相似三角形的判定+性質(zhì)+經(jīng)典例題分析

1、相似形（一）板塊一、課前回顧一、比例性質(zhì)1.基本性質(zhì): （兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)積）2.反比性質(zhì)： (把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)3.合比性質(zhì)：（分子加（減）分母,分母不變）4.等比性質(zhì)：（分子分母分別相加，比值不變.） 如果，那么 談重點(diǎn)：(1)此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法” ，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法 (2)應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零 (3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立5.黃金分割：內(nèi)容 尺規(guī)作圖作一條線段的黃金分割點(diǎn)經(jīng)典例題回顧：例題1已知a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且，求k的值.例題2已知，求的值。板塊二、新課講解知識(shí)點(diǎn)一、

2、相似形的概念 概念：具有相同形狀的圖形叫相似圖形 談重點(diǎn)：相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無(wú)關(guān)相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況我們可以這樣理解相似形：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的若兩個(gè)圖形形狀與大小都相同，這時(shí)是相似圖形的一種特例全等形知識(shí)點(diǎn)二、平行線分線段成比例定理 定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖：l1l2l3。 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

3、推論：如果一條直線平行于三角形的一條邊，截其它兩邊(或其延長(zhǎng)線)，那么所截得的三角形與原三角形相似推論的基本圖形有三種情況，如圖其符號(hào)語(yǔ)言：DEBC，ABCADE； 知識(shí)點(diǎn)三、相似三角形的判定判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似符號(hào)語(yǔ)言： 拓展延伸：（1）有一組銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似。 （2）頂角或底角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似。例題精講【重難點(diǎn)高效突破】例題1如圖，直線DE分別與ABC的邊AB、AC的反向延長(zhǎng)線相交于D、E，由EDBC可以推出嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。（用兩種方法說(shuō)明）例題2（射影定理）已知：如圖，在ABC中，BAC=90，ADBC于D.求證：（1）；（2）；（3）例題3

4、如圖，AD是RtABC斜邊BC上的高，DEDF，且DE和DF分別交AB、AC于E、F.則嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由. 例題4如圖，在平行四邊形ABCD中，已知過(guò)點(diǎn)B作BECD于E,連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且BFE=C（1） 求證：ABFEAD；（2） 若AB=4，BAE=30，求AE的長(zhǎng)；（3） 在（1）（2）條件下，若AD=3，求BF的長(zhǎng)。【即時(shí)訓(xùn)練】一、選擇題1如圖，ABC經(jīng)平移得到DEF，AC、DE交于點(diǎn)G，則圖中共有相似三角形（ ）A 3對(duì) B 4對(duì) C 5對(duì) D 6對(duì)2如圖，已知DEBC，EFAB，則下列比例式中錯(cuò)誤的是（ ）A B C D .3.在矩形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的

5、點(diǎn)，若AEF=90，則一定有（ ）AADEAEF B.ECFAEF C.ADEECF D.AEFABF4、如圖，直線l1l2，AFFB=23，BCCD=21，則AEEC是（ ）A.52 B.41 C.21 D.32（1題圖） （2題圖） （3題圖） （4題圖）5.如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連結(jié)AE交CD于F，則圖中共有相似三角形（ ） A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)(5題圖) (6題圖) (7題圖) ( 8題圖)6.ABC中，DEBC，且ADDB=21，那么DEBC等于（ ）A.21 B.12 C.23 D.327.如圖，P是RtABC的斜邊BC上異于B、C

6、的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P做直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，滿足這樣條件的直線共有（ ）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條8.如圖，已知DEBC，EFAB，則下列比例式中錯(cuò)誤的是（ ）A. B. C. D.9.下列說(shuō)法：其中正確的是( )所有的等腰三角形都相似；所有的等邊三角形都相似；所有等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似.A. B. C. D.二、解答題1、如圖，ABC中，BD是角平分線，過(guò)D作DEAB交BC于點(diǎn)E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的長(zhǎng). 2.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，BAD=90，對(duì)角線BDDC.(1)ABC與DCB相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)如果AD=

7、4，BC=9，求BD的長(zhǎng).3.已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn).ADQ與QCP是否相似？為什么？4.如圖，已知AD為ABC的角平分線，AD的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB與F，試判定BAE與ACE是否相似，并說(shuō)明理由。5.如圖，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，動(dòng)點(diǎn)P在AB邊上由A向B作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)B點(diǎn)；動(dòng)點(diǎn)Q在BC邊上由B向C作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)C點(diǎn)，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，恰好有PQBD？ 6.已知：如圖所示，D是AC上一點(diǎn)，BEAC，AE分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，1=2.則BF是FG、EF的

8、比例中項(xiàng)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.7.如圖，CD是RtABC的斜邊AB上的高，BAC的平分線分別交BC、CD于點(diǎn)E、F.ACAE=AFAB嗎？說(shuō)明理由.相似形（二）板塊二、新課講解知識(shí)點(diǎn)1相似三角形的判定判定定理(2)：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似判定定理(3)：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似 知識(shí)點(diǎn)2直角三角形相似的判定在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似知識(shí)點(diǎn)3 相似三角形中的基本圖形 A型，X型 交錯(cuò)型 旋轉(zhuǎn)型 母子形例題精講【重難點(diǎn)高效突破】例題1如圖在44的正方形方格中，ABC和DEF的頂點(diǎn)都在長(zhǎng)為1的小正方形頂點(diǎn)上（1）填空：ABC=_，BC=_（2）判定AB

9、C與DEF是否相似？并說(shuō)明理由。例題2. 如圖，在ABC中，已知BD、CE是ABC的高，求證：ADEABC。例題3如圖，已知ABBD，CDBD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，點(diǎn)P在BD上由B點(diǎn)向D點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)BP等于多少時(shí)，ABP與CPD相似？例題4.已知：如圖，在ABC中，C90，P是AB上一點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合，過(guò)點(diǎn)P作PEAB交AC于E，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合，若AB10，AC8，設(shè)APx，四邊形PECB的周長(zhǎng)為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式 例題5在三角形ABC中，AB=AC，ADBC于點(diǎn)D，DEAC于點(diǎn)E，M為DE的中點(diǎn)，AM與BE相交于點(diǎn)N，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)G，AD與BE相交于

10、點(diǎn)F，求證：（1）;（2） BCEADM； （3）AMBE. 【隨堂演練】A組1下列命題中正確的是（ ）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似 二邊對(duì)應(yīng)成比例且一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似 一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似A、 B、 C、 D、2如圖，D、E分別是AB、AC上兩點(diǎn)，CD與BE相交于點(diǎn)O，下列條件中不能使ABE和ACD相似的是（ ）A. B=C B. ADC=AEB C. BE=CD，AB=AC D. ADAC=AEAB3如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)斜三角形：ABC，BCD，BDE，BFG，F(xiàn)GH，EFK.其中中，與三角形相似的是（ ）(A) (B

11、) (C) (D)4如圖，DE與BC不平行，當(dāng)= 時(shí)，ABC與ADE相似。5如圖，平行四邊形 ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中點(diǎn)，在AB上取一點(diǎn)F，使CBFCDE，則BF的長(zhǎng)是（ ）A5 B8.2 C6.4 D1.8（3題圖） （4題圖） （5題圖）5如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AEBC于E，AFCD于F.(1)ABE與ADF相似嗎？說(shuō)明理由.(2)AEF與ABC相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.6已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn).ADQ與QCP是否相似？為什么？7如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EFEC交AB于F，連接FCAEF

12、EFC嗎若相似，請(qǐng)證明；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由。若ABCD為矩形呢？板塊三、課后作業(yè)1如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)O，則等于（ ）A B C D2如圖，直線EF交AB、AC于點(diǎn)F、E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，ACBC，已知,求證：6已知D是BC邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BC3CD，DF交AC邊于E點(diǎn)，且AE2EC試求AF與FB的比 7已知：如圖，在ABC中，BAC90，AHBC于H，以AB和AC為邊在RtABC外作等邊ABD和ACE，試判斷BDH與AEH是否相似，并說(shuō)明理由 相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用板塊二、新課講解知識(shí)要點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相

13、等，對(duì)應(yīng)邊成比例相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方【重難點(diǎn)高效突破】例題1. (1)兩個(gè)相似三角形的面積比為，與它們對(duì)應(yīng)高之比之間的關(guān)系為_(kāi) (2)如圖，已知DEBC，CD和BE相交于O，若，則AD:DB=_(3)如圖，已知ABCD,BO:OC=1:4,點(diǎn)E、F分別是OC，OD的中點(diǎn)，則EF:AB的值為 (4)如圖，已知DEFGBC,且AD:FD:FB=1:2:3,則A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D.1:8:36(5) 梯形ABCD中，ADBC，（ADBC），AC、BD交于點(diǎn)O,若

14、,則AOD與BOC的周長(zhǎng)之比為_(kāi)。例題2.如圖，在ABC中，DEBC，且SADE :S四邊形BCED1:2，BC2。求DE的長(zhǎng)。例題3. 如圖所示，已知DEBC，且與ABC的邊CA、BA的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)D、E，F(xiàn)、G分別在邊AB、AC上，且AF：FB=AG：GC，求證：AFGAED。 例題4. 如圖，矩形EFGH內(nèi)接于ABC，ADBC于點(diǎn)D，交EH于點(diǎn)M，BC20，AM8，SABC1002。求矩形EFGH的面積。例題5.ABC中，D為AB上一點(diǎn)，若ABC=ACD，AD=8，DB=6，求AC的長(zhǎng)。例題6.已知，如圖ABC中，BAC=900，AB=AC=1,D為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），

15、ADE=45（1） 求證ABDDCE （2） 設(shè)BD=x,AE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式（3）若ADE為等腰直角三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)例題7、如圖,在等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=3，BC=7，B=60，P為下底BC上一點(diǎn)（不與B、C 重合），連結(jié)AP,過(guò)P點(diǎn)作PE交DC于E,使得APE=B.（1）求證：ABPPCE；（2）求等腰梯形的腰AB的長(zhǎng)；（3）在底邊BC上是否存在一點(diǎn)P,使得DEEC=53，如果存在,求出BP的長(zhǎng),如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【隨堂演練】A組1.兩個(gè)相似三角形的面積比為4：9，那么它們周長(zhǎng)的比為_(kāi).2若x：y：z=3：5：7，3x2y4z9則xyz的值為_(kāi). 3.如圖

16、，APD90，APPBBCCD，則下列結(jié)論成立的是（ ） 第4題A .PABPCA B.PABPDA C .ABCDBA D.ABCDCA 第3題4. 如圖，D、E分別是ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，1B，AEEC4，BC10，AB12，則ADE的周長(zhǎng)為_(kāi)5某學(xué)生利用樹(shù)影測(cè)松樹(shù)的高度，他在某一時(shí)刻測(cè)得15米長(zhǎng)的竹竿影長(zhǎng)09米，但當(dāng)他馬上測(cè)松樹(shù)高度時(shí)，因松樹(shù)靠近一幢高樓，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墻上，他測(cè)得留在地面部分的影長(zhǎng)是24米，留在墻上部分的影高是1.5米，則松樹(shù)的高度為_(kāi)米6. 如圖，C為線段AB上的一點(diǎn)，ACM、CBN都是等邊三角形，若AC3，BC2，則MCD與BND的面積比為 。7如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于O點(diǎn)，SA