北師版2018八年級（下冊）數(shù)學(xué) 第一章三角形的證明全章教學(xué)課件

1、北師版2018八年級（下冊）數(shù)學(xué) 第一章三角形的證明 全章教學(xué)課件,1.1等腰三角形（4課時）,1.2直角三角形（2課時）,1.3線段的垂直平分線（2課時）,1.4角平分線（2課時）,第一章 回顧與反思（1課時）,1.1.1 等腰三角形,第一章 三角形的證明,知識回顧,證明一個命題的一般步驟: (1)弄清題設(shè)和結(jié)論； (2)根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形； (3)根據(jù)題設(shè)和結(jié)論寫出已知和求證； (4)分析證明思路,寫出證明過程。,三角形全等判定公理： 1.三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 （）。 2.兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形 全等(SAS)。 3.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形 全等(ASA)。

2、 性質(zhì)公理： 全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。,知識回顧,你能用上面的公理證明下面的命題嗎？ 兩角及其中一角的對應(yīng)邊相等的兩個三角形全等(AAS),情境引入,證明: A=A,C=C（已知）B=B（三角形內(nèi)角和定理） 在ABC與ABC中 A=A （已知）, AB=AB（已知）, B=B （已證）, ABCABC（ASA）.,已知:如圖,在ABC和ABC中, A=A, C=C, AB=AB. 求證:ABCABC.,自主預(yù)習(xí),如圖:已知在ABC和DEF 中AC=DF,AB=DE,C=F=100,則ABC和DEF會全等嗎?若能請證明;若不能請說明理由.,其它條件不變?nèi)鬊=E=70,議一議：,定理: 兩

3、角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS）.,在ABC與ABC中 A=A C=C AB=AB ABCABC（AAS）.,證明后的結(jié)論,以后可以直接運用.,你還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎?,推論: 等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線 底邊上的高互相重合(三線合一).,你能利用已有的公理和定理證明這些結(jié)論嗎?,定理: 等腰三角形的兩個底角相等.,新知探究,性質(zhì)1 (等邊對等角),等腰三角形的兩個底角相等。,已知：ABC中，AB=AC,求證：B=C,想一想： 如何證明兩個角相等？,議一議： 如何構(gòu)造兩個全等的三角形？,已知： 如圖，在ABC中，AB=AC. 求證： B=

4、C.,D,證明：,作底邊的中線AD， 則BD=CD,AB=AC ( 已知 ),BD=CD ( 已作 ),AD=AD (公共邊), BAD CAD (SSS)., B= C (全等三角形的對應(yīng)角相等).,在BAD和CAD中,方法一：作底邊上的中線,已知： 如圖，在ABC中，AB=AC. 求證： B= C.,D,證明：,作頂角的平分線AD， 則1=2,AB=AC ( 已知 ),1=2 ( 已作 ),AD=AD (公共邊), BAD CAD (SAS)., B= C (全等三角形的對應(yīng)角相等).,方法二：作頂角的平分線,在BAD和CAD中,1,2,已知： 如圖，在ABC中，AB=AC. 求證： B=

5、 C.,D,證明：,作底邊的高線AD，則BDA=CDA=90,AB=AC ( 已知 ),AD=AD (公共邊), RtBAD RtCAD (HL)., B= C (全等三角形的對應(yīng)角相等).,方法三：作底邊的高線,在RtBAD和RtCAD中,定理: 等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角).,如圖,在ABC中, AB=AC(已知), B=C(等邊對等角).,證明后的結(jié)論,以后可以直接運用.,思考： 由BAD CAD，除了可以得到 B= C之外，你還可以得到那些 相等的線段和相等的角？和你的同伴 交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？,AB=AC, 1=2(已知). BD=CD,ADBC（等腰三角形三線

6、合一）.,AB=AC, BD=CD (已知). 1=2,ADBC（等腰三角形三線合一）,AB=AC, ADBC(已知). BD=CD, 1=2（等腰三角形三線合一）,綜上可得：如圖,在ABC中,（1）如果等腰三角形的一個底角為50， 則其余兩個角為_和_,（2）如果等腰三角形的頂角為80，則它的 一個底角為_,50,80,50,（3）如果等腰三角形的一個角為80，則其余兩個角為_,80和20,（4）如果等腰三角形的一個角為100，則其余兩個角為_,40和40,或50和50 ,隨堂練習(xí),根據(jù)等腰三角形的性質(zhì), 在ABC中， AB=AC時，,(1) ADBC，_ = _，_= _.,(2) AD是

7、中線，_ ，_ =_.,(3) AD是角平分線，_ _ ，_ =_.,BAD,CAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BD,BAD,BC,AD,CD,1（江西）已知等腰三角形的兩條邊長分別是7和3，則下列四個數(shù)中，第三條邊的長是( ) A 8 B 7 C 4 D 3,2(寧波) 如圖，在ABC中，AB=AC，A=36，BD、CE分別是ABC、BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（ ） A.5個 B.4個 C.3個 D.2個,A,B,3.如圖,在三角形ABD中,C是BD上的一點, 且AC垂直BD,AC=BC=CD.,(1) 求證:ABD是等腰三角形 (2)求ABD的度數(shù),A,B,C,D,4.將

8、下面證明中每一步的理由寫在括號內(nèi):,已知:如圖,AB=CD,AD=CB. 求證:A=C.,證明:連接BD, 在BAD和DCB中, AB=CD( ) AD=CB( ) BD=DB( ) BAD DCB( ) :A=C ( ),A,B,C,D,5.已知:如圖,點B,E, C,F在同一條直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF. 求證:A=D,等腰三角形的性質(zhì)： 性質(zhì)1 等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”） 性質(zhì)2 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的 中線、底邊上的高互相重合（ “三線合一”）即：等腰三角形頂角的角平分線垂直平分底邊,知識梳理,1.1.2等腰三角形,第一章 三角形的證明,

9、3等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60，則這個等腰三角形的頂角為（ ） A30 B150 C30或150 D120,1ABC中，AB=AC，A=70，則B=_,2等腰三角形一底角的外角為105，那么它的頂 角為_度,C,55,30,知識回顧,在等腰三角形中作出一些線段(如角平 分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些 相等的線段嗎? 你能證明你的結(jié)論嗎?,情境引入,作圖觀察,我們可以發(fā)現(xiàn)：等腰三角形兩底角的平分線相等；兩腰上的高、中線也分別相等,我們知道，觀察或度量是不夠的，感覺不可靠這就需要以公理和已證明的定理為基礎(chǔ)去證明它，讓人們堅定不移地去承認它，相信它 下面我們就來證明上面提到的線段中

10、的一種：等腰三角形兩底角的平分線相等,自主預(yù)習(xí),已知：如圖，在ABC中， AB=AC，BD、CE是ABC的角平分線,例1. 證明: 等腰三角形兩底角的平分線相等.,求證：BD=CE,新知探究,新知探究,證明：AB=AC， ABC=ACB(等邊對等角) 1= ABC，2= ACB， 1=2 在BDC和CEB中， ACB=ABC，BC=CB，1=2 BDCCEB(ASA) BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等),證法二,證明：AB=AC，ABC=ACB 3= ABC，4= ACB 3=4 在ABD和ACE中， 3=4，AB=AC，A=A ABDACE(ASA) BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等),

11、已知：如圖，在ABC中， AB=AC，BD、CE是ABC的高,1. 證明: 等腰三角形兩腰上的高相等.,求證：BD=CE,分析：要證BD=CE，就需證BD和CE所在的兩個三角形的全等,我能行,已知：如圖，在ABC中， AB=AC，BD、CE是ABC的中線,2. 證明: 等腰三角形兩腰上的中線相等.,求證：BD=CE,分析：要證BD=CE，就需證BD和CE所在的兩個三角形的全等,上面，我們只是發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中比較特殊的線段(角平分線、中線、高)相等，還有其他的結(jié)論嗎?你能從上述證明的過程中得到什么啟示? 把腰二等分的線段相等，把底角二等分的線段相等如果是三等分、四等分結(jié)果如何呢?,議一議

12、,1在等腰三角形ABC中， (1)如果ABD= ABC，ACE= ACB，那么BD=CE嗎? 如果ABD= ABC，ACE= ACB呢?由此，你能得到一個什么結(jié)論?,議一議,1在等腰三角形ABC中， (2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE嗎? 如果AD= AC，AE= AB呢 ? 由此你得到什么結(jié)論?,知識梳理,1.在ABC中，如果AB=AC，ABD= ABC， ACE= ACB，那么BD=CE. 2.在ABC中，如果AB=AC，AD= AC，AE= AB， 那么BD=CE.,簡述為： 1.在ABC中，如果AB=AC，ABD=ACE，那么BD=CE. 2.在ABC中，如果AB=A

13、C，AD=AE，那么BD=CE.,知識梳理,已知：在ABC中,AB=AC=BC, 求證:A=B=C=60 證明：,想一想,AB=AC,B=C(等邊對等角）,又AC=BC,A=B(等邊對等角）,A=B=C,在ABC中,A+B+C=180,A=B=C=60。,定理：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60,等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三 角形的內(nèi)角有什么特征？,已知：在ABC中,AB=AC=BC, 求證:A=B=C=60 證明：,想一想,結(jié)論:等腰三角形兩底角的平分線相等.,結(jié)論:等腰三角形兩腰的高線、中線分別相等.,定理：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等， 并且每個角都等于60,知識

14、梳理,1.求等邊三角形兩條中線相交所成銳角的度數(shù)。,隨堂練習(xí),2.證明: 等腰三角形腰上的高線與底邊的夾角等于頂角的一半.,隨堂練習(xí),3.如圖，在ABC中，D、E是BC的三等分點， 且ADE是等邊三角形，求BAC的度數(shù)。,1.1.3 等腰三角形,第一章 三角形的證明,等腰三角形有哪些性質(zhì)？,1.等腰三角形的兩底角相等 （簡寫成 “等邊對等角”）,AB=AC（已知） B=C（等邊對等角）,知識回顧,2.等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（ 簡寫成“三線合一” ）,AB=AC，BD=CD（已知） BAD=CAD， ADBC（三線合一）,AB=AC，BAD=CAD （已知）

15、BD=CD ，ADBC（三線合一）,AB=AC， ADBC （已知） BD=CD ，BAD=CAD （三線合一）,前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩個底角相等，反過來，有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?,已知：在ABC中，B=C， 求證：AB=AC,分析：只要構(gòu)造兩個全等的三角形，使AB與AC成為對應(yīng)邊就可以了. 比如作BC的中線，或作角A的平分線，或作BC上的高，都可以把ABC分成兩個全等的三角形,情境引入,定理：有兩個角相等的三角形是等 腰三角形.(等角對等邊.),等腰三角形的判定定理：,自主預(yù)習(xí),例2 已知：如圖，AB=DC,BD=CA, 求證：AED是等腰三角形。,證明：AB=DC,BD=

16、CA,AD=DA,ABDDCA(SSS),ADB=DAC(全等三角形的對應(yīng)角相等）,AE=DE(等角對等邊）, AED是等腰三角形。,想一想,小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等你認為這個結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?,新知探究,在ABC中, 如果BC, 那么ABAC.,我們來看一位同學(xué)的想法： 如圖，在ABC中，已知BC，此時AB與AC要么相等，要么不相等 假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得C=B，但已知條件是BC“C=B”與已知條件“BC”相矛盾，因此 ABAC。,你能理解他的推理過程嗎?,小明在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推

17、導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立這種證明方法稱為反證法,反證法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法. 在解決某些問題時常常會有出人意料的作用.,再例如，我們要證明ABC中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學(xué)的證法. 假設(shè)有兩個角是直角，不妨設(shè)A=90，B=90，可得A+B=180，但ABC中A+B+C=180 “A+B=180”與“A+B+C=180”相矛盾，因此ABC中不可能有兩個直角,這個推理過程怎樣寫呢？,例3.用反證法證明： 一個三角形中不能有兩個角是直角。 已知：ABC 求證：A、B、C中不能有兩個角是直角。,證明：假設(shè)A、B、C中有兩個角是直角， 不妨設(shè)A和

18、B是直角， 即A=90，B=90 ， 于是 A+B+C=90+90+C180。 這與三角形內(nèi)角和定理矛盾， 因此，“A和B是直角”的假設(shè)不成立。 所以，一個三角形中不能有兩個角是直角。,知識梳理,1.這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容？ 2.等腰三角形的判定及其在實際生活中的應(yīng)用你有哪些收獲？,1.假設(shè): 先假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 2.歸謬: 從這個假設(shè)出發(fā),應(yīng)用正確的推論方法, 得出與定義，公理、已證定理或已知 條件相矛盾的結(jié)果； 3.結(jié)論: 由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確, 從而肯定命題的結(jié)論正確。,用反證法證題的一般步驟：,1.現(xiàn)有等腰三角形紙片,如果能從一個角的頂點出發(fā),將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形

19、紙片,問此時的等腰三角形的頂角的度數(shù)?,108,隨堂練習(xí),36,90,2.如圖,ABC中,D.E分別是AC.AB上的點,BD與CE交于點O,給出下列四個條件:EBO=DCO BEO=CDO BE=CD OB=OC (1)上述四個條件中,哪兩個條件可判定ABC是等腰三角形(用序號寫出所有情形) (2)選擇的1小題的一種情形,證明ABC是等腰三角形.,O,; ; ; ,3.用反證法證明:在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60,證明: 假設(shè)A ,B, C是ABC的三個內(nèi)角, 且都大于60, 則A 60,B 60, C 60, A+B+C180; 這與三角形的內(nèi)角和是180定理矛盾,假設(shè)不成立,

20、在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60.,1.1.4 等腰三角形,第一章 三角形的證明,1.什么是等腰三角形？ 等腰三角形有什么性質(zhì)？,知識回顧,2.怎樣判斷一個三角形是等腰三角形？,情境引入,1.一個三角形滿足什么條件時是等邊三角形？ 2.一個等腰三角形滿足什么條件時便成了等邊三角形？ 3.用兩個含30角的全等的三角尺，能拼出一個怎樣的三角形？,自主預(yù)習(xí),通過回答上述問題并證明你的結(jié)論嗎？把你的證明思路與同伴進行交流。 總結(jié)： 定理：三個角都相等的三角形是等邊三角形。 定理：有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形。定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么他所對的直角邊等于斜邊的

21、一半。,定理:有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形.,證明:AB=AC, B=600(已知), C=B=600.(等邊對等角) A=600(三角形內(nèi)角和定理) A=B（等式性質(zhì)）. AC=CB（等角對等邊）. AB=BC=AC（等式性質(zhì)）. ABC是等邊三角形(等邊三角形意義).,已知:如圖,在ABC中 AB=AC,B=600. 求證:ABC是等邊三角形.,A,新知探究,定理:有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形。,在ABC中, AB=AC,B=600(已知). ABC是等邊三角形 (有一個角是600的等腰三角形 是等邊三角形).,這又是一個判定等邊三角形的根據(jù)之一。,定理:三個角都相

22、等的三角形是等邊三角形.,證明:A=B (已知), BC=AC,(等角對等邊). 又B=C(已知), AB=AC,(等角對等邊). AB=BC=AC(等式性質(zhì)). ABC是等邊三角形(等邊三角形意義),已知:如圖,在ABC中,A=B=C. 求證:ABC是等邊三角形.,定理:三個角都相等的三角形是等邊三角形,在ABC中, A=B=C(已知), ABC是等邊三角形(三個角都相等的三角形是等邊三角形).,做一做: 用兩個含有300角的三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形？,能證明你的結(jié)論嗎？,300,300,結(jié)論: 在直角三角形中, 300角所對的邊等于斜邊的一半.,能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由

23、.,由此你想到，在直角三角形中, 300角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？,定理:在直角三角形中, 如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.,已知:如圖,在ABC中,ACB=900,A=300 求證:BC= AB.,分析：突破如何證明“線段的倍、分”問題,“線段相等”問題,延長BC至D,使CD=BC,連接AD, ACB=900,BAC=300, ACD=90，B=60， AC=AC ABCADC（SAS） AD=AB（全等三角形的對應(yīng)邊相等） ABD是等邊三角形(有一個角是600的 等腰三角形是等邊三角形) BC= BD= AB(等式性質(zhì)).,證明: 延長BC至D,使C

24、D=BC,連接AD,定理:在直角三角形中, 如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.,在ABC中, ACB=900,A=300. BC= AB.(在直角三角形中, 300角所對的直角邊等于斜邊的一半).,推論：BC：AC：AB=,解:B=ACB=150(已知), DAC=B+ACB= 150+150=300(三角形的一個外角,等于和不相鄰的兩內(nèi)角的和). CD= AC=a(在直角三角形中, 如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).,例 已知:如圖,等腰三角形的底角為150,腰長為2a. 求腰上的高.,2a,2a,300,知識梳理,等邊三角形的判定: 定

25、理:有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形. 定理:三個角都相等的三角形是等邊三角形. 特殊的直角三角形的性質(zhì): 定理:在直角三角形中, 如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半. 老師提醒:反證法還認識你嗎?,1.已知:如圖, 在ABC中,ACB900,A=300,CDAB于D. 求證:BD=AB/4.,你能規(guī)范地寫出證明過程嗎？ 你的證題能力有所提高嗎?,300,隨堂練習(xí),A,B,C,300,300,D,2.探索腰AB與底BC的關(guān)系？,3.已知：如圖，在ABC中,高線BD和CE相交于H，BHC=120,HD=1,HE=3,求BD和CE的長。,CH=2 CE=5 BH=6

26、BD=7,4.已知：如圖，ABC是等邊三角形,D.E分別是BC,AC上的點,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQAD, 垂足是Q。 (1)求BPD的度數(shù) (2)求證:BP=2PQ,A,C,D,B,P,E,Q,5.矩形ABCD中,AB=6,BC=8,先把它對折,折痕為EF展開后再折成如圖所示,使點A落在EF上的點A處,求第二次折痕BG的長.,3,6,1.2.1 直角三角形,第一章 三角形的證明,1.如圖，在高為米，坡角為30的樓梯表面鋪毯，地毯長度約為多米？,米,知識回顧,2.我們曾經(jīng)探索過直角三角形的哪些性質(zhì)和判定方法？,3.直角三角形的邊有哪些性質(zhì)？,一般性質(zhì)：直角三角形的邊具有一般三角

27、形的所有性質(zhì).,特殊性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳 角等于30，那么它所對的直角 邊等于斜邊的一半.,1.直角三角形的角有哪些性質(zhì)？,想一想,情境引入,2.直角三角形的邊有哪些性質(zhì)？,3.如果一個三角形有兩個銳角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎？為什么？,自主預(yù)習(xí),閱讀課本14-18頁，回答問題： 1.什么是直角三角形？ 2.直角三角形的角有哪些性質(zhì)？反之，任意一個三角形的兩銳角具備這種關(guān)系就是直角三角形么？請說明理由。 3.直角三角形的邊有哪些性質(zhì)？勾股定理內(nèi)容是什么？反之，在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，這個三角形是直角三角形么？請說明理由。 4.逆命題、逆定理的概念

28、是什么？兩個互逆命題、互逆定理的關(guān)系是什么？真命題的逆命題是真命題么？定理的逆命題也是定理么？,勾股定理:如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理, (a+b)2 = c2 + 4ab/2,a2+2ab+b2 = c2 +2ab,a2+b2=c2,大正方形的面積可以表示為 也可以表示為,(a+b)2,c2 +4ab/2, c2= 4ab/2 +(b-a)2,c2 =2ab+b2-2ab+a2,c2 =a2+b2,a2+b2=c2,大正方形的面積可以表示為 也可以表示為,c2,4ab/

29、2+(b- a)2,1.直角三角形的性質(zhì)：,定理：直角三角形兩銳角互余.,新知探究,定理：有兩個銳角互余的三角形是直角三角形.,勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于 斜邊的平方.,勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。,反過來：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形。,提問：這個命題的條件是什么？結(jié)論是什么？請你根據(jù)條件和結(jié)論寫出已知和求證.,已知：如圖（1），在ABC中， AB2+AC2=BC2。 求證：ABC是直角三角形.,證明：如圖（2）作RtABC, 使A=90， AB=AB,AC=AC,AB2+AC2=BC2（勾股定理）.,AB2+

30、AC2=BC2 ,BC2=BC2.,BC=BC.,ABCABC(SSS).,A=A=90 (全等三角形的對應(yīng)角相等).,即，ABC是直角三角形.,定理: 直角三角形兩條直角邊的平方 和等于斜邊的平方。,定理: 如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三形是直角三角形。,兩個定理的條件和結(jié)論有什么樣的關(guān)系？,議一議,觀 察,如果兩個角是對頂角，那么他們相等； 如果兩個角相等，那么它們是對頂角。,一個三角形中相等的邊所對的角相等； 一個三角形中相等的角所對的邊相等。,如果小明患了肺炎，那么他一定會發(fā)燒； 如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎。,以上兩個命題的條件和結(jié)論有類似的關(guān)系嗎？,在兩個命

31、題中,如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題,其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.,互逆命題,你能寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等,那么它們的平方相等”的逆命題嗎?,它們都是真命題嗎?,想一想,說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假： （1）四邊形是多邊形； （2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補； （3）如果ab=0，那么a=0,b=0.,提問：一個命題是真命題，它的逆命題一定是真命題嗎？,一個命題是真命題,它逆命題卻不一定是真命題.,你還能舉出一些例子嗎?,想一想:互逆命題與互逆定理有何關(guān)系?,如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它是一個定理,這兩個

32、定理稱為互逆定理,其中一個定理稱另一個定理的逆定理.,互逆定理,判斷正誤： （1）互逆命題一定是互逆定理； （2）互逆定理一定是互逆命題. 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆定理，如勾股定理及其逆定理、“兩直線平行，內(nèi)錯角相等與“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”等.請你再舉出一些互逆定理的例子.,互逆命題,定理：有兩個銳角互余的三角形是直角三角形.,勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于 斜邊的平方.,知識梳理,定理: 如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三形是直角三角形。,定理：直角三角形兩銳角互余.,互逆定理,1.寫出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：,(2)矩形是正方形；,(3)如果x2

33、0，那么x0;,(4)直角都相等.,隨堂練習(xí),2.已知：線段abc的值如下，則能夠組成直角三角形的是（ ） (A)346 (B)51213 (C)124 (4)135,B,3.在ABC中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm ， 求證：AB=AC,4.已知：在ABC中， C=900， AD是BC邊上的中線，DEAB，垂足為E， 求證：AC2=AE2-BE2,解后反思,證明線段的平方和或差，常?？紤]運用勾股定理，若無直角三角形，可通過作垂線構(gòu)造直角三角形，以便運用勾股定理。,1.2.2 直角三角形,第一章 三角形的證明,1.判定兩個三角形全等方法， ， ， ， 。,

34、SSS,ASA,AAS,SAS,2.如圖，ABBE于B，DE BE于E，,（1）若 A= D，AB=DE，則 ABC與 DEF _, （填“全等”或“不全等”）根據(jù)_.,全等,ASA,（2）若 A= D，BC=EF，則 ABC與 DEF_ （填“全等”或“不全等”）根據(jù)_.,全等,AAS,（3）若AB=DE，BC=EF，則 ABC與DEF （填“全 等”或“不全等”）根據(jù)_,全等,SAS,（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF則ABC與DEF （填“全等”或“不全等”）, 根據(jù)_,SSS,全等,知識回顧,3.已知：如圖，ABC是一個鋼架，AB=AC，AD是連結(jié)A與BC中點D的支架.求證：A

35、DBC,兩邊分別相等且其中一組等邊的對角分別相等的兩個三角形全等嗎？如果其中一組等邊所對的角是直角呢？,情境引入,已知一條直角邊和斜邊，求做一個直角三角形。,做一做,已知：線段a=4cm、c=5cm,。 求做：RtABC,使C=900 ，CB=a，AB=c., 作MCN=C=90;, 在射線CM上截取線段CB=a;, 以B為圓心,C為半徑畫弧，交射線CN于點A;, 連接AB,得到ABC。,你作的直角三角形與這個三角形全等嗎？,動動手 做一做 比比看,把我們剛畫好的直角三角形剪下來，和同桌的比比看，這些直角三角形有怎樣的關(guān)系呢？,RtABCRtABC,你發(fā)現(xiàn)了什么？,新知探究,已知：如圖，在Rt

36、ABC和RtABC中， C=C=90，AB=AB，BC=BC 求證：RtABCRtABC,斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等,定理,已知：在RtABC和RtABC中，C=C=90，AB=AB，AC=AC 求證：RtABCRtABC,證明：在RtABC中，C=90 BC2=AB2AC2(勾股定理) 同理，B C 2=AB2AC2 ， AB=AB，AC=AC BC=BC， RtABCRtABC(SSS),這一定理可以簡述為“斜邊、直角邊”或“HL”。,例 如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角B和F的大小有什么關(guān)系？,解：根據(jù)題意

37、，可知， BAC=EDF=90 BC=EF,AC=DF, RtABCRtABC(HL) B=DEF(全等三角形的對應(yīng)角相等）， DEF+ F=90（直角三角形的兩銳角互余） B+ F=90。,(1) _, A=D ( ASA ) (2) AC=DF， _ (SAS),AC=DF,BC=EF,1.已知： C = F= 900 ，把下列說明RtABCRtDEF的條件根據(jù)題意補充完整。,隨堂練習(xí),(1) AB=DE， BC=EF ( ),HL,2.已知 C = F= 900 ，把下列說明RtABCRtDEF的條件根據(jù)題意補充完整。,(2) AC=DF， _ ( HL ),AB=DE,(5) B=E，

38、 AC=DF ( ) (6) _， BC=EF ( AAS ),A=D,3.已知 C = F= 900 ，把下列說明RtABCRtDEF的條件根據(jù)題意補充完整。,AAS,4.判斷下列命題的真假，并說明理由： (1)兩個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等； (2)斜邊及一銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等； (3)兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等； (4)一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等,5.如圖，在已知AOB的兩邊上分別取點M，N，使OM=ON，再過點M作OA的垂線，過點N作OB的垂線，兩垂線交于點P，那么射線OP就是么AOB的平分線 為什么？,6.如圖，已知AC

39、B=BDA=90，要使ACBBDA，還需要什么條件?把它們分別寫出來,從添加角來說，可以添加CBA=DAB或CAB=DBA；從添加邊來說，可以是AC=BD，也可以是BC=AD,1“HL”定理 2. 用三角尺作已知角的平分線，并說明理由 3總結(jié)：直角三角形全等的判定方法,知識梳理,1.3.1 線段的垂直平分線,第一章 三角形的證明,已知：如圖，在ABC和DEF中,AP、DQ分別是高, 并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF, 求證：ABCDEF,知識回顧,已知：如圖，在ABC和DEF中,AP、DQ分別是高,并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF, 求證：ABCDEF,A,B,C,P,D,

40、E,F,Q,變式1：若把BACEDF,改為BCEF ，ABC與DEF全等嗎？請說明思路。,變式2：若把BACEDF,改為AC=DF，ABC與DEF全等嗎？請說明思路。,變式3：請你把例題中的BACEDF改為另一個適當條件，使ABC與DEF仍能全等。試證明。,我們曾經(jīng)利用折紙的方法得到:線段垂直平分 線上的點到這條線段兩個端點距離相等.你能證明 這一結(jié)論嗎? 定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個 端點的距離相等,情境引入,定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等,已知:如圖,直線MNAB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一點. 求證:PA=PB.,自主預(yù)習(xí),證明：MNAB

41、 PCA=PCB=90 AC=BC,PC=PC APCBPC(SAS) PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等),如果點P與點C重合， 那么結(jié)論顯然成立。,幾何語言描述,老師提示: 這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.,如圖, AC=BC,MNAB,P是MN上任意一點(已知), PA=PB(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等).,思考：你能寫出“定理 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等”的逆 命題嗎?,逆命題：到一條線段兩個端點距離相等的點, 在這條線段的垂直平分線上.,它是真命題嗎?如果是,請你證明它.,新知探究,已知:如圖,PA=PB. 求證:點P在AB的垂直

42、平分線上.,A,C,B,P,方法一： 過點P作PCAB,垂足為C PCAB APC和BPC都是Rt PC=PC,PA=PB RtAPCRtBPC(HL) AC=BC(全等三角形的對應(yīng)邊相等) P在AB的垂直平分線上.,A,C,B,P,.,方法二： 把線段AB的中點記為C,連接PC C為AB的中點 AC=BC PA=PB,PC=PC APCBPC(SSS) PCA=PCB=90 PCAB 即P在AB的垂直平分線上.,逆定理 到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.,幾何語言描述： 如圖, PA=PB(已知), 點P在AB的垂直平分線上(到一條線段 兩個端點距離相等的點,在這條線

43、段的 垂直平分線上).,提示:這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明點在直線上(或直線經(jīng)過某一點)的根據(jù)之一.,A,B,P,例1：已知：如圖 1-18，在 ABC 中，AB = AC， O 是 ABC 內(nèi)一點，且 OB = OC.,求證：直線 AO 垂直平分線段BC,證明：AB=AC， 點A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段 兩個端點距離相等的點, 在這條線段的垂直平分線上）， 同理，點O在線段BC的垂直平分線上, 直線 AO 是線段BC的垂直平分線段（兩點確定一條直線）,1.如圖,已知AB是線段CD的 垂直平分線,E是AB上的一 點,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果ECD=600,那 么EDC=

44、0.,7,60,隨堂練習(xí),2.如圖,在ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,BCE的周長等于50,求BC的長.,解：DE為AB的垂直平分線 AE=BE BCE的周長等于50 BE+EC+BC=50 即：AE+EC+BC=50 AC+BC=50 AC=27 BC=23 比一比：你的寫作過程完整嗎？,3.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上一點。,求證：PB=PC,證明： AB=AC A在線段BC的垂直平分線上 BD=CD D在線段BC的垂直平分線上 AD是線段BC的垂直平分線 P是AD上一點 PB=PC。,3.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD

45、上一點,求證：PB=PC,深入探索：你還有其他的證明方法嗎？,1.線段垂直平分線的定理及證明 2.線段垂直平分線的逆定理及證明 3.兩個定理之間的區(qū)別與聯(lián)系,知識梳理,1.3.2 線段的垂直平分線,第一章 三角形的證明,1.線段垂直平分線的定理及證明 2.線段垂直平分線的逆定理及證明 3.兩個定理之間的區(qū)別與聯(lián)系,知識回顧,已知:線段AB,（如圖）. 求作:線段AB的垂直平分線.,用尺規(guī)作線段的垂直平分線.,1.分別以點A和B為圓心,以大于 長為半徑作弧,兩弧交于點C和D.,2.作直線CD.,則直線CD就是線段AB的垂直平分線.,.,.,作法：,1.剪一個三角形紙片通過折疊找出每條邊的垂直平分

46、線.觀察這三條垂直平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么？,2.利用尺規(guī)作出三角形三條邊的垂直平分線.再觀察這三條垂直平分線,你又發(fā)現(xiàn)了什么?與同伴交流.,3.證明你所得到的結(jié)論.,情境引入,1.定理: 三角形三條邊的垂直平分線_, 并且這一點到_的距離相等.,相交于一點,三個頂點,自主預(yù)習(xí),2.,已知：如圖,在ABC中,AB,BC的垂直平分線相交于點P,。 求證：點P也在AC的垂直平分線上 證明：連接AP,BP,CP. 點P在線段AB的垂直平分線上, _ 同理,PB=PC. PA=PC. _ AB,BC,AC的垂直平分線相交于一點.,PA=PB,點P在線段AB的垂直平分線上,新知探究,定理:三角形三條邊的垂直

47、平分線相交于一點,并且這一點到三個頂點的距離相等。,如圖,在ABC中, c,a,b分別是AB,BC,AC的垂直平分線c,a,b相交于一點P,且PA=PB=PC,三種幾何語言,分別作出直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說明交點分別在什么位置.,議一議,分別作出直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說明交點分別在什么位置.,銳角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直平分線交點在斜邊上；鈍角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形外。,1.已知三角形的一條邊及這條邊上的高,你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎?,2.已知等腰三角形的

48、底及底邊上的高,你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？能作幾個？,3.已知底邊及底邊上的高,用尺規(guī)作等腰三角形.,議一議,例3 已知一個等腰三角形的底邊和底邊上的高，求作這個等腰三角形。,已知：線段a、h 求作：ABC，使AB=AC，且BC=a， 高AD=h。,已知：線段a、h。 求作：ABC，使AB=AC，且BC=a， 高AD=h。 作法：,D,1作線段BC=a；,2作線段BC的垂直平分線MN交BC于D點；,3在直線MN上作線段DA,使DA=h；,4連接AB、AC.,ABC為所求的等腰三角形。,做一做,已知直線l和l上一點P,利用尺規(guī)作l的垂線,使它經(jīng)過點P。,如果點P在直線外呢？交流一下。,議一議,

49、1.已知三角形的一條邊及這條邊上的高,能作出_個三角形, 所作出的三角形_都全等.,2.已知等腰三角形的底及底邊上的高,能用尺規(guī)作出等腰三角形_個,無數(shù),不,兩,隨堂練習(xí),3.已知線段a，求作以a為底，以 a為高的等腰三角形。這個等腰三角形有什么特征?,4.已知：在ABC中，ON是AB的垂直平分線,OA=OC 求證：點O在BC的垂直平分線,5.如圖，AC=AD，BC=BD，則（ ） A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分ACB D.以上結(jié)論均不對,6.如果三角形三條邊的中垂線的交點在三角形的外部，那么，這個三角形是（ ） A.直角三角形B.銳角三角形 C.鈍角三角形D.等邊三

50、角形,B,C,8.線段垂直平分線上任一點到線段兩端距離相等；線段上任一點到垂直平分線兩端距離相等；經(jīng)過線段中點的直線只有一條；點P在線段AB外且PA=PB，過P作直線MN，則MN是線段AB的垂直平分線；過線段上任一點可以作這條線段的中垂線.正確的有（ ） A.1個B.2個C.3個D.4個,7.底邊AB=a的等腰三角形有_個，符合條件的頂點C在線段AB的_上,9.在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所成銳角為50，ABC的底角B的大小為_,無數(shù),垂直平分線,A,20或70,知識梳理,1.定理: 三角形三條邊的垂直平分線_, 并且這一點到_的距離相等.,相交于一點,三個頂

51、點,2.銳角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形內(nèi)； 直角三角形三邊的垂直平分線交點在斜邊上；鈍角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形外。,1.4.1 角平分線,第一章 三角形的證明,什么叫角平分線？ 角平分線上的點有什么性質(zhì)？ 你是怎樣得到的？ 你能證明嗎？,知識回顧,情境引入,角平分線性質(zhì)定理的逆命題是什么？是真命題嗎？你能證明嗎？（請寫出已知、求證、證明）,定理：,已知:如圖，OC是AOB的平 分線,P是OC上任意一點,PDOA, PEOB,垂足分別是D,E. 求證:PD=PE,自主預(yù)習(xí),角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。,證明: PDOA，PEOB， PDOPEO90， 12，POP

52、O， PDOPEO（AAS） PDPE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）,已知:如圖，OC是AOB的平 分線,P是OC上任意一點,PDOA, PEOB,垂足分別是D,E. 求證:PD=PE,1定理： 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離_。,老師提示:這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.,如圖, OC是AOB的平分線, , (已知) PD=PE().,幾何語言,反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？,你能寫出這個定理的逆命題嗎？,想一想,已知：如圖,QDOA，QEOB， 點D、E為垂足，QDQE 求證：點Q在AOB的平分線上,證明: QDOA，QEOB（已知）， Q

53、DOQEO90（垂直的定義） 在RtPDO和RtPEO中， QDQE（已知）， QOQO（公共邊）， QDOQEO（HL） QODQOE（全等三角形的對應(yīng)角相等） 點Q在AOB的平分線上,逆定理 在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離_的點,在這個角的上.,如圖, PD=PE, ,_ (已知), 點P在AOB的平分線上( ).,老師提示:這個結(jié)論又是經(jīng)常用來證明點在直線上(或直線經(jīng)過某一點)的根據(jù)之一.,幾何語言,例1 已知:如圖,在ABC中,點D在BC上，AD=10，且DE=DE,DEAB,DFAC,垂足分別是E,F.求DE的長.,小組合作完成。,1.動手用尺規(guī)畫出一個角的平分線；2.說明為什么是

54、角平分線的理由。,如何作角的平分線？,想一想,已知:AOB,如圖. 求作:射線OC,使AOC=BOC.,用尺規(guī)作角的平分線.,1.在OA和OB上分別截取OD,OE,使OD=.,2.分別以點D和E為圓心,以大于_長為半徑作弧,兩弧在 AOB內(nèi)交于點C.,3.作射線OC.,請你說明OC為什么是AOB的平分線,并與同伴進行交流.,則射線OC就是AOB的平分線.,作法：,1.如圖（1），AD平分BAC，點P在AD上，若PEAB，PFAC，則PE_PF. 2.如圖（2），PDAB，PEAC，且PD=PE，連接AP，則BAP_CAP. 3.如圖（3），BAC=60，AP平分BAC，PDAB，PEAC，若A

55、D=_,，則PE=_.,隨堂練習(xí),=,=,1,4.已知，如圖（4），AOB=60,CDOA于D，CEOB于E，若CD=CE，則COD+AOB=_度. 5.如圖（5），已知：OM是角POQ的平分線，MPOP于P，MQOQ于Q，SQOM=3 cm2，OP=3 cm，則MQ=_cm.,90,2,6.如下圖，在ABC中，ACB=90,BE平分ABC，DEAB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（ ） A.2 cmB.3 cm C.4 cmD.5 cm,7.如下圖，已知AB=AC，AE=AF，BE與CF交于點D，則ABEACF BDFCDE D在BAC的平分線上，以上結(jié)論中，正確的是（） A.只

56、有B.只有 C.只有和 D.、與,B,D,知識梳理,1.角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。,2.在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離_的點,在這個角的上.,1.4.2 角平分線,第一章 三角形的證明,知識回顧,證明一個命題的一般步驟: (1)弄清題設(shè)和結(jié)論； (2)根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形； (3)根據(jù)題設(shè)和結(jié)論寫出已知和求證； (4)分析證明思路,寫出證明過程。,角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.,OC是AOB的平分線,P在OC上， PDOA,PEOB,垂足分別是D,E， PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).,A,O,C,B,P,D,E,知識回顧,1.角平分線的性質(zhì)定理.

57、,在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.,PDOA,PEOB,垂足分別 是D,E，且PD=PE, 點P在AOB的平分線上.(在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上).,2.角平分線的性質(zhì)的逆定理.,已知:AOB,如圖. 求作:射線OC,使AOC=BOC.,用尺規(guī)作角的平分線.,作法:1.在OA和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.,2.分別以點D和E為圓心,以大于DE/2長為半徑作弧,兩弧在 AOB內(nèi)交于點C.,3.作射線OC.則射線OC就是AOB的平分線.,作三角形的三個內(nèi)角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？,發(fā)現(xiàn)：三角形的三個內(nèi)角的角平分線交于一點這一點到三角形三邊的距離相等,自主預(yù)習(xí),剪一個三角形紙片，通過折疊找出每個角的角平分線，觀察這三條角平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論？與同伴交流,結(jié)論:三角形三個角的平分線相交于一點.,點撥：要證明三條直線相交于一點，只要證明其中兩條直線的交點在第三條直線上即可。,命題:三角形三個角的平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。 已知：如圖，設(shè)ABC的角平分線BM、CN相交于點P，過P點作PDAB，PFAC，PEBC，其中D、E、F是垂足。 求證： A的角平分線經(jīng)過 點P，且PD=PE=PF,新知探究,證明： B