(精選)信號(hào)與系統(tǒng)復(fù)習(xí)題

1、信號(hào)與系統(tǒng)復(fù)習(xí)題1(32t )dt1/2。（解題思路：沖激函數(shù)偶函數(shù)和尺度變換的性質(zhì)及沖激函數(shù)的定義）2已知信號(hào) x(t)(ta)u(tb), ab 0 ，則 x(t)(t a)。（解題思路：沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的特點(diǎn)和性質(zhì)）3 (t 1) 2 (t1)u(t )u(t 1) 2u(t1)。（解題思路：沖激函數(shù)卷積積分的性質(zhì)）4已知 F x(t )X ( j) ，則 F x(t5)X ( j)e j 5。（解題思路：傅里葉變換時(shí)移的性質(zhì)）5已知信號(hào)的頻譜函數(shù)為Sa() ，則該信號(hào)時(shí)域表達(dá)式為11) u(t1)。u(t2（解題思路：矩形脈沖的傅里葉變換）6無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的時(shí)域特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為h(

2、t) K (t td )，頻域特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為H ( j ) Ke - j td。（解題思路：無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的定義）7 信 號(hào) x(t)sin(2 t )cos(3t) 的 周 期 T= 2s 。（ 解 題 思 路 ： P18 1-23mT1nT2 =T ）j ( k)8 信 號(hào)x k e 23的 周 期 N=4。 （ 解 題 思 路 ：j (k)k)+ j sin(k) ，= ，周期 N = 2= 2=4 ）e23 = cos(32322/29. 信號(hào) x(t) u(t ) 的偶分量 xe (t)0.5。（解題思路： xe (t )x(t)+x(-t)）210已知某系統(tǒng)的沖激響應(yīng)如下圖所示

3、，則該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為(1e t )u(t ) 。（解題思th()d ）路： g(t)-h(t )1e t0t題 10 圖11 已 知 某 系 統(tǒng) 的 階 躍 響 應(yīng) 如 題11圖 所 示 ， 則 該 系 統(tǒng) 的 沖 激 響 應(yīng) 為2 (t2)2 (t3)。（解題思路：h(t)g (t ) ）g (t )2023t題 11 圖12.若 f (t ) 的波形如題12 圖所示，試畫出f ( 0.5t1) 的波形。f (t )2 -1 -(1)t0123題 12 圖解：將 f ( 0.5t1) 改寫為 f 0.5(t1) ，先反轉(zhuǎn)， 再展寬，最后左移2，即得 f ( 0.5t1) ，如答 12 題所

4、示。f ( t)f ( 0.5t )(2)2(1)11tt-3 -2-1 06420f ( 0.5t1)(2)21t86420答 12 題13. 一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)xk 如下圖所示， 試畫出x3k2 的圖形。（請(qǐng)記住： 對(duì)離散信號(hào)不能寫成如下表達(dá)式：x - 3k2x - 3 k - 2/3）x k33222211113210123456k7題 13 圖解： x3k2包含翻轉(zhuǎn)、抽取和位移運(yùn)算，可按先左移2 再抽取，最后翻轉(zhuǎn)的順序處理，即得 x3k2，如答 3-1圖所示。x k232322211115432101234k5x3 k23x3k23332 1 01 2k2 1 0 1 2k答 13 圖1

5、4. 試求微分方程 y (t)6y(t) 3x (t)2x(t)(t0) 所描述的連續(xù)時(shí)間LTI 系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t) 。解：微分方程的特征根為： s6由于 n m ，故設(shè) h(t )Ae 6 t u(t )B(t ) 。將其帶入微分方程h (t )6h(t )3(t)2(t) ，可得A16, B3故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t )16e 3tu(t )3 (t )15.求題 15 圖所示系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h k 。其中 h1 k =2ku k ， h2 k = k1，kh3 k = 3u k ， h4 k =u k 。h1 kx k+ykh k4h2 kh3 k題 15 圖解：子系統(tǒng)h2 k

6、與 h3 k 級(jí)聯(lián)， h1 k 支路、全通支路與h2 k h3 k級(jí)聯(lián)支路并聯(lián)，再與 h4 k 級(jí)聯(lián)。全通支路滿足 yk xk * hk x k全通離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為單位脈沖序列 kh kh1 k kh2 kh3 k h4 k 2(2)k u k 1.5(3)k10.5uk 116已知信號(hào) x(t ) 在頻域的最高角頻率為m ，若對(duì)信號(hào) x(t / 4) 進(jìn)行時(shí)域抽樣， 試求其頻譜不產(chǎn)生混疊的最大抽樣間隔Tmax 。F解：由于x(t / 4)4 X ( j 4 )故信號(hào) x(t / 4)的最高角頻率為m / 4 ，頻譜不產(chǎn)生混疊的最小抽樣角頻率為s2m / 4m / 2即最大抽樣間隔Tm

7、ax224m / 2sm17 f (t ) 最高角頻率為m ，對(duì) y(t )f( t ) f ( t ) 取樣，求其頻譜不混迭的最大間隔。42t解：信號(hào) f (t ) 的最高角頻率為，根據(jù)傅立葉變換的展縮特性可得信號(hào)f (m) 的最高角頻率為 m / 4 ，信號(hào) f ( t ) 的最高角頻率為4m / 2 。根據(jù)傅立葉變換的乘積特性，兩信號(hào)時(shí)域2相乘，其頻譜為該兩信號(hào)頻譜的卷積，故y(t )f ( t ) f ( t ) 的最高角頻率為42mm3max424m根據(jù)時(shí)域抽樣定理可知，對(duì)信號(hào)y(t)f ( t ) f ( t ) 取樣時(shí)，其頻譜不混迭的最大抽樣間隔42Tm ax 為Tmax4max

8、3m18. 已知連續(xù)周期信號(hào) f (t ) 的頻譜 C n 如題 18 圖所示，試寫出信號(hào)的時(shí)域函數(shù)表示式。Cn4332211-3210123題 18 圖解：由圖可知，C04 C 13 C 2 1 C 3 2f (t)Cnej n 0tn43(e j 0 te j 0 t )(e j2 0te j20t )2(ej30 te j3 0t )n46cos(0t )2cos(20t )4cos(30t )19.已 知 某 連 續(xù) 時(shí) 間LTI系 統(tǒng) 的 輸 入 激 勵(lì) 為e 4tu(t ) ， 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 為yzs (t )2e 3 tu(t )2e 4t u(t) 。求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H

9、 ( j) 和單位沖激響應(yīng)h(t) 。解：對(duì) x(t) 和 yzs (t ) 分別進(jìn)行 Fourier變換，得X ( j)F e 4t u(t)14 jYzs( j )F2e 3t u(t )2e 4 tu(t )2223j4 j(3 j )(4 j )故得H ( j)Yzs ( j)2X ( j)3 jh(t )F 1 H ( j)2e 3 tu(t )120.已知一連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t )Sa(3t ) ，輸入信號(hào)f (t) 3 cos2t ,t時(shí)，試求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：系統(tǒng)的頻響特性為H ( j )F h(t )1(1/ 3,3p6)330,利用余弦信號(hào)作用在系統(tǒng)上，其零

10、狀態(tài)響應(yīng)的特點(diǎn)，即Tcos(0t ) H ( j0 ) cos( 0t( 0 ) )由 系 統(tǒng) 的 頻 響 特 性 知 ， H ( j 0) H ( j 2)1/ 3， 可 以 求 出 信 號(hào)f (t) 3 cos2t ,t，作用在系統(tǒng)上的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為T f (t)3 H (j0) cos 0t(0)H (j2) cos2t(2)=1+1 cos2t,t321. 已知一連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為yzs(t)(0.5e t1.5e 2t )u(t ) ，激勵(lì)信號(hào)為x(t ) u(t)，試求：(1)該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)()，并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；(2)寫出描述系統(tǒng)H s的微分方程；(3)畫出系統(tǒng)的直

11、接型模擬框圖。解：零狀態(tài)響應(yīng)和激勵(lì)信號(hào)的拉氏變換分別為0.511.52s 1Re(s)0Yzs (s)s 1 s 2 s(s 1)( s 2)sX (s)1Re(s)0s根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，可得H (s)Yzs (s)2s12s 1Re(s)1X (s)(s 1)(s 2) s2 3s 2該系統(tǒng)的極點(diǎn)為p = -1,p = -2系統(tǒng)的極點(diǎn)位于s 左半平面，故該系統(tǒng)穩(wěn)定。11(2) 由式可得系統(tǒng)微分方程的s 域表達(dá)式( s23s 2)Y(s)(2s 1) X (s)zs兩邊進(jìn)行拉氏反變換，可得描述系統(tǒng)的微分方程為y (t )3y (t )2 y(t )2x(t)x(t)(4) ) 將系統(tǒng)函數(shù)表示

12、成 s 的負(fù)冪形式，得H (s)2s 1s 213s 12s 2其模擬框圖如下所示。2X (s)1s 1Y(s)s3222.描述某因果連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的微分方程為y (t )7 y(t)10 y(t )2x (t)3x(t )。已知x(t)e 2 t u(t)，y(0 )y (0 )1 。由s 域求解： (1)零輸入響應(yīng)yx(t)，零狀態(tài)響應(yīng) yf(t)和 全 響 應(yīng)y(t )；(2)系 統(tǒng) 函 數(shù) H ( s) ， 并 判斷 系 統(tǒng) 是 否 穩(wěn) 定 ； (3)若x(t)e 2(t 1)u(t1) ，重求yx (t) 、yf(t )、 H (s) 。解： (1) 對(duì)微分方程兩邊做單邊拉普拉斯

13、變換，得：s2Y (s)sy(0 )y (0 )7sY(s)7 y(0 )10Y(s)(2 s3) X (s)整理得sy(0)y (0)7 y(0)(2 s3)X (s)Y(s)s27s10s27s10其中零輸入響應(yīng)的s 域表達(dá)式為sy(0)y(0)7 y(0)s821Yx ( s)s27s 10s27s 10 s 2 s 5所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為yx (t )L 1Yzi (t)(2e 2te 5t )u(t )零狀態(tài)響應(yīng)的s 域表達(dá)式為Yf ( s)(2 s3)X ( s)(2 s3)7 / 91/37 / 9s27s10(s27s10)( s 2)s 2(s2) 2s 5所以系統(tǒng)的零狀態(tài)

14、響應(yīng)為y f (t)L 1Yf (s)(7e 5t7e 2t1te 2t )u(t)993系統(tǒng)的全響應(yīng)為y(t )yx (t )y f (t)(16 e 5 t25 e 2t1 te 2 t )u(t )993(2) 根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，可得H (s)Yzs( s)2s 31/ 3 7 / 3X (s) s27s 10 s 2 s 5由于系統(tǒng)的極點(diǎn)為p12, p25 ，均位于 s 平面的左半平面，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(3) 若 x(t )e 2(t1)u(t1)，則系統(tǒng)函數(shù)H (s) 和零輸入響應(yīng) yx (t ) 均不變，根據(jù)時(shí)不變特性，可得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為y f (t1)(7e 5( t 1)7e

15、 2( t 1)1(t1)e 2( t 1) )u(t 1)99323. 一線性時(shí)不變離散時(shí)間因果系統(tǒng)的直接型模擬框圖如題23 圖所示，求：4F ( z)z1x2 k 1x1k Y (z)-+z32題 23 圖(1) 描述系統(tǒng)的差分方程；(2)系統(tǒng)函數(shù) H z ，單位脈沖響應(yīng)h k ；(3) 判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：（ 1）由題 18 圖可知，輸入端求和器的輸出為zX2 ( z) F ( z)3 X2 ( z)2X 1 (z)(1)X1 ( z)z 1 X 2 ( z)(2)式（ 2）代入式（ 1）得X 2 ( z)11 F ( z)z 32z(3)輸出端求和器的輸出為Y( z) (z 4) X

16、 2 ( z)z41 F (z)z 32z(4)即(z 3 2z 1 )Y( z)( z 4) F (z)或(13z 12z 2 )Y ( z)(1 4z 1 )F (z)因此系統(tǒng)的差分方程為y k3yk12 yk2f k4 f k1（ 3）由系統(tǒng)函數(shù)的定義可得Yf ( z)14z 1zzH ( z)F ( z) 1 3z 12z 25z 16z 2取 z 反變換得系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)為hk (56 2k )u k（ 4）由系統(tǒng)函數(shù)H z 可得極點(diǎn) p11, p22 ，都未在單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。24. 一初 始 狀 態(tài) 為零的 離 散 系 統(tǒng) ， 當(dāng) 輸 入x kuk 時(shí) ， 測 得 輸 出y

17、 k(1)k(1) k1u k 。試求： (1)該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H (z) ； (2)畫出其零極點(diǎn)分布23圖； (3)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解： (1)對(duì) x k 和 yk 分別進(jìn)行 z 變換，得X (z)11z 111112 z 1Y(z)311111 z 1151121z1z(1z)(1zz)2366由系統(tǒng)函數(shù)的定義得Y (z)12 z 112 z 1H (z)531131X ( z)(1z1z2)(1z1)(1z2)6623(2) 系統(tǒng)的零極點(diǎn)分別為z12, p1113, p23。2其零極點(diǎn)分布圖如下所示。Im z011 21Re z32 3(3) 由于極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。25.試

18、寫出方程 3&y(t)4 y&(t)y(t)x(t ) 描述的LTI 系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的矩陣形式。解：選 y(t ) 和 y&(t) 作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，即q1 (t )y(t ), q2 (t )y&(t)由原微分方程和系統(tǒng)狀態(tài)的定義，可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為&(t )q2 (t)q1&(t )&1x(t)1q1(t )4q2 (t )q2y(t)333寫出矩陣形式為q&(t )01q (t)011411 x(t )&q2 (t)q2 (t )333系統(tǒng)的輸出方程為y(t) q1(t)寫出矩陣形式為y(t) 10q1 (t)q2 (t)26已知一個(gè) LTI 系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H (s)2s5請(qǐng)寫出系統(tǒng)直接型結(jié)構(gòu)9s226s 24s3的狀態(tài)方程和輸出方程。解：將系統(tǒng)函數(shù)改寫為s 的負(fù)冪形式，則其系統(tǒng)