極點與極線的性質

1、 第15講:極點與極線的性質 125 第15講:極點與極線的性質 極點與極線是高等幾何中的基本且重要的概念,雖然中學數(shù)學沒有介紹,但以此為背景命制的高考試題經(jīng)常出現(xiàn).掌握極點與極線的初步知識,可使我們“登高望遠”,抓住問題的本質,確定解題方向,尋找簡捷的解題途. 定義:已知曲線G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,則稱點P(x0,y0)和直線l:ax0x+b+cy0y+d+e+f=0是曲線G的一對極點與極線,點P稱為直線l關于曲線G的極點;直線l稱為點P關于曲線G的極線.稱點P與直線l有“配極關系”,或“對偶關系”,相互為對方的“配極元素”,或“對偶元素”. 特別地,當點P在曲線G上

2、時,點P關于曲線G的極線是曲線G在點P處的切線;圓錐曲線的焦點對應的極線是該焦點對應的準線;圓錐曲線的準線對應的極點是該準線對應的焦點. 位置關系:已知點P關于圓錐曲線G的極線是直線l,則三者的位置關系是:若點P在曲線G上,則直線l是曲線G在點P處的切線;若點P在曲線G外,則直線l是由點P向曲線G引兩條切線的切點弦;若點P在曲線G內,則直線l是經(jīng)過點P的曲線G的弦的兩端點處的切線交點軌跡.如圖: l l l P M P A D M P N C N B 配極原則:如果點P的極線通過點Q,則點Q的極線也通過點P. 證明:設圓錐曲線G:ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,點P(xp,yp

3、),Q(xQ,yQ),則點P、Q關于曲線G的極線方程分別為p:axpx+b+cypy+d+e+f=0,q:axQx+b+cyQy+d+e+f=0,則點P的極線通過點QaxpxQ+b+cypyQ+d+e+f=0點P(xp,yp)在直線q:axQx+b+cyQy+d+e+f=0上點Q的極線也通過點P. 推論1:兩點連線的極點是此二點極線的交點,兩直線交點的極線是此二直線極點的連線; 證明:設兩點A、B連線的極點是P,即點P的極線經(jīng)過點A、B,由配極原則知點A、B的極線均過點P,即點P是此二點極線的交點;同理可證:兩直線交點的極線是此二直線極點的連線. 推論2(共點共線):共線點的極線必共點;共點線

4、的極點必共線. 證明:設點A、B均在直線l上,直線l對應的極點為P,由配極原則知點A、B的極線均過點P,即點A、B的極線必共點;同理可證:共點線的極點必共線. 推論3(中點性質):若圓錐曲線G過點P的弦AB平行于點P的極線,則點P是弦AB的中點. 證明:設P(x0,y0),曲線G:ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,則點P的極線方程:ax0x+b+cy0y+d+e+f=0,故可設AB:ax0x+b+cy0y+d+e+=0,由點P(x0,y0)在直線AB上ax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0+=0=-(ax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0)直線AB:ax0

5、x+b+cy0y+d+e=ax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0ax0x+b+cy0y+d+e+f=ax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0+f,而該直線為以為P中點的中點弦方程,即點P是弦AB的中點. 比例定理:若過點P(x0,y0)的直線l與曲線G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0相交于A、B兩點,與直線:ax0x+b+ 126 第15講:極點與極線的性質 cy0y+d+e+f=0交于點Q,則|PA|QB|=|QA|PB|. 證明:設直線l:(t為參數(shù)),代入ax0x+b+cy0y+d+e+f=0得:(2ax0cos+bx0sin+by0cos+2cy0si

6、n)t+2(ax02+bx0y0+cy02+dx0+ey0+f)=0t0=-2;代入ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0得:(acos2+bcossin+csin2)t2+(2ax0cos+bx0sin+by0cos+2cy0sin)t+(ax02+bx0y0+cy02+dx0+ey0+f)=0t1+t2=-,t1t2=t0=;而|PA|QB|=|QA|PB|t1|t2-t0|=|t1-t0|t2|t0=成立. 面積定理:已知點P關于圓錐曲線G的極線為l,過點P的直線與圓錐曲線G相交于A、B兩點,分別過點A、B的兩條平行線與直線l交于點D、C,記APD、CPD、BPC的面積分別為S1

7、,S2,S3,則:S22=4S1S2. 證明:以橢圓G:+=1(ab0)為例,設P(x0,y0),則極線l:.設A(x1,y1),B(x2,y2),并分別過點A、B作l的垂線,垂足分別為D1、C1,則=(注意到:a2b2=b2x12+a2y12,a2b2=b2x22+a2y2)=(注意到:=k)=.又因=,以下只需證=1,即|a2ky1+b2x1|=|a2ky2+b2x2|,由b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0b2(x1+x2)+a2k(y1+y2)=0a2ky1+b2x1=-(a2ky2+b2x2)|a2ky1+b2x1|=|a2ky2+b2x2|=,由A

8、DD1BCC1=,設AC與BD交于點Q,由ADBC=PQBCADSBAC=SBDC,兩邊同減SBQC得SQAB=SQDC,又因SPQA=SPQD,SPQB=SPQCSPCD=SQCD+SPQD+SPQC=SQCD+SPQA+SPQB=SQCD+SQAB=2SQABSQAD=SPAD=S1,SQBC=SPBC=S3,SQAB=SPCD=S2,注意到:=1=SQADSQBCS22=4S1S2.例1:極點與極線的位置關系.始源問題:(2010年湖北高考試題)已知橢圓C:+y2=1的兩焦點為F1 ,F2,點P(x0,y0)滿足0+y021,則|PF1|+|PF2|的取值范圍為 ,直線+y0y=1與橢圓

9、C的公共點個數(shù)為 .解析:由0+y021知,點P在橢圓C內,所以直線+y0y=1與橢圓C相離公共點個數(shù)為0;2cPF1|+|PF2|2a2PF1|+|PF2|1(x00),直線l:+=1.()求直線l與橢圓C的公共點個數(shù);()若射線OP與直線l、橢圓C分別交于點Q、M,求證:|OP|OQ|=|OM|2.解析:()因橢圓C:+=1,0,2),所以,直線l與橢圓C的公共點個數(shù)關于的方程 第15講:極點與極線的性質 127 cos+sin=1解的個數(shù)直線:x+y=1與圓:x2+y2=1的公共點個數(shù);由圓心O(0,0)到直線:x+y=1的距離d=1直線:x+y=1與圓:x2+y2=1的公共點個數(shù)=2直

10、線l與橢圓C的公共點個數(shù)=2;()因射線OP:y=x(x與x0同號),與+=1聯(lián)立得:+=1x=y=Q(,)|OP|OQ|=;由y=x與+=1聯(lián)立得:+x2=1x2=y2=|OM|2=x2+y2=+=|OP|OQ|=|OM|2.例2:拋物線中的共線性質.始源問題:(2010年大綱卷高考試題)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點K(-1,0)的直線l與C相交于A、B兩點,點A關于x軸的對稱點為D.()證明:點F在直線BD上;()設=,求BDK的內切圓M的方程.解析:()設A(x1,y1),B(x2,y2),直線l:y=k(x+1)(k0),則D(x1,-y1),由ky2-4y+4k=0y1+

11、y2=,y1y2=4;所以,點F在直線BD上(x2-1):(x1-1)=y2:(-y1)y1(-2)+y2(-2)=0y1y2-k(y1+y2)=0;()由=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(-2)(-2)+y1y2=(1+)y1y2-(y1+y2)+4=4(1+)-+4=8-=k=;根據(jù)對稱性,不妨設k=,則直線AB:3x-4y+3=0,且kKD=KF平分AKD圓M的圓心M在x軸上;(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=kBD=直線BD:3x-y-3=0;設M(t,0)(-1t0)的對稱軸上一點A(a,0)(a0),的直線與拋物線相交于M、N兩點,自M、N向直線l:x=-a作垂

12、線,垂足分別為M1、N1.()當a=時,求證:AM1AN1;()記AMM1、AM1N1、ANN1的面積分別為S1、S2、S3,是否存在,使得對任意的a0,都有S22=S1S3成立.若存在,求出的值;若不存在,說明理由.解析:()當a=時,A(,0),設M(2pm2,2pm),N(2pn2,2pn),則M1(-,2pm),N1(-,2pn),由(2pm2-):(2pn2-)=2pm:2pnmn=-=p2+4p2mn=0AM1AN1; 第15講:極點與極線的性質 129 ()由(2pm2-a):(2pn2-a)=2pm:2pn2pmn+a=0;因=;當MNx軸時,=;所以,=4p2m2n2=a2成

13、立;當MNx軸時,顯然有=;設MN1與NM1交于點Q(點Q即原點O),由MM1NN1=AQMM1NN1;設MQM1=,則S1=|QM|QM1|sin,S3=|QN|QN1|sin;又SQMN=S2=+(+)=+(SAQM+SAQN)=+SQMN=2SQMN;S1S3=|QM|QM1|sin|QN|QN1|sin=|QM|QN|sin|QM1|QN1|sin=SQMN=S22S22=4S1S3存在=4,使得對任意的a0,都有S22=S1S3成立.原創(chuàng)問題:已知拋物線C:y2=4x,直線l:y=2x+2,過點P(1,1)的直線與拋物線C交于A、B兩點,A、B兩點在直線l上的射影點分別為N、M,記P

14、AN、PMN、PBM的面積分別為S1、S2、S3.()當AB直線l時,求證:P是AB的中點;()求證:S22=4S1S3.解析:()設A(x1,y1),則y12=4x1;由P是AB的中點B(2-x1,2-y1)(2-y1)2=4(2-x1)y1=2x1+1點A在直線y=2x+1上,同理可得點B也在直線y=2x+1上直線AB:y=2x+1AB直線l;由統(tǒng)一法知,當AB直線l時, P是AB的中點;()設直線AB:(t為參數(shù)),代入y2=4x得:t2sin2+2(sin-2cos)t-3=0t1+t2=2,t1t2=-;點A(1+t1cos,1+t1sin)到直線l的距離|AN|=,點B(1+t2c

15、os,1+t2sin)到直線l的距離|BM|=(由點A、B在直線l的同側2t1cos-t1sin+3與t2cos-t2sin+3同號)=;而=(點A、B在點P的異側)=-;所以,=-2(2cos-sin)t1t2+3(t1+t2)=02(2cos-sin)(-)+32=0成立; 以下同例題可證:S22=4S1S3.例5:橢圓中的共線性質.始源問題:(2012年北京高考試題)已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mR).()若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓,求m的取值范圍;()設m=4,曲線C與y軸的交點為A,B(點A位于點B的上方),直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點M、N,直線y

16、=1與直線BM交于點G.求證:A,G,N三點共線.解析:()由曲線C是焦點在x軸點上的橢圓m-25-m0m0k2;且x1+x2=-,x1x2=;又由直線BM:y=x-2G(,1),即G(,1)kAG=-=-,kAN=k+kAN-kAG=+=+2=+2=0A,G,N三點共線. 第()問是本題的特色與亮點,其實質是共軛點的性質:設點P與Q是二次曲線G的一對共軛點,過點Q的直線AC與曲線G相交于A、C兩點,AP與曲線G相交于另一點B,BQ與曲線G相交于另一點D,則P、C、D三點共線.其中共軛點的定義: 130 第15講:極點與極線的性質 若直線PQ與圓錐曲線G相交于A、B兩點,且+=0,則稱點P與Q

17、是圓錐曲線G的一對共軛點.原創(chuàng)問題:已知橢圓C:=1(ab0)過點D(-1,e),其中,e是橢圓C的離心率,橢圓C的左、右頂點分別為A(-2,0)、B(2,0).()求橢圓C的方程;()過點E(4,0)的直線l與橢圓C交于M、N兩點,求證:直線AM與BN的交點P在一條定直線上.解析:()由a=2,+=11+=a2b2=1橢圓C:+y2=1;()設M(x1,y1),N(x2,y2),直線l:y=k(x-4),由(1+4k2)x2-32k2x+64k2-4=0x1+x2=,x1x2=k2=,x1x2(1+4k2)=64k2-4x1x2=2x1x2=5(x1+x2)-8;又由直線AM:y=(x+2)

18、,直線BN:y=(x-2)直線AM與BN的交點P的橫坐標x滿足:(x+2)=(x-2)(x+2)=(x-2)x=1點P在一條定直線x=1上.例6:橢圓中的中點性質.始源問題:(2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽湖南初賽試題)如圖,過直線l:5x-7y-70=0上的點P作橢圓+=1的兩條切線PM、PN,切點分別為M、N.()當點P在直線l上運動時,證明:直線MN恒過定點Q;()當MNl時,定點Q平分線段MN.解析:()設P(7t+7,5t-5),則直線MN的方程為:x+y=1(x+y)t+(x-y-1)=0,由x+y=0,且x-y-1=0x=,y=-直線MN恒過定點Q(,-);()MNl:=5:(-7)

19、t=直線MN的方程為:5x-7y-=0,代入橢圓方程+=1得:x2-2x+25()2-9=0,設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=定點Q平分線段MN.原創(chuàng)問題:過點Q(1,1)作己知直線l:3x+4y=12的平行線交橢圓C:+=1于點M、N.()分別過點M、N作橢圓C的切線l1、l2.證明:三條直線l1、l2、l交于一點;()證明:點Q是線段MN的中點;()設P為直線l上一動點,過點P作橢圓C的切線PA、PB,切點分別為A、B,證明:點Q在直線AB上.解析:()設M(x1,y1),N(x2,y2),切線l1、l2交于點P(x0,y0),由切線l1:x+y=1,切線l2:x+y=

20、1均過點P(x0,y0)x0+y0=1,x0+y0=1直線MN:x+y=1;又由直線MN過點Q(1,1)+=13x0+4y0=12點P在直線l上三條直線l1、l2、l交于一點;()由直線MN直線l:=:,又+=1x0=y0=直線MN:3x+4y=7點Q是線段MN的中點;()設P(x0,y0),則直線AB:3x0x+4y0y=123x0x+(12-3x0)y=12點Q在直線AB上. 第15講:極點與極線的性質 131 例7:橢圓中的比例性質.始源問題:(2011年山東高考試題)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:+y2=1.如圖所示,斜率為k(k0)且不過原點的直線l交橢圓C于A,B兩點,線段

21、AB的中點為E,射線OE交橢圓C于點G,交直線x=-3于點D(-3,m).()求m2+k2的最小值; D y()若|OG|2=|OD|OE|. G A(i)求證:直線l過定點; E(ii)試問點B,G能否關于x軸對稱？若能,求出 -3 O x此時ABG的外接圓方程;若不能,請說明理由.解析:()設E(-3,m),A(-3+t,m+kt),則B(-3-t,m-kt).由點A、B都在橢圓C上,兩式相減得mk=1m2+k22mk=2,當且僅當m=k=1時等號成立,所以m2+k2的最小值=2.()(i)設直線OG與橢圓C相交于另一點T,則由橢圓C關于原點對稱得:|OT|=|OG|.所以,|OG|2=|

22、OD|OE|+=0,由軌跡1知,點E在直線-x+my=1上,即直線l的方程為:-x+my=1直線l過定點(-1,0);(ii)若點B,G關于x軸對稱點G(-3-t,-m+kt),由點G在直線OE上(-3-t):(-3)=(-m+kt):m6m+mt=3kt(注意到mk=1)m2(6+t)=3tt=,又由點E在直線l上3+m2=1=B(-,-)()2+()2=1m=1,k=1,=,t=A(0,1),B(-,-),G(-,)ABG的外接圓方程:(x+)2+y2=.原創(chuàng)問題:已知橢圓C:=1(ab0)內一點P(2,1),射線OP與橢圓C交于點N,與直線l0:x+y-12=0交于點M,滿足|OP|OM

23、|=|ON|2,且橢圓C在N處的切線平行于直線l0.()求橢圓C的方程;()過點P的任意一條直線l與直線l0交于點Q,與橢圓C交于A、B兩點(A在P與Q之間),求證:|QA|PB|=|QB|PA|.解析:()由射線OP:y=x(x0),直線l0:x+y-12=0M(8,4);設N(2t,t)(t0),由|OP|OM|=|ON|2=4t2+t2t=2N(4,2)+=1,橢圓C在N處的切線:+=1;由切線平行于直線l0=a2=2b2b2=12,a2=24橢圓C:+=1;()設直線l:(t為參數(shù)),代入+=1得:(2sin2+cos2)t2+4(sin+cos)t-18=0t1+t2=-,t1t2=

24、-;代入x+y-12=0得:(sin+cos)t-9=0tQ=;而|QA|PB|=|QB|PA|(tQ-t1)(-t2)=(tQ-t2)t1(t1+t2)tQ-2t1t2=0-2(-)=0成立.原創(chuàng)問題:已知橢圓C:=1(ab0)內一點P(2,1),過點P且平行于x軸直線被橢圓C截得的弦長為4,過點P且平行于y軸直線被橢圓C截得的弦長為2.()求橢圓C的方程;()過點P的任意一條直線l與直線l0:x+y-12=0交于點Q,與橢圓C交于A、B兩點,若=,=.求證:+ 132 第15講:極點與極線的性質 為定值.解析:()由=1,令y=1得:|x|=;令x=2得:|y|=;由題知,=2,=a2=,(a2-4)=10(-4)=10b2=12a2=24橢圓C:+=1;()設直線l:(t為參數(shù)),代入+=1得:(2sin2+cos2)t2+4(sin+cos)t-18=0t1+t2=-,t1t2=-;代入x+y-12=0得:(sin+cos)t-9=0tQ=;由=,=,=+=2-tQ=2-=0.例8:橢圓中的共線性