、半徑為1千米。為了方便菜農(nóng)經(jīng)營(yíng)，打算在扇形OPQ區(qū)域外修建一條公路MN，分別與射線OA、OB交于M、N兩點(diǎn)，并要求MN與扇形弧PQ相切于點(diǎn)S。設(shè)POS=（單位：弧度），假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計(jì).(1) 試將公路MN的長(zhǎng)度表示為的函數(shù)，并寫(xiě)出的取值范圍：(2) 試確定的值，使得公路MN的長(zhǎng)度最小，并求出其最小值.【答案】解：因?yàn)镸N與扇形弧PQ相切于點(diǎn)S，所以O(shè)SMN.在OSM中，因?yàn)镺S=1，MOS=，所以SM=，在OSN中，NOS=，所以SN=，所以， .4分其中 .6分 因?yàn)椋?，令，則，所以， . .8分由基本不等式得， 10分當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=” . .12分此時(shí)，

6、由于，故. . .13分答：，其中當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為千米 . .14分注：第問(wèn)中最小值對(duì)但定義域不對(duì)的扣2分 5.（2018常州期末17）已知小明（如圖中AB所示）身高1.8米，路燈OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分別與地面交于點(diǎn)A，O點(diǎn)光源從M發(fā)出，小明在地面上的影子記作（1）小明沿著圓心為O，半徑為3米的圓周在地面上走一圈，求掃過(guò)的圖形面積；（2）若米，小明從A出發(fā)，以1米/秒的速度沿線段走到，且米秒時(shí)，小明在地面上的影子長(zhǎng)度記為（單位：米），求的表達(dá)式與最小值 （第17題） 【答案】解：（1）由題意，所以，小明在地面上的身影掃過(guò)的圖形是圓環(huán)，其面積為；（2）經(jīng)過(guò)秒，小明走到

7、了處，身影為，由（1）知，所以，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，的最小值為，答：，當(dāng)（秒）時(shí)，的最小值為（米）6.（2018南京鹽城期末17）. 有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計(jì)），一邊長(zhǎng)為6分米，另一邊足夠長(zhǎng)現(xiàn)從中截取矩形（如圖甲所示），再剪去圖中陰影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計(jì)），其中是以為圓心、的扇形，且弧,分別與邊,相切于點(diǎn), （1）當(dāng)長(zhǎng)為1分米時(shí)，求折卷成的包裝盒的容積；ADCBEGFOMNH第17題-圖甲NEFGH第17題-圖乙MN （2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)是多少分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大？【答案】解：（1）在圖甲中，連接交于點(diǎn)設(shè)，在中，因?yàn)?，所?/p>

8、，則從而，即. 2分ADCBEGFOMNHT故所得柱體的底面積. 4分又所得柱體的高，所以.答：當(dāng)長(zhǎng)為1分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積為立方分米. 6分（2）設(shè)，則，所以所得柱體的底面積. 又所得柱體的高，所以，其中. 10分令，則由，解得. 12分列表如下：0增極大值減所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.答：當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為2分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大. 14分7.（2018蘇州期末17）BCP東北A如圖，B,C分別是海岸線上的兩個(gè)城市，兩城市間由筆直的海濱公路相連，B，C之間的距離為100km，海島A在城市B的正東方50處從海島A到城市C，先乘船按北偏西角（，其中銳角的正切值為）航行到海岸公路P處登陸，再換

9、乘汽車(chē)到城市C已知船速為25km/h，車(chē)速為75km/h. （1）試建立由A經(jīng)P到C所用時(shí)間與的函數(shù)解析式；（2）試確定登陸點(diǎn)P的位置，使所用時(shí)間最少，并說(shuō)明理由【答案】解（1）由題意，輪船航行的方位角為，所以，則， 4分（注：AP，BP寫(xiě)對(duì)一個(gè)給2分）由A到P所用的時(shí)間為，由P到C所用的時(shí)間為，6分所以由A經(jīng)P到C所用時(shí)間與的函數(shù)關(guān)系為8分函數(shù)的定義域?yàn)椋渲袖J角的正切值為. （2）由（1），令，解得，10分設(shè)0，使00減函數(shù)極小值增函數(shù)12分所以，當(dāng)時(shí)函數(shù)f()取得最小值，此時(shí)BP=17.68 ，答：在BC上選擇距離B為17.68 處為登陸點(diǎn)，所用時(shí)間最少14分（注：結(jié)果保留根號(hào)，不扣分）8.（2018蘇北四市期末17）某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾，如圖1為了便于設(shè)計(jì)，可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉(zhuǎn)180而成，如圖2已知圓O的半徑為10 cm，設(shè)BAO=，圓錐的側(cè)面積為S cm2求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；為了達(dá)到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積S最大求S取得最大值時(shí)腰AB的長(zhǎng)度ABCOABCO圖1圖2（第17題）來(lái)源:Z.xx.k.ComDABCOE【答案】（1