余弦定理的八種證明方法;

1、余弦定理的八種證明方法研究背景： 2011年高考數(shù)學(xué)卷（陜西卷）考出了“說明并證明余弦定理”這個考題,使平時不注重翻閱課本的同學(xué)大部分吃了虧，雖然這是書本上的知識，且課本上只給出了一種證明方法，但仍讓同學(xué)們很難想到會考這個證明題，因此我們利用這次研究性學(xué)習(xí)活動，以論文的方式來介紹一下多種余弦定理的證明方法，來增強(qiáng)我們對課本知識的理解。目的意義：用多種方法證明余弦定理，擴(kuò)展思維，了解更多的過程。內(nèi)容摘要：余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對余弦定理加以變形便可適當(dāng)移于其它知識。成果展示：一 余弦定理的內(nèi)容對于任意

2、三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為a，b，c ，則滿足性質(zhì)a = b + c- 2bccosa b = a + c - 2accosb c = a + b - 2abcosc 二 證明方法方法一：平面幾何法如圖，有a+b=c cc=(a+b)(a+b) c=aa+2ab+bb c=a+b+2|a|b|cos(-) 又cos(-)=-cos c=a+b-2|a|b|cos 再拆開，得c2=a+b-2*a*b*cosc方法二：勾股法在任意abc中做adbc. c所對的邊為c，b所對的邊為b，a所對的邊為a 則有bd=cosb*c

3、，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 根據(jù)勾股定理可得： ac=ad+dc b=(sinb*c)+(a-cosb*c) b=(sinb*c)+a-2ac*cosb+(cosb)*c b=(sinb+cosb)*c-2ac*cosb+a b=c+a-2ac*cosb方法三：解析法在三角形abc建立直角坐標(biāo)系，使a點為原點，b點落在x軸正半軸上，設(shè)三角形三邊abc則有三點坐標(biāo)為a（0，0）b（c，0）c（bcosa，bsina）bc=a則由距離公式得a=（c-bcosa）2-（bsina） 化簡得a=c+b-2bccosa a=c+b-2bccosa方法四：面積法sacq=(1

4、/2)bc(cosbac),spbc=(1/2)ac(coscba), bc(cosbac)+ac(coscba)=2(sacq+spbc)=c, 同理，ac(coscba)+ab(cosacb)=a, ab(cosacb)+bc(cosbac)=b. 聯(lián)立三個方程， bc(cosbac)+ac(coscba)=c（1）ac(coscba)+ab(cosacb)=a（2）ab(cosacb)+bc(cosbac)=b（3）易得余弦定理方法五：正弦法bsinbcsincabsinasinb a+b-csina+sinb-sincabsinasinb a+b-c=absinasinb（sina+s

5、inb-sinc）（1）又sina=1-cos2a2 sinb=1-cos2b2sina+sinb=1-（cos2a+cos2b）=1-cos（a+b）cos（a-b）abc中cos（a+b）=cos（180-c）=-coscsina+cosb=1-cosccos（a-b）（2）（2）帶入（1）得a+b-c=1+cosccos（a-b）-sinc =cosc+cosccos（a-b） =cosccosc+cos（a-b） =cosc-cos（a+b）+cos（a-b） =2abcoscc=a+b-2abcosc同理可證b=a+c-2accosba=c+b-2bccosa 方法六：攝影定理法a=

6、bcosc+ccosb（1） b=acosc+ccosa(2) c=bcosa+acosb(3)（1）a+（2）b-（3）c得c=a+b-2abcosc同理可證b=a+c-2accosba=c+b-2bccosa 方法七：復(fù)數(shù)法如下圖，在復(fù)平面內(nèi)作abc，則 =a（cosb+i sinb），= =bcos（a）+i sin（a），這里c是平行四邊形acbc的頂點，根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義可知， 。所以c=a（cosb+i sinb）+bcos（a）+i sin（a） =（acosb+bcosa）+（asinbbsina）i。（*）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有asinbbsina=0，即 。對（*）式兩

7、邊取模，得c=（acosb+bcosa）（asinbbsina）=a+b+2abcos（b+a）=a+b2abcosc其他各式同理可證。方法八：物理法設(shè)三角形abc是邊長分別為a、b、c的通電導(dǎo)線框，其電流長度為i?，F(xiàn)將它置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為b的勻強(qiáng)磁場中且線框平面與磁場方向垂直，那么三角形abc的三邊所受的安培力如圖1所示，其大小分別為fa=biafb=bib（1）fc=bic很顯然，這三個力是相互平衡的共點力，它們的作用線相交與三角形abc的外心o，現(xiàn)以o點為原點，分別建立如圖2甲、丙所示的直角坐標(biāo)系，對fa、fb、fc進(jìn)行正交分解，根據(jù)甲圖，有fasinb-fbsina=0facosb-fbcosa=fc （2） 同理，根據(jù)乙圖、丙圖分別有fbsinc-fcsinb=0fbcosc+fccosb=fa （3）和fasinc-fcsina=0facosc+fccosa=fb （4）將（1）式分別代入（2）、（3）、（4）、式并整理，得biacosb+bibcosa=bicbibcosc+biccosb=biabiccosc+biccosa=bib