圓中的最值問題

1、圓中的最值問題【考題展示】題1 (2012年武漢中考)在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AC=2設(shè)tanBOC=m，則m的取值范圍是_題2 (2013年武漢元調(diào))如圖，在邊長為1的等邊OAB中，以邊AB為直徑作D，以O(shè)為圓心OA長為半徑作O，C為半圓弧上的一個(gè)動點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），射線AC交O于點(diǎn)E，BC=，AC=，求的最大值.（有修改）題3 (2013年武漢四調(diào))如圖，BAC=60，半徑長為1的圓O與BAC的兩邊相切，P為圓O上一動點(diǎn)，以P為圓心，PA長為半徑的圓P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長度的最大值為_題4

2、 (2013年武漢五模)在ABC中，若ABC的內(nèi)切圓半徑為r，則r的最大值為_（有修改）題5 (2013年武漢中考)如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動點(diǎn)，滿足AE=DF連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是_ 題1圖 題2 圖 題3 圖 題4圖 題5圖【典題講練】類型1（相關(guān)題：題5）1.1 如圖，邊長為a的等邊ABC的頂點(diǎn)A，B分別在x軸正半軸和y軸正半軸上運(yùn)動，則動點(diǎn)C到原點(diǎn)O的距離的最大值是_ 1.2 在直角坐標(biāo)系中，ABC滿足，C=90，AC=8，BC=6，點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，當(dāng)A點(diǎn)從原點(diǎn)開始在正x軸上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)B隨著在

3、正y軸上運(yùn)動（下圖），求原點(diǎn)O到點(diǎn)C的距離OC的最大值，并確定此時(shí)圖形應(yīng)滿足什么條件 1.3 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知等腰直角三角形ABC，C=90，AC=BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A從原點(diǎn)開始在x軸的正半軸上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)C在y軸正半軸上運(yùn)動（1）當(dāng)A在原點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)OA=OC時(shí)，求原點(diǎn)O到點(diǎn)B的距離OB；（3）在運(yùn)動的過程中，求原點(diǎn)O到點(diǎn)B的距離OB的最大值，并說明理由 1.4 邊長為2的等邊ABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上移動，頂點(diǎn)B在射線OD上移動，AOD=45，則頂點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離為_ 1.5 如圖，O的直徑為4，C為O上一個(gè)定點(diǎn)，ABC=30，

4、動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿半圓弧向B點(diǎn)運(yùn)動（點(diǎn)P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè))，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動停止，在運(yùn)動過程中，過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點(diǎn)（1）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段CD長度的取值范圍為_；（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段AD長度的最大值為_ 1.6 如圖，定長弦CD在以AB為直徑的O上滑動（點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合），M是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CPAB于點(diǎn)P，若CD=3，AB=8，則PM長度的最大值是_1.7 如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，且AD=2，M為BD的中點(diǎn)，在D點(diǎn)運(yùn)動過程中，線段CM長度的取值范圍是_ 類型2（相關(guān)題：題4）

5、2.1 如圖，已知AB是O的弦，C是O上的一個(gè)動點(diǎn)，連接AC、BC，C=60，O的半徑為2，則ABC面積的最大值是_ 2.2 如圖，已知直線MN經(jīng)過O上的點(diǎn)A，點(diǎn)B在MN上，連OB交O于C點(diǎn)，且點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，AC=OB，若點(diǎn)P是O上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)AB=時(shí)，APC的面積的最大值為_2.3 如圖，半圓O的半徑為1，ACAB，BDAB，且AC=1，BD=3，P是半圓上任意一點(diǎn)，則封閉圖形ABDPC面積的最大值是_ 2.4 已知RtABC中，斜邊AB=5，則斜邊上的高的最大值為_2.5 如圖，若RtABC的斜邊AB=2，內(nèi)切圓的半徑為r，則r的最大值為_ 2.6 如圖，在ABC中，AB=10，AC

6、=8，BC=6，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動圓與CB，CA分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則線段EF長度的最小值是_ 2.7 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（0，4），O的半徑為1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P在直線AB上，過點(diǎn)P作O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長PQ的最小值為_ 2.8 如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），A的半徑為1，P為x軸上一動點(diǎn)，PQ切A于點(diǎn)Q，則當(dāng)PQ最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為_ 類型3（相關(guān)題：題3）3.1 如圖，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是線段BC上的一個(gè)動點(diǎn)，以AD為直徑畫O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF（1）探

7、究線段EF長度為最小值時(shí)，點(diǎn)D的位置，請畫出圖形；（2）求出該最小值3.2 如圖，在ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，動點(diǎn)P、Q分別在邊AB、AC上，使APQ的外接圓與BC相切，則線段PQ的最小值等于_ 類型4（相關(guān)題: 題2）4.1 如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的O上，CDAB于P，設(shè)AP=a，PB=b（1）求弦CD的長；（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此時(shí)a，b的值(參考2.4、2.5） 4.2 如圖，半徑為2的O有兩條互相垂直的弦AB和CD，其交點(diǎn)E到圓心O的距離為1，則AB2+CD2=_ 4.3 如圖，O的半徑為2，點(diǎn)P是O內(nèi)一點(diǎn)，且OP=，過P作互相垂直的兩條弦A

8、C、BD，則四邊形ABCD面積的最大值為_ 4.4 如圖，以O(shè)為圓心，1為半徑的圓內(nèi)有一定點(diǎn)A，過A引互相垂直的弦PQ，RS求PQ+RS取值范圍 4.5 如圖，線段AB=4，C為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，以AC、BC為邊作等邊ACD和等邊BCE，O外接于CDE，則O半徑的最小值為 . 4.6 在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫O，P是O上一動點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作O的切線與軸相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B，線段AB長度的最小值是 . 類型5（相關(guān)題：題1）5.1 如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2，0)、(0，1)，C的圓心坐標(biāo)為(0，-1)，半徑為1，D是C上的一個(gè)動點(diǎn)，

9、射線AD與y軸交于點(diǎn)E，則ABE面積的最大值是_5.2 如圖，RtABC中，C=90，A=30，AB=4，以AC上的一點(diǎn)O為圓心OA為半徑作O，若O與邊BC始終有交點(diǎn)（包括B、C兩點(diǎn)），則線段AO的取值范圍是 .5.3 如圖，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作CD的垂線交直線BC于點(diǎn)E，則線段CE長度的最小值是 .5.4 在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B是y軸右側(cè)一點(diǎn)，且AB=2，點(diǎn)C上直線y=x+1上一動點(diǎn)，且CBAB于點(diǎn)B，則，則的取值范圍是 .5.5 如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1），以A為圓心的A切x軸于點(diǎn)B，P為A上的一個(gè)動點(diǎn)，請分別探索：

10、的最大值；的最小值；的最大值；的最大值；【拓展延伸】：的范圍；的范圍；類型66.1 如圖，CD是O的直徑，點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，B是弧AD的中點(diǎn)，P點(diǎn)為直線CD上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)CD=4時(shí)，求：（1）AP+BP的最小值（2）APBP的最大值6.2 如圖，已知圓O的面積為3，AB為直徑，弧AC的度數(shù)為80，弧BD的度數(shù)為20，點(diǎn)P為直徑AB上任一點(diǎn)，則PC+PD的最小值為_6.3 如圖，AB、CD是半徑為5的O的兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，ABMN于點(diǎn)E，CDMN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值為_6.4 如圖，AB是O的直徑，弦BC=2cm，F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn)，AB

11、C=60若動點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著AB方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s），連接EF、CE，當(dāng)t為_秒時(shí)，CE+EF最小，其最小值是_6.5 四邊形ABCD內(nèi)接于圓，已知ADC=90，CD=4，AC=8，AB=BC設(shè)O是AC的中點(diǎn)（1）設(shè)P是AB上的動點(diǎn)，求OP+PC的最小值；（2）設(shè)Q，R分別是AB，AD上的動點(diǎn)，求CQR的周長的最小值 補(bǔ)充練習(xí)（與例題類型不完全對應(yīng)）1. 如圖，已知直線l與O相離，OAl于點(diǎn)A，OA=5，OA與O相交于點(diǎn)P，AB與O相切于點(diǎn)B，BP的延長線交直線l于點(diǎn)C，若在O上存在點(diǎn)Q，使QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則O的半徑r的取值范圍為_2已知：如圖，

12、RtABC中，B=90，A=30，BC=6cm，點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒cm的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動了t秒(t0)時(shí)，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓與邊AC相切于點(diǎn)D，與邊AB相交于E、F兩點(diǎn)，過E作EGDE交射線BC于G.（1）若點(diǎn)G在線段BC上，則t的取值范圍是_（2）若點(diǎn)G在線段BC的延長線上，則t的取值范圍是_3如圖，M，N的半徑分別為2cm，4cm，圓心距MN=10cmP為M上的任意一點(diǎn)，Q為N上的任意一點(diǎn)，直線PQ與連心線所夾的銳角度數(shù)為，當(dāng)P、Q在兩圓上任意運(yùn)動時(shí)，的最大值為_4如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 為矩形ABCD的中心，以D為圓心1為半徑作D，P為D上的

13、一個(gè)動點(diǎn)，連接AP、OP，則AOP面積的最大值為_5如圖，在RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q，則線段PQ長度的最小值是_6如圖，在等腰RtABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上運(yùn)動（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合），過A、D、E三點(diǎn)作O，O交AC于另一點(diǎn)F，在此運(yùn)動變化的過程中，線段EF長度的最小值為_7如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，0)、(0，2)，C的圓心的坐標(biāo)為(-1，0)，半徑為1，若D是C上的一個(gè)動點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則ABE面積的最小值是_8如圖，等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC=4，C的半徑為1，點(diǎn)P在斜邊AB上，PQ切O于點(diǎn)Q，則切線長PQ長度的最小值為_9在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P（）是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AB=2，則的范圍為_10在平面直角坐標(biāo)系中，M（3，