工程圖學(xué)基礎(chǔ)第二章2.ppt

1、,2.3 直線的投影,三、直線上的點(diǎn),四、兩直線的相對位置,五、垂直兩直線(一邊平行于投影面),二、各種位置直線的投影特性,六、用直角三角形法求一般位置線段實(shí)長 及與投影面的夾角,一、直線的投影,一、直線的投影,兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。,2.3.1 直線的投影特性,直線垂直于投影面 投影重合為一點(diǎn) 積 聚 性,直線平行于投影面 投影反映線段實(shí)長 ab=AB,直線傾斜于投影面 投影比空間線段短 投影不反映線段實(shí)長 ab=AB*cos,(m),結(jié)論：直線的投影由直線的位置決定，投影一般為線，特殊情況下為點(diǎn),1、直線對一個(gè)投影面的投影特性, 直線在三個(gè)投影

2、面中的投影特性,一般位置直線,其投影特性取決于直線與三個(gè)投影面間的相對位置。直線對投影面的相對位置有三種情況:一般位置直線,投影面平行線,投影面垂直線., 直線在三個(gè)投影面中的投影特性,投影面平行線,投影面垂直線,正平線（平行于面）,水平線（平行于面),側(cè)平線（平行于W面）,正垂線（垂直于面）,鉛垂線（垂直于面）,側(cè)垂線（垂直于面）,統(tǒng)稱特殊位置直線,（一）投影面平行線,V,W,H,Y,X,Z,側(cè)平線,水平線,正平線,(1) 水平線 平行于水平投影面的直線(Z相等）,投影特性：1abOZ軸; abOZ軸, ab與投影軸傾斜 圖形特性 2 ab = AB, ab AB, ab AB度量特性 3水

3、平投影反映 、 角的真實(shí)大小度量特性,AB實(shí)長,AB實(shí)長,（2）正平線平行于正立投影面的直線（Y相等）,投影特性： 1 ab OYH軸; a bOYW軸, a b與投影軸傾斜 2 a b=AB, abAB, a b AB 3 正面投影反映、角的真實(shí)大小,AB實(shí)長,AB實(shí)長,（3）側(cè)平線平行于側(cè)立投影面的直線（X相等）,投影特性： 1 abOX軸 ; ab OX軸 2 ab =AB 與投影軸傾斜 3側(cè)面投影反映 、 角的真實(shí)大小,AB實(shí)長,AB實(shí)長,總結(jié):投影面平行線的投影特性,在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長；并反映直線與另兩投影面傾角。 其它兩投影平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實(shí)長。,一斜二正，

4、斜為實(shí)長，反映傾角。,例1.過點(diǎn)B作水平線AB的三面投影,長20mm,30，A點(diǎn)從點(diǎn)B向右、向后。,2.投影面垂直線,投影特性 （1） a b積聚成一點(diǎn) （2） a bOX; ab OYW （3）a b ab AB,正垂線 垂直于正面投影面的直線。,投影特性 （1） a b積聚成一點(diǎn) （2） a b OX; ab OZ （3）abab AB,側(cè)垂線 垂直于側(cè)面投影面的直線。,投影特性 （1） ab 積聚成一點(diǎn) （2） ab OYH; a b OZ （3）ab a b AB,總結(jié)：投影面垂直線的投影特性,在所垂直的投影面上的投影積聚 為一點(diǎn)； 其它兩投影垂直于相應(yīng)的投影軸，（平行于同一條軸）并反

5、映實(shí)長。,一點(diǎn)兩線，線垂直于軸，等于實(shí)長。,3.一般位置直線,投影特性 （1） ab、 a b 、 ab均小于實(shí)長 （2） ab、 a b 、 ab均傾斜于投影軸 （3）不反映、角的真實(shí)大小,判斷下列直線對投影面的相對位置,a,一般位置,正平,鉛垂,側(cè)垂,側(cè)平,三、直線上的點(diǎn),若點(diǎn)在直線上, 則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。,若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上， 則該點(diǎn)必不在此直線上。,AC/CB=ac/cb= ac/ cb,定比定理,并將線段的同名投影分割成與空間相同的比例。即：,例2.已知線段AB的投影圖，試將AB分成2:1兩段，求分點(diǎn)C的投影c、c 。,例3.判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。

6、,a,b,另一判斷法?,因k不在ab上，故點(diǎn)K不在AB上。,四、兩直線的相對位置,1.平行兩直線,若空間兩直線相互平行，則它們的同名投影必然相互平行。反之，如果兩直線的各個(gè)同名投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相互平行。,空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。,例：判斷圖中兩條直線是否平行。,對于一般位置直線，只要有兩組同面投影互相平行，空間兩直線就平行。,AB與CD平行。,AB與CD不平行。,對于特殊位置直線，只有兩組同面投影互相平行，空間直線不一定平行,要根據(jù)第三投影判斷。,d,O,Z,YH,YW,2.相交兩直線,當(dāng)兩直線相交時(shí)，它們在各投影面上的同名投影也必然相交，且交點(diǎn)符合空間

7、一點(diǎn)的投影規(guī)律。反之亦然。,交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn),兩直線交叉,投影特性：,同名投影可能相交，但 “交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。,“交點(diǎn)”是兩直線上的一 對重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。,、是面的重影點(diǎn)，、是H面的重影點(diǎn)。,為什么？,兩直線相交嗎？,凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。,3(4 ),1(2),交叉兩直線的投影及重影點(diǎn)可見性的判斷,1(2),例4.過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。,先作正面投影,例5.判斷兩直線的相對位置,平行,相交,交叉,相交,交叉,例6.過點(diǎn)A作直線AB與直線CD相交，交點(diǎn)距H面距離為20mm。,b,b,b,b,b,b,例7.作直線AB

8、與直線PQ平行，與直線ED、HG相交。,五、垂直兩直線(一邊平行于投影面),若直角有一邊平行于投影 面，則它在該投影面上的 投影仍為直角。,設(shè) 直角邊BCH面 因 BCAB, 同時(shí)BCBb 所以 BCABba平面,即 abc為直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,證明：,直角投影定理,例8.過C點(diǎn)作直線與AB垂直相交。,d,AB為正平線, 正面 投影反映直角。,例9.作線段AB、CD的公垂線EF。,2.3.6 直角投影定理,定理二： 兩直線在某一投影面上的投影為直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線垂直。,例：判斷兩直線是否垂直（相交垂直、交叉垂直）,（否）,（

9、相交垂直）,（否）,（交叉垂直）,（相交垂直）,（否）,六、用直角三角形法求一般位置線段實(shí)長及 與投影面的夾角,1.求直線的實(shí)長及對水平投影面的夾角角,|zA-zB|,C,2.求直線的實(shí)長及對正面投影面的夾角角,|yA-yB|,|yA-yB|,C,|yA-yB|,3求直線的實(shí)長及對側(cè)面投影面的夾角 角,x,例10.已知線段AB的正面投影ab和A點(diǎn)的水平投影a，且B點(diǎn)在A點(diǎn)的前方，AB長25毫米，求它的水平投影。,b,例11.已知線段AB的正面投影ab 和A點(diǎn)的水平投影a，且B點(diǎn)在A點(diǎn)的前方，求它的水平投影。,b,b,例12.已知線段AB的投影，試定出屬于線段AB的點(diǎn)C的投影，使BC的實(shí)長等于已

10、知長度L。,AB,zA-zB,ab,例13.作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BC:AB=2:3,b,例14.完成等腰直角三角形ABC的兩面投影。已知AC為斜邊，頂點(diǎn)B在直線NC上。,直線的投影特性。 一般位置線段投影、實(shí)長、夾角的關(guān)系。 兩直線的相對位置的判斷方法及投影特性。 直線上的點(diǎn)，定比定理。 直角定理，即兩直線垂直時(shí)的投影特性。,重點(diǎn)掌握：,小結(jié),一、各種位置直線的投影特性, 一般位置直線,三個(gè)投影與各投影軸都傾斜。, 投影面平行線,在其平行的投影面上的投影反映線段實(shí)長及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個(gè)投影平行于相應(yīng)的投影軸。, 投影面垂直線,在其垂直的投影面上的投影積聚為一

11、點(diǎn)。另兩個(gè)投影反映實(shí)長且垂直于相應(yīng)的投影軸。,二、直線上的點(diǎn), 點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。, 點(diǎn)分線段成定比，點(diǎn)的投影必分線段的投影 成定比定比定理。,三、兩直線的相對位置, 平行, 相交, 交叉（異面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。,同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律?！敖稽c(diǎn)”是兩直線上一對重影點(diǎn)的投影。,四、相互垂直的兩直線的投影特性, 兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，在該 投影面上的投影反映直角。, 兩直線中有一條平行于某一投影面時(shí)， 在該投影面上的投影反映直角。, 兩直線均為一般位置直線時(shí)， 在三個(gè)投影面上的投

12、影都不 反映直角。,直角定理,2.4 平面的投影,一、平面的表示法,1.用幾何元素表示平面,不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn),直線及線外一點(diǎn),兩平行直線,兩相交直線,平面圖形,2.平面的跡線表示法,二、各種位置平面的投影特性,平行,垂直,傾斜,實(shí)形性,積聚性,類似性,平面的投影特性,投影面平行面,一般位置平面,投影面垂直面,平面對于三投影面的位置可分為三類,1.一般位置平面,投影特性 （1） abc、 abc 、 abc均為ABC的類似形 （2） 不反映、角的真實(shí)大小,2.投影面垂直面,投影特性,鉛垂面 正垂面 側(cè)垂面,（1）abcd積聚為一條線 （2） abcd 、 abcd均為ABCD的類似形 （3

13、）abcd與OX、OY的夾角反映 、角的真實(shí)大小,正垂面,投影特性,（1） abcd 積聚為一條線 （2） abcd 、 abcd均為ABCD的類似形 （3）abcd與OX、OZ的夾角反映 、角的真實(shí)大小,水平面 正平面 側(cè)平面,3.投影面的平行面,投影特性,（1） abcd 、 abcd 積聚為一條線，具有積聚性 （2）水平投影 abcd 反映ABCD的實(shí)形,正平面,投影特性,（1） abcd 、 abcd 積聚為一條線，具有積聚性 （2）正面投影 abcd反映ABCD的實(shí)形,側(cè)平面,投影特性,（1）abcd 、 abcd 積聚為一條線，具有積聚性 （2）側(cè)面投影 abcd反映ABCD的實(shí)形

14、,三、屬于平面的點(diǎn)和直線,1.平面上的直線,若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。,若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。,2.平面上的點(diǎn),點(diǎn)在平面上的幾何條件是：點(diǎn)在平面內(nèi)的某一直線上。,例1.已知平面由兩平行直線AB、CD確定，試判斷點(diǎn)M是否在該平面內(nèi)。,t,s,t,s,例2.已知點(diǎn)K在ABC上，試求點(diǎn)K的水平投影。,例3.已知點(diǎn)E在ABC上，試求點(diǎn)E的正面投影 。,例4.已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。,3.包含直線作平面,S,過一般位置直線AB作鉛垂面PH,過一般位置直線AB作正垂面SV,P,過一般位置直線可作投影面的垂直面,例5.過

15、點(diǎn)A、B分別作正平面、正垂面，過CD作鉛平面。,（2）作正垂面,（1）作正平面,（3）作鉛垂面,4.屬于平面的投影面平行線,例6.在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的 距離為10mm。,n,m,n,m,唯一解！,有多少解？,例7.已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCD的水平投影。,b,c,k,b,解法一,解法二,例8.已知點(diǎn)K在ABCD平面上，且點(diǎn)K距離H面10mm，距離V面15mm，試求點(diǎn)K的投影。,例9.已知平面四邊形ABCD，其中DC為正平線，試完成平面四邊形的水平投影投影。,e,d,c,e,例10.已知BD是ABC上與W、H兩投影面等距離點(diǎn)的軌跡，A點(diǎn)與W、V兩投影面等距，完成A

16、BC的投影。,例11.在ABC上作出與W、H兩投影面等距離點(diǎn)的軌跡。,X,Y,O,Z,要 點(diǎn),一、各種位置平面的投影特性, 一般位置平面, 投影面垂直面, 投影面平行面,三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類似多邊形類似性。,在其垂直的投影面上的投影積聚成直線積聚性。 另外兩個(gè)投影類似。,在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形實(shí)形性。 另外兩個(gè)投影積聚為直線。,二、平面上的點(diǎn)與直線, 平面上的點(diǎn),一定位于平面內(nèi)的某條直線上。, 平面上的直線,（1） 過平面上的兩個(gè)點(diǎn)。,（2）過平面上的一點(diǎn)并平行于該平面上的某條直線。,重點(diǎn)掌握：,二、如何在平面上確定直線和點(diǎn)。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。,小

17、 結(jié),一、平行問題,直線與平面平行,平面與平面平行,判別已知線、面是否平行；,2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,相對位置包括平行、相交和垂直。,有關(guān)線、面平行的作圖問題有：,作直線與已知平面平行；,包含已知直線作平面與另一已知平面平行。,若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面平行。,1.直線與平面平行,直線與平面平行的條件,例1.過M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。,例2.判別直線AB是否平行于平面DEF。,結(jié)論：直線AB不平行于定平面,k,例3.過點(diǎn)D作正平線與平面平行。,m,例4.過點(diǎn)C作平面平行于直線AB。,例5.補(bǔ)全與已知直線平行的平面。,m,例6.已知線段MN=30mm，

18、點(diǎn)N在點(diǎn)M之后，且線段MN與ABC平行，完成MN和ABC的兩面投影。,P,若一平面上的兩相交直線對應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。,2.兩平面平行,兩平面平行的條件,m,n,r,s,結(jié)論：兩平面平行,例7.試判斷兩平面是否平行。,例8.過交叉兩直線AB和CD各作一平面,使它們互相平行。,例9.已知定平面由平行兩直線AB和CD給定,試過點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。,若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互相平行。,例10.試判斷兩平面是否平行。,直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。,直線與平面相交,平面與平面相交,二、相交問題,解決的問題是：,求交點(diǎn)

19、、交線。,判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。,平面與平面相交，交線是直線為兩平面的共有線。,由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交點(diǎn)可直 接求出。,.一般位置直線與特殊位置平面相交,2.投影面垂直線與一般位置平面相交,k,鉛垂線與一般位置平面相交 示意圖,ab,判別直線的可見性,1,( ),3.一般位置平面與特殊位置平面相交,求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題, 由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交線可直接求出。,4.一般位置直線與一般位置平面相交,以輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖,4.一般位置直線與一般位置平面相交,步驟： 1.過AB作鉛垂平面R。,2.求R平面與CDE的交線MN。,3.求交線MN與AB的交點(diǎn)K。