五年級奧數(shù)：周期問題

1、八 周期性問題(A) 年級 班 姓名 得分 一、填空題 1. 某年的二月份有五個星期日，這年六月一日是星期_.2. 1989年12月5日是星期二,那么再過十年的12月5日是星期_.3. 按下面擺法擺80個三角形,有_個白色的. 4節(jié)日的校園內(nèi)掛起了一盞盞小電燈，小明看出每兩個白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈.也就是說,從第一盞白燈起,每一盞白燈后面都緊接著有3盞彩燈,小明想第73盞燈是_燈.5. 時針現(xiàn)在表示的時間是14時正,那么分針旋轉(zhuǎn)1991周后,時針表示的時間是_.6. 把自然數(shù)1,2,3,4,5如表依次排列成5列，那么數(shù)“1992”在_列.第一列第二列第三列第四列第五列123459876

2、1011121314181716157. 把分數(shù)化成小數(shù)后，小數(shù)點第110位上的數(shù)字是_.8. 循環(huán)小數(shù)與.這兩個循環(huán)小數(shù)在小數(shù)點后第_位,首次同時出現(xiàn)在該位中的數(shù)字都是7.9. 一串?dāng)?shù): 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,共有1991個數(shù). (1)其中共有_個1,_個9_個4； (2)這些數(shù)字的總和是_.10. 所得積末位數(shù)是_.二、解答題11. 緊接著1989后面一串?dāng)?shù)字，寫下的每個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘積的個位數(shù).例如89=72,在9后面寫2,92=18,在2后面寫8,得到一串?dāng)?shù)字:1 9 8 9 2 8 6這串?dāng)?shù)字從1開始往右數(shù)，第198

3、9個數(shù)字是什么？12. 1991個1990相乘所得的積與1990個1991相乘所得的積，再相加的和末兩位數(shù)是多少？13. 設(shè)，那么n的末兩位數(shù)字是多少？ 14在一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅點，同時自右至左每隔5厘米也染一個紅點，然后沿紅點處將木棍逐段鋸開，那么長度是1厘米的短木棍有多少根？八 周期性問題(B) 年級 班 姓名 得分 一、填空題 1. 1992年1月18日是星期六，再過十年的1月18日是星期_.2. 黑珠、白珠共102顆，穿成一串，排列如下圖： 這串珠子中，最后一顆珠子應(yīng)該是_色的,這種顏色的珠子在這串中共有_顆.3. 流水線上生產(chǎn)小木珠涂色的次序是:先5

4、個紅,再4個黃,再3個綠,再2個黑,再1個白,然后再依次是5紅,4黃,3綠,2黑,1白,繼續(xù)下去第1993個小珠的顏色是_色.4. 把珠子一個一個地如下圖按順序往返不斷投入A、B、C、D、E、F袋中.第1992粒珠子投在_袋中.5. 將數(shù)列1,4,7,10,13依次如圖排列成6行,如果把最左邊的一列叫做第一列,從左到右依次編號,那么數(shù)列中的數(shù)349應(yīng)排在第_行第_列. 1 4 7 10 13 28 25 22 19 16 31 34 37 40 43 58 55 52 49 46 6分數(shù)化成小數(shù)后，小數(shù)點后面第1993位上的數(shù)字是_.7. 化成小數(shù)后,小數(shù)點后面1993位上的數(shù)字是_.8. 在

5、一個循環(huán)小數(shù)0.中,如果要使這個循環(huán)小數(shù)第100位的數(shù)字是5,那么表示循環(huán)節(jié)的兩個小圓點,應(yīng)分別在_和_這兩個數(shù)字上.9. 1991個9與1990個8與1989個7的連乘積的個位數(shù)是_.10. 算式(+) 的得數(shù)的尾數(shù)是_.二、解答題11. 乘積1234是一個多位數(shù)，而且末尾有許多零，從右到左第一個不等于零的數(shù)是多少？12有串自然數(shù)，已知第一個數(shù)與第二個數(shù)互質(zhì)，而且第一個數(shù)的恰好是第二個數(shù)的，從第三個數(shù)開始，每個數(shù)字正好是前兩個數(shù)的和，問這串?dāng)?shù)的第1991個數(shù)被3除所得的余數(shù)是幾？13共產(chǎn)黨好共產(chǎn)黨好共產(chǎn)黨好社會主義好社會主義好社會主義好上表中，將每列上下兩個字組成一組，例如第一組為（共社），

6、第二組為（產(chǎn)會），那么第340組是_.14. 甲、乙二人對一根3米長的木棍涂色.首先,甲從木棍端點開始涂黑5厘米,間隔5厘米不涂色,接著再涂黑5厘米,這樣交替做到底.然后,乙從木棍同一端點開始留出6厘米不涂色,接著涂黑6厘米,再間隔6厘米不涂色,交替做到底.最后,木棍上沒有被涂黑部分的長度總和為_厘米.答 案1. 二因為74=28，由某年二月份有五個星期日，所以這年二月份應(yīng)是29天，且2月1日與2月29日均為星期日，3月1日是星期一，所以從這年3月1日起到這年6月1日共經(jīng)過了 31+30+31+1=93(天).因為937=132，所以這年6月1日是星期二.2 日依題意知，這十年中1992年、1

7、996年都是閏年，因此，這十年之中共有36510+2=3652（天）因為（3652+1）7=5216，所以再過十年的12月5日是星期日.注上述兩題(題1題2)都是推斷若干天、若干月或若干年后某一天為星期幾，解答這類問題主要依據(jù)每周為七天循環(huán)的規(guī)律，運用周期性解答.在計算天數(shù)時,要根據(jù)“四年一閏，整百不閏，四百年才又一閏”的規(guī)定，即公歷年份不是整百數(shù)時，只要是4的倍數(shù)就是閏年，公歷年數(shù)為整百數(shù)時，必須是400的倍數(shù)才是閏年.3. 39從圖中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的規(guī)律重復(fù)排列，也就是這一排列的周期為6，并且每一周期有3個白色三角形.因為806=132，而第十四期中前兩個三角形都是

8、黑色的，所以共有白色三角形133=39（個）.4. 白依題意知,電燈的安裝排列如下:白,紅,黃,綠,白,紅,黃,綠,白,這一排列是按“白，紅，黃，綠”交替循環(huán)出現(xiàn)的，也就是這一排列的周期為4.由734=181,可知第73盞燈是白燈.5. 13時.分針旋轉(zhuǎn)一周為1小時,旋轉(zhuǎn)1991周為1991小時.一天24小時,=8223，1991小時共82天又23小時.現(xiàn)在是14時正,經(jīng)過82天仍然是14時正,再過23小時,正好是13時.注在圓面上,沿著圓周把1到12的整數(shù)等距排成一個圈,再加上一根長針和一根短針,就組成了我們天天見到的鐘面.鐘面雖然是那么的簡單平常,但在鐘面上卻包含著十分有趣的數(shù)學(xué)問題,周期

9、現(xiàn)象就是其中的一個重要方面.6. 3仔細觀察題中數(shù)表. 1 2 3 4 5 (奇數(shù)排) 第一組 9 8 7 6 (偶數(shù)排) 10 11 12 13 14 (奇數(shù)排) 第二組 18 17 16 15 (偶數(shù)排) 19 20 21 22 23 (奇數(shù)排) 第三組 27 26 25 24 (偶數(shù)排)可發(fā)現(xiàn)規(guī)律如下:(1)連續(xù)自然數(shù)按每組9個數(shù),且奇數(shù)排自左往右五個數(shù),偶數(shù)排自右往左四個數(shù)的規(guī)律循環(huán)排列；(2)觀察第二組,第三組,發(fā)現(xiàn)奇數(shù)排的數(shù)如果用9除有如下規(guī)律:第1列用9除余數(shù)為1,第2列用9除余數(shù)為2,，第5列用9除余數(shù)為5.(3)109=11，10在1+1組，第1列 199=21，19在2+1

10、組，第1列因為19929=2213，所以1992應(yīng)排列在（221+1）=222組中奇數(shù)排第3列數(shù)的位置上.7. 7=0.它的循環(huán)周期是6，具體地六個數(shù)依次是5，7，1，4，2，81106=182因為余2，第110個數(shù)字是上面列出的六個數(shù)中的第2個，就是7.8. 35因為0.的循環(huán)周期是7,0.34567的循環(huán)周期為5,又5和7的最小公倍數(shù)是35,所以兩個循環(huán)小數(shù)在小數(shù)點后第35位,首次同時出現(xiàn)在該位上的數(shù)字都是7.9. 853,570,568,8255.不難看出,這串?dāng)?shù)每7個數(shù)即1,9,9,1,4,1,4為一個循環(huán),即周期為7,且每個周期中有3個1,2個9,2個4.因為19917=2843，所

11、以這串?dāng)?shù)中有284個周期，加上第285個周期中的前三個數(shù)1，9，9.其中1的個數(shù)是:3284+1=853(個),9的個數(shù)是2284+2=570(個),4的個數(shù)是2284=568(個).這些數(shù)字的總和為1853+9570+4568=8255.10. 9先找出積的末位數(shù)的變化規(guī)律:71末位數(shù)為7,72末位數(shù)為9,73末位數(shù)為3, 74末位數(shù)1；75=74+1末位數(shù)為7,76=74+2末位數(shù)為9，77=74+3末位數(shù)為3，78=末位數(shù)為1由此可見，積的末位依次為7，9，3，1，7，9，3，1，以4為周期循環(huán)出現(xiàn).因為504=122，即750=，所以750與72末位數(shù)相同，也就是積的末位數(shù)是9.11.

12、 依照題述規(guī)則多寫幾個數(shù)字:86884可見1989后面的數(shù)總是不斷循環(huán)重復(fù)出現(xiàn)，每6個一組，即循環(huán)周期為6.因為(1989-4)6=3305，所以所求數(shù)字是8.12. 1991個1990相乘所得的積末兩位是0,我們只需考察1990個1991相乘的積末兩位數(shù)即可.1個1991末兩位數(shù)是91,2個1991相乘的積末兩位數(shù)是81,3個1991相乘的積末兩位數(shù)是71,4個至10個1991相乘的積的末兩位數(shù)分別是61,51,41,31,21,11,01,11個1991相乘積的末兩位數(shù)字是91，由此可見，每10個1991相乘的末兩位數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)，即周期為10.因為=199,所以1990個1991相乘積的末

13、兩位數(shù)是01,即所求結(jié)果是01.13. n是1991個2的連乘積,可記為n=21991,首先從2的較低次冪入手尋找規(guī)律,列表如下:nn的十位數(shù)字n的個位數(shù)字nn的十位數(shù)字n的個位數(shù)字21022129622042139223082148424162156825322163626642177227282184428562198829122207621024221522114822204觀察上表,容易發(fā)現(xiàn)自22開始每隔20個2的連乘積,末兩位數(shù)字就重復(fù)出現(xiàn),周期為20.因為=9910，所以21991與211的末兩位數(shù)字相同，由上表知211的十位數(shù)字是4，個位數(shù)字是8.所以,n的末兩位數(shù)字是48.14

14、. 因為100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我們可以看作是從同一端點染色. 6與5的最小公倍數(shù)是30,即在30厘米的地方,同時染上紅色,這樣染色就會出現(xiàn)循環(huán),每一周的長度是30厘米,如下圖所示.由圖示可知長1厘米的短木棍,每一周期中有兩段,如第1周期中,6-5=1,55-64=1.剩余10厘米中有一段.所以鋸開后長1厘米的短木棍共有7段.綜合算式為:2(100-10)30+1=23+1=7(段)注解決這一問題的關(guān)鍵是根據(jù)整除性把自右向左每隔5厘米的染色,轉(zhuǎn)化為自左向右的染色,便于利用最小公倍數(shù)發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象,化難為易.答 案1. 五在這十年中有3個閏年,所以這10年的總天數(shù)

15、是36510+3,365被7除余1,所以總天數(shù)被7除的余數(shù)是(13-7=)6,因此10年后的1月18日是星期五.2. 黑,26根據(jù)圖示可知,若去掉第一顆白珠后它們的排列是按“一黑三色”交替循環(huán)出現(xiàn)的，也就是這一排列的周期為4.由(102-1)4=251，可知循環(huán)25個周期，最后一顆珠子是黑色的.黑色珠子共有125+1=26(顆).3. 黑小木球是依次按5紅,4黃,3綠,2黑和1白的規(guī)律涂色的,把它看成周期性問題,每個周期為15.由=13213知，第1993個小球是第133周期中的第13個，按規(guī)律涂色應(yīng)該是黑色，所以第1993個小球的顏色是黑色.4. B通過觀察可以發(fā)現(xiàn),第11次到第20次投進的

16、袋子依次與第1次到第10次投進的袋子相同,即當(dāng)投的次數(shù)被10除余1,2,3,，8，9，0，分別投進A，B，C，D，C，B袋中，1992被10除余2，所以第1992粒珠子投在B袋中. 5. 24,2這個數(shù)列從第2項起,每一項都比前一項多3,(349-1)3+1=117,所以349是這列數(shù)中的第117個數(shù).從排列可以看出,每兩排為一個周期,每一周期有10個數(shù).因為11710=117，所以數(shù)“349”是第11個周期的第7個數(shù)，也就是在第24行第2列.6. 6=它的循環(huán)周期是6,因為1993=6332+1,所以化成小數(shù)后,其小數(shù)點后面第1993位上的數(shù)字是6.7. 7=它的循環(huán)周期是6,因為(1993

17、-1)6=332,則循環(huán)節(jié)“”恰好重復(fù)出現(xiàn)332次.所以小數(shù)點后面第1993位上的數(shù)字是7.8. 3,7表示循環(huán)小數(shù)的兩個小圓點中,后一個小圓點顯然應(yīng)加在7的上面,且數(shù)字“5”肯定包含在循環(huán)節(jié)中，設(shè)前一個小圓點加在“5”的上面，這時循環(huán)周期是3，（100-4）3=32，第100位數(shù)字是7.設(shè)前一個小圓點加在“4”的上面，這時循環(huán)周期是4，（100-3）4=241，第100位數(shù)字是4.設(shè)前一個小圓點加在“3”的上面，這時的循環(huán)周期是5，（100-2）5=193，第100位數(shù)字正好是5.注拿到此題后容易看出后一個小圓點應(yīng)加在7的上面,但前一個圓點應(yīng)加在哪個數(shù)字上,一下子難以確定,怎么辦?唯一的辦法

18、就是“試”.因為循環(huán)節(jié)肯定要包含5,就從數(shù)字5開始試.逐步向前移動,直到成功為止.這就像我們在迷宮中行走,不知道該走哪條道才能走出迷宮,唯一的辦法就是探索:先試一試這條,再試一試那條.9. 2由特例不難歸納出:(1)9的連乘積的個位數(shù)字按9,1循環(huán)出現(xiàn),周期為2；(2)8的連乘積的個位數(shù)字按8,4,2,6循環(huán)出現(xiàn),周期為4；(3)7的連乘積的個位數(shù)字按7,9,3,1循環(huán)出現(xiàn),周期為4.因為1991=9952+1,所以1991個9的連乘積的個位數(shù)字是9；因為1990=4974+2，所以1990個8的連乘積的個位數(shù)字是4；因為1989=4974+1，所以1989個7的連乘積的個位數(shù)字是7.947的

19、個位數(shù)字是2,即1991個9與1990個8與1989年7的連乘積的個位數(shù)字是2.10. 97的連乘積,尾數(shù)(個位數(shù)字)以7,9,3,1循環(huán)出現(xiàn),周期為4.因為3674=913，所以，的尾數(shù)為3.2的連乘積,尾數(shù)以2,4,8,6循環(huán)出現(xiàn),周期為4.因為7624=1902，所以，的尾數(shù)為4.3的連乘積,尾數(shù)以3,9,7,1循環(huán)出現(xiàn),周期為4.1234=303，所以，的尾數(shù)為7. 所以,(+)的尾數(shù)為(3+4)7=49的尾數(shù),所求答案為9.11. 從1開始,將每10個數(shù)分為一組,每一組10個數(shù)從右到左第一個不等于零的數(shù)字是乘積=從右到左第一個不等于零的數(shù)字是8,11991可分為110，1120，2130，19811990，1991；8的連乘積末位數(shù)字8、4，2，6重復(fù)出現(xiàn)，1994=493，所以199個8相乘的末位數(shù)字是2，1991個位數(shù)字是1，所以，乘積123從右到左第一個不等于零的數(shù)字是2.12. 因為第一個數(shù)=第二個數(shù),所以第一個數(shù)：第二個數(shù)=：=3：10.又兩數(shù)互質(zhì),所以第一個數(shù)為3,第二個數(shù)為10,從而這串?dāng)?shù)為：3,10,13,23,36,59,95,154,249,403,652,1055被3除所得的余數(shù)為：0，1，1，2，0，