北京市朝陽區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

北京市朝陽區(qū)2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)試卷2025.1（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題50分和非選擇題100分第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D.2.已知命題，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定，可得答案.【詳解】由題意可得命題的否定為“，.故選：A.3.（）A. B.4 C. D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)計(jì)算即可求解.【詳解】.故選：D.4.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷C，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A，為二次函數(shù)，對稱軸為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以函數(shù)在區(qū)間上遞減；對于B，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)在區(qū)間上遞減；對于C，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在單調(diào)遞增，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，對于D，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.故選：C5.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用任意角三角函數(shù)的定義求解即可.詳解】由任意角三角函數(shù)定義得，故C正確.故選：C6.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到的取值范圍，從而得解.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：B.7.設(shè)函數(shù)，則“”是“是偶函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由充分條件、必要條件的概念結(jié)合偶函數(shù)的定義即可判斷；【詳解】當(dāng)時(shí)，，，為偶函數(shù)，當(dāng)偶函數(shù)時(shí)，由，即恒成立，可得：恒成立，即，所以“”是“是偶函數(shù)”的充要條件，故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱.若，則的最大值為（）A0 B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與單調(diào)性即可得解.【詳解】由題意，得，所以，因?yàn)椋?，則，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為.故選：B.9.新聞推送涉及到信息檢索，若一個(gè)關(guān)鍵詞在個(gè)網(wǎng)頁中出現(xiàn)過，則越大，的權(quán)重越小；反之亦然．在信息檢索中，使用最多的權(quán)重是“逆文本頻率指數(shù)”，，其中是全部網(wǎng)頁數(shù)，，．如果關(guān)鍵詞的逆文本頻率指數(shù)比關(guān)鍵詞的逆文本頻率指數(shù)大2，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得，利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求.【詳解】由題意可知，即，所以，所以，即.故選：D.10.已知不等式對任意恒成立，則的最小值為（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由不等式恒成立可得，且是方程的一個(gè)正根，從而可得的關(guān)系，再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】令，其對稱軸為，當(dāng)時(shí)，，若，當(dāng)時(shí)，要使不等式對任意恒成立，則對任意恒成立，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，所以，且是方程的一個(gè)正根，將代入可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：A第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．11.函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】【分析】由對數(shù)的真數(shù)大于0，列式即可求其定義域.【詳解】由得.所以函數(shù)的定義域是.故答案為：12.已知函數(shù)，則的最小正周期是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計(jì)算，即可得到所求函數(shù)的最小正周期.【詳解】∵函數(shù)中，,∴函數(shù)的最小正周期.故答案為：.13.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則______．【答案】##【解析】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于的方程，解方程即可.【詳解】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，有，即，所以，解得.故答案為：14.已知，，寫出滿足的一組，的值為______，______．【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【解析】分析】由，可得，則得，或，即可取值.【詳解】因?yàn)?，則，所以，或，取，則或，故答案為：（答案不唯一）.15.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中給出求弧田（弓形田）面積的“弧田術(shù)”，如圖，是以為圓心，為半徑的圓弧，是線段的中點(diǎn)，在上，.設(shè)弧田的面積為，“弧田術(shù)”給出的近似值的計(jì)算公式為.若，，則______；______.【答案】①.②.【解析】【分析】利用扇形與三角形的面積公式可求得，再利用“弧田術(shù)”公式可求得，從而得解.【詳解】根據(jù)題意，得，，所以是正三角形，邊上的高為，所以，而扇形的面積為，所以弧田的面積為；連接，如圖，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，在上，，則，共線，其中，，所以，又，所以.故答案為：；.16.已知函數(shù)，給出下面四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；②對任意，既沒有最大值，也沒有最小值；③存在實(shí)數(shù)，在上單調(diào)遞增；④若存在最小值，則的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①②④【解析】【分析】求出的零點(diǎn)可判斷①；分別求出和時(shí)的范圍，根據(jù)可判斷②；分別討論和時(shí)是否在R上單調(diào)遞增可判斷③；分和兩種情況求出存在最小值時(shí)的取值范圍可判斷④.【詳解】對于①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，即，解得（舍）或；當(dāng)時(shí)，令，即，方程無解，所以當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，故①正確；對于②，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，無最大值；又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，又，即，所以，無最小值，所以函數(shù)既沒有最大值，也沒有最小值，故②正確；對于③，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在R上不單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以；在單調(diào)遞增，所以，要使在R上單調(diào)遞增，則，即，當(dāng)時(shí)，顯然，，不滿足，所以在R上不單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)榈脑鲩L速度比的增長速度快，所以，不滿足，所以在R上不單調(diào)遞增，綜上，不存在實(shí)數(shù)，使在R上單調(diào)遞增，故③錯(cuò)誤；對于④，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以；因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，若存在最小值，則，解得，所以；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以；因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，若存在最小值，則，所以，綜上，，所以的最小值為，故④正確.故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求出分段函數(shù)各段的范圍.三、解答題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求集合及；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出集合和，利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)，得，分別討論，，即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，解得或，所以或x>1，，當(dāng)時(shí)，，所以，；【小問2詳解】若，則，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù)．（1）求的值及的最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）將代入解析式即可求值，利用輔助角公式化簡，再利用求周期即可；（2）利用換元法令，求解，即可.【小問1詳解】．．所以的最小正周期為．【小問2詳解】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．令，由，得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．19.已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）再從條件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的值.條件①：；條件②：；條件③：為第四象限角.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用二次方程的判別式與韋達(dá)定理，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可得解；（2）根據(jù)題意選擇條件，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，結(jié)合倍角公式與和差公式即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，由，得，所以，滿足，則.【小問2詳解】選條件①：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所?選條件②：因?yàn)?，所以，與矛盾，故該條件不符合要求.選條件③：因?yàn)闉榈谒南笙藿?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，又，所?20.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．（1）求的解析式；（2）判斷的單調(diào)性并用定義證明；（3）解關(guān)于的不等式．【答案】（1）（2）是上的增函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義求解即可；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷即可；（3）利用函數(shù)的奇偶性結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解即可.【小問1詳解】由題設(shè)知f?x=?fx所以，即，則，所以；【小問2詳解】是R上的增函數(shù)，證明如下：任取，且，則．由，則，且，故，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增；【小問3詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，且，所以，由（2）知，在R上單調(diào)遞增，所以，令，則，解得，故，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以x∈0,1．所以不等式的解集為0,1.21.對于給定的正整數(shù)，設(shè)集合，集合，是的非空子集且滿足，．若對于任意，在集合中有唯一確定的數(shù)，使得為偶數(shù)，則記，并稱為從集合到集合的“函數(shù)”．（1）當(dāng)時(shí)，若集合，寫出集合，并判斷從集合到集合是否存在“函數(shù)”？說明理由；（2）若集合至少包含一個(gè)奇數(shù)，且為從集合到集合的“函數(shù)”，求證：存在，使得；（3）若為從集合到集合的“函數(shù)”，且對于任意，都有，求滿足條件的集合的所有可能．【答案】（1），不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“函數(shù)”的定義寫出集合并判斷即可；（2）假設(shè)不存在使得，即對于任意都有，得出與假設(shè)矛盾即可；（3）利用“函數(shù)”的定義，結(jié)合已知條件“對于任意，都有”，討論當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，集合的情形有①個(gè)奇數(shù)，0個(gè)偶數(shù)；②0個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)；③個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，集合的情形有①個(gè)奇數(shù)，0個(gè)偶數(shù)；②0個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)；③個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)即可.【小問1詳解】．從集合到集合不存在“函數(shù)”，理由如下：因?yàn)榧现械脑鼐鶠槠鏀?shù)，集合中的元素均為偶數(shù)，任取，，則為奇數(shù)，不合題意，所以從集合到集合不存在“函數(shù)”；【小問2詳解】假設(shè)不存在使得，即對于任意都有．因?yàn)槭侵形ㄒ淮_定的數(shù)，使得為偶數(shù)，所以．設(shè)為奇數(shù)，則，設(shè)是奇數(shù)．若，則與均為偶數(shù)，不合題意，所以，又因?yàn)椋?，與矛盾．所以存在使得；【小問3詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，集合中共有個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，因?yàn)閷τ谌我?，在集合中有唯一確定的數(shù)，使得為偶數(shù)，且都有．根據(jù)奇數(shù)與奇數(shù)的和為偶數(shù)，偶數(shù)與偶數(shù)的和為偶數(shù)，集合有以下三種不同的情形：①個(gè)奇數(shù)，0個(gè)偶數(shù)；②0個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)；③個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)；因?yàn)閷τ谌我?，都有，集合中元素必然選擇奇數(shù)或偶數(shù)中較小的元素，即且．所以有當(dāng)，時(shí)，對于任意，在集合中有唯一確定的數(shù)，使得為偶數(shù)，且，滿足題意；當(dāng)，時(shí)，對于任意，在集合中有唯一確定的數(shù)，使得為偶數(shù)，且，滿足題意；當(dāng)，時(shí)，對于任意奇數(shù)，在集合中有唯一確定的，使得為偶數(shù)，且，滿足題意；對于任意偶數(shù)，在集合中有唯一確定的，使得為偶數(shù)，且，滿足題意；同理，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，集合中共有個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，集合有以下三種不同的情形：①個(gè)奇數(shù)，0個(gè)偶數(shù)；②0個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)；③個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)；當(dāng)，時(shí)，對于任意，在集合中有唯一確定的數(shù)，使得為偶數(shù)，且，滿足題意；當(dāng)，時(shí)，對于任意，在集合中有唯一確定的數(shù)，使得為偶數(shù)，且，滿足題