彈性力學(xué) 空間問題的基本理論

1、空間問題的基本理論,第七章,合肥工業(yè)大學(xué)本科生教學(xué),彈性力學(xué),主講教師：袁海平 (副教授、博士后),一、平衡微分方程 二、物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 三、主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力 四、幾何方程及物理方程 五、軸對(duì)稱問題的基本方程 例題,第七章空間問題的基本理論,內(nèi)容提要,彈性力學(xué)簡明教程(第三版),徐芝綸院士(1911-1999),彈性力學(xué),空間問題的基本理論,3,在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個(gè)，且均為x,y,z的函數(shù)。,空間問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此，許多問題可以從平面問題推廣得到。,平衡微分方程,一,彈性力學(xué),空

2、間問題的基本理論,4,取出微小的平行六面體，,考慮其平衡條件:,平衡微分方程,一,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,5,由x 軸向投影力的平衡微分方程可得,因?yàn)?x , y , z 軸互相垂直，均為定向，量綱均為L，所以 x , y , z 坐標(biāo)具有對(duì)等性，其方程也必然具有對(duì)等性。,平衡微分方程,一,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,6,由3個(gè)力矩方程得到3個(gè)切應(yīng)力互等定理，,空間問題的平衡微分方程精確到三階微量,平衡微分方程,一,一、平衡微分方程 二、物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 三、主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力 四、幾何方程及物理方程 五、軸對(duì)稱問題的基本方程 例題,第七章空間問題的基本理論,內(nèi)容提要,彈性

3、力學(xué)簡明教程(第三版),徐芝綸院士(1911-1999),彈性力學(xué),空間問題的基本理論,8,在空間問題中，同樣需要解決：由直角坐標(biāo)的應(yīng)力分量 ，來求出斜面(法線為 ）上的應(yīng)力。,物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),二,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,9,斜面的全應(yīng)力p 可表示為兩種分量形式：,p沿坐標(biāo)向分量：,p沿法向和切向分量：,物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),二,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,10,取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds, 則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。,由四面體的力平衡條件可得,1. 求,物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),二,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,11,2. 求,

4、將,向法向 投影，即得,得,由,物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),二,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,12,設(shè)在 邊界上，給定了面力分量 則可將微分四面體移動(dòng)到邊界點(diǎn)上，并使斜面與邊界重合。斜面應(yīng)力分量 應(yīng)代之為面力分量 ，從而得出空間問題的應(yīng)力邊界條件:,3. 在 上的應(yīng)力邊界條件,物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),二,一、平衡微分方程 二、物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 三、主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力 四、幾何方程及物理方程 五、軸對(duì)稱問題的基本方程 例題,第七章空間問題的基本理論,內(nèi)容提要,彈性力學(xué)簡明教程(第三版),徐芝綸院士(1911-1999),彈性力學(xué),空間問題的基本理論,14,1.假設(shè) 面(l , m , n

5、)為主面，則此斜面上,斜面上沿坐標(biāo)向的應(yīng)力分量為：,代入 , 得到：,主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力,三,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,15,考慮方向余弦關(guān)系式，有,結(jié)論：式(a) , (b)是求主應(yīng)力及其方向余弦的方程。,(b),主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力,三,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,16,2. 求主應(yīng)力,將式(a)改寫為：,主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力,三,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,17,上式是求解 l , m , n 的齊次代數(shù)方程。由于l , m , n不全為0，所以其系數(shù)行列式必須為零，得,展開，即得求主應(yīng)力的方程,( c ),主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力,三,彈性力學(xué),空間問題的基本理論

6、,18,3.應(yīng)力主向,設(shè)主應(yīng)力 的主向?yàn)?。代入式(a)中的前兩式，整理后得,主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力,三,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,19,由上兩式解出 。然后由式(b)得出,再求出 及 。,4. 一點(diǎn)至少存在著三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力,（證明見書上）。,主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力,三,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,20,5.應(yīng)力不變量,若從式(c) 求出三個(gè)主應(yīng)力 ，則式(c)也可以用根式方程表示為，,因式(c) 和( f )是等價(jià)的方程，故 的各冪次系數(shù)應(yīng)相等，從而得出：,主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力,三,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,21,(g),主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力,三,彈性力學(xué),空間問

7、題的基本理論,22,所以分別稱 為第一、二、三應(yīng)力不變量。這些不變量常用于塑性力學(xué)之中。,式(g)中的各式，左邊是不隨坐標(biāo)選擇而變的；而右邊各項(xiàng)雖與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，但其和也應(yīng)與坐標(biāo)選擇無關(guān)。,主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力,三,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,23,6.關(guān)于一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：,6個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量完全確定一點(diǎn) 的應(yīng)力狀態(tài)。只要6個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力 分量確定了，則通過此點(diǎn)的任何面上的 應(yīng)力也完全確定并可求出。,(2)一點(diǎn)存在著3個(gè)互相垂直的應(yīng)力主面及 主應(yīng)力。,主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力,三,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,24,(3) 3個(gè)主應(yīng)力包含了此點(diǎn)的最大和最小 正應(yīng)力。,(4)

8、一點(diǎn)存在3個(gè)應(yīng)力不變量,(5) 最大和最小切應(yīng)力為 ，作用于通過中間 主應(yīng)力、并且“平分最大和最小正應(yīng) 力的夾角”的平面上。,設(shè),主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力,三,一、平衡微分方程 二、物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 三、主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力 四、幾何方程及物理方程 五、軸對(duì)稱問題的基本方程 例題,第七章空間問題的基本理論,內(nèi)容提要,彈性力學(xué)簡明教程(第三版),徐芝綸院士(1911-1999),彈性力學(xué),空間問題的基本理論,26,空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出：,(a),幾何方程及物理方程,四,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,27,從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系：, 若位移確定，則

9、形變完全確定。,從數(shù)學(xué)上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。,幾何方程及物理方程,四,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,28,-沿x , y , z 向的剛體平移；, 若形變確定，則位移不完全確定。,由形變求位移，要通過積分，會(huì)出現(xiàn)待定的函數(shù)。若 ，還存在對(duì)應(yīng)的位移分量，為：,(b),-繞x , y , z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。,幾何方程及物理方程,四,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,29,若在 邊界上給定了約束位移分量 ，則空間問題的位移邊界條件為：,( c ),幾何方程及物理方程,四,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,30,(d),其中由于小變形假定，略去了形變的2、3次冪。,體積應(yīng)變定義為：

10、,幾何方程及物理方程,四,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,31,空間問題的物理方程, 應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于按應(yīng)力求解方法：,( x ,y ,z ). (e),可表示為兩種形式：,幾何方程及物理方程,四,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,32, 應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方法：,(x ,y , z). ( f ),由物理方程可以導(dǎo)出,（g）,是第一應(yīng)力不變量，又稱為體積應(yīng)力。,-稱為體積模量。,幾何方程及物理方程,四,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,33,空間問題的應(yīng)力，形變，位移等15個(gè)未知函數(shù)，它們都是(x ,y ,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內(nèi)必須滿足3個(gè)平衡微分方程，6個(gè)幾何方程及6個(gè)物理方

11、程，并在邊界上滿足3個(gè)應(yīng)力或位移的邊界條件。,結(jié)論：,幾何方程及物理方程,四,一、平衡微分方程 二、物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 三、主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力 四、幾何方程及物理方程 五、軸對(duì)稱問題的基本方程 例題,第七章空間問題的基本理論,內(nèi)容提要,彈性力學(xué)簡明教程(第三版),徐芝綸院士(1911-1999),彈性力學(xué),空間問題的基本理論,35,空間軸對(duì)稱問題,采用柱坐標(biāo) 表示。,如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對(duì)稱，則應(yīng)力，形變和位移也是軸對(duì)稱的。,軸對(duì)稱問題的基本方程,五,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,36,對(duì)于空間軸對(duì)稱問題：,應(yīng)力中只有,(a),形變中只有,位移中只有,所有

12、物理量僅為(,z)的函數(shù)。,軸對(duì)稱問題的基本方程,五,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,37,而由,得出為 。,平衡微分方程：,軸對(duì)稱問題的基本方程,五,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,38,幾何方程：,其中,幾何方程為,軸對(duì)稱問題的基本方程,五,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,39,物理方程：,應(yīng)變用應(yīng)力表示：,(d),軸對(duì)稱問題的基本方程,五,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,40,應(yīng)力用應(yīng)變表示：,其中,軸對(duì)稱問題的基本方程,五,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,41,邊界條件： 一般用柱坐標(biāo)表示時(shí)，邊界面均為坐標(biāo)面。所以邊界條件也十分簡單。,在柱坐標(biāo)中，坐標(biāo)分量 的量綱、方向性、坐標(biāo)線的性質(zhì)不是完全相

13、同的。因此，相應(yīng)的方程不具有對(duì)等性。,軸對(duì)稱問題的基本方程,五,一、平衡微分方程 二、物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 三、主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力 四、幾何方程及物理方程 五、軸對(duì)稱問題的基本方程 例題,第七章空間問題的基本理論,內(nèi)容提要,彈性力學(xué)簡明教程(第三版),徐芝綸院士(1911-1999),彈性力學(xué),空間問題的基本理論,43,例題 1,設(shè)物體的邊界面方程為,試求出邊界面的應(yīng)力邊界條件；若面力為法向的分布拉力 應(yīng)力邊界條件是什么形式？,例題,六,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,44,（x,y,z)，,其中,解：當(dāng)物體的邊界面方程為 時(shí)，它的表面法線的方向余弦 為,例題,六,彈性力學(xué),空間問題的基

14、本理論,45,當(dāng)面力為法向分布拉力q時(shí)，,(x, y, z).,因此，應(yīng)力邊界條件為,代入應(yīng)力邊界條件，得,(x, y, z).,例題,六,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,46,例題2 試求圖示空間彈性體中的應(yīng)力分量。,(a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布?jí)毫作用，設(shè)剛性體與彈性體之間無摩擦力。,(b)半無限大空間體，其表面受均布?jí)毫的作用。,例題,六,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,47,q,q,o,o,x,x,z,z,例題,六,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,48,解：圖示的(a),(b)兩問題是相同的應(yīng)力狀態(tài)：x向與y向的應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是相同的，即等。,對(duì)于(a)，有約束條件；,對(duì)于(b)，有對(duì)稱條件。,例題,六,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,49,則可解出：,而兩者的，因此，由物理方程：,例題,六,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,50,例題 圖示的彈性體為一長柱形體，在頂面 z=0 上有一集中力 F 作用于角點(diǎn)，試寫出z=0 表面上的邊界條件。,x,y,o,b,b,a,a,z,圖7-5,P,例題,六,彈性力學(xué),空間問題的基本理論,51,解：本題是空間問題，z=0 的表面是小邊 界，可以應(yīng)用圣維南原理列出應(yīng)力的邊界條件。即在z=0的表面邊界上，使應(yīng)力的主矢量和主矩，分別等于面力的