初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)中三角形面積問題解析

1、初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)中三角形面積問題解析一、命題意圖二次函數(shù)中三角形面積相結(jié)合的題目是近年來中考數(shù)學(xué)中常見的問題,題型?？汲Ｐ?體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、分類討論數(shù)學(xué)思想等。如果將三角形這一平面圖形問題與二次函數(shù)相結(jié)合，就需要學(xué)生以邏輯思維和空間思維相結(jié)合的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，以培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維與空間思維能力相結(jié)合的基本數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生學(xué)會自主思考問題的過程。二、考點及對應(yīng)的考綱要求初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中關(guān)于三角形面積問題的討論一直是教學(xué)重點,這其中牽涉了二次函數(shù)與幾何問題的融合,是初中數(shù)學(xué)課程中的一個難點。求面積常用的方法：（1）直接法，若題已經(jīng)給出或能由已知條件推出個邊的長度并且通過坐標(biāo)能找到對應(yīng)的高，

2、那么三角形的面積能直接用公式算出來。（2）簡單的組合，解決問題的途徑常需要進(jìn)行圖形割補、等積變形等圖形變換。（3）面積不變同底等高或等底等高的轉(zhuǎn)換，利用平行線得到三角形同底等高進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化。（4）如圖，過ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”()，中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度叫ABC的“鉛垂高()”. 可得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半。三、試題講解過程如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過（1，0），（4，0），（0，4）三點.（1）求該拋物線的解析式；（2）若點是該拋物線上一動點，且在第四象

3、限，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點的坐標(biāo).解:（1）解法一: 由題意得，c=4, ,解得： , , 解法二: 由題意得，設(shè)y=a（x+1）（x-4）, -4a=-4, a=1, y=（x+1）（x-4）, , （2）解法一:由（1）可知，y=x23x4,設(shè)點D為（x, x23x4）,過點D作DEOC交BC于點E, 設(shè)直線BC的解析式為y=kxb,則，y=x4, E（x, x4）, DE=（x4）（x23x4）= x24x, a=10, 當(dāng)x=2時, DE取最大值，SBCD取最大值，D（2,6）. 解法二：由（1）可知，y=x23x4,設(shè)點D為（x,y）,過點D作DFOB于點F, SBCD=S梯形OCDF

4、SBDFSOBC =x（4-y）（-y）（4-x）8=2x2y8=2x2（x23x4）8=2x28x, a=20, 當(dāng)x=2時, SBCD取最大值，D（2,6）. 解法三:由（1）可知，y=x23x4, 過點D作DEBC, 設(shè)直線BC的解析式為y=kxb,則，y=x4, 設(shè)直線DE的解析式為y=xd,則x23x4=xd, x24x4-d=0,當(dāng)=（-4）2-4（-4-d）=0, d=-8, SBCD取最大值， x24x4=0, （x-2）2=0, x1=x2=2, D（2,6）. 四、試題的拓展延伸及變式分析如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過（1，0），（3，0），（0，3）三點.（1）若點

5、是拋物線的對稱軸上一點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點的坐標(biāo)；（2）在（1）的情況下，拋物線上是否存在除點以外的點，使得 的面積與的面積相等，若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）拋物線經(jīng)過A（1，0），B（3，0），拋物線的對稱軸l是x=2，ACD的周長=AD+AC+CD, AC是定值，當(dāng)AD+CD最小時，ACD的周長最小，點A、點B關(guān)于對稱軸對稱，連接BC交于點D，即點D為所求的點,設(shè)直線BC的解析式為， ，, 直線BC的解析式為， 當(dāng)x=2時，y=-x+3=-2+3=1，點D的坐標(biāo)是（2，1）.（2）解：由（1）可知，拋物線經(jīng)過A（1，0），B（3，0），C（0，3）三點，c=

6、3, ,解得： , 解法一：如圖，過點A 作AP1CD交拋物線于點P1，設(shè)直線AP1的解析式為， -1+d=0,d=1,直線AP1的解析式為，解方程=，（x-1）（x-2）=0，x1=1, x2=2, 當(dāng)x1=1時，=0（不合題意，舍去），當(dāng)x2=2時，=-1，點P1的坐標(biāo)是（2，-1）. 設(shè)直線AP1交y軸于點E（0，1），CE=2，把直線BC向上平移2個單位交拋物線于P2，P3，得直線P2P3的解析式為， 解方程= ， x23x2=0,x3=, x4=, 當(dāng)x3=時，=，當(dāng)x4=時，=， 點P2的坐標(biāo)是（，）,點P3的坐標(biāo)是（，）, 綜上所述, 拋物線上存在點P1（2，-1）,P2（，）,

7、P3（，）, 使得PCD的面積與ACD的面積相等. 解法二：如圖,過A點作AEy軸，交BC于點E則E點的縱坐標(biāo)為 AE2 設(shè)點P為（，），過P點作PFy軸，交BC于點F，則點F為（，），PFAE若PFAE，則PCD與ACD的面積相等若P點在直線BC的下方，則PF（）-（）= =2 解得，當(dāng)時，3-n-2-1P1點坐標(biāo)為（2，-1） 同理 當(dāng)時，P點坐標(biāo)為（1，0），與A點重合，（不合題意，舍去） 若P點在直線BC的上方，則PF=（）-（）= 解得， 當(dāng)時，P點的縱坐標(biāo)為；當(dāng)時，P點的縱坐標(biāo)為 點P2的坐標(biāo)是（，）,點P3的坐標(biāo)是（，）, 綜上所述, 拋物線上存在點P1（2，-1）,P2（，）,

8、 P3（，）, 使得PCD的面積與ACD的面積相等. 在以上問題的分析中研究思路為：（1）分析圖形的成因；（2）識別圖形的形狀；（3）找出圖形的計算方法。注意：（1）取三角形的底邊時一般以坐標(biāo)軸上線段或以與軸平行的線段為底邊；（2）三邊均不在坐標(biāo)軸上的三角形及不規(guī)則多邊形需把圖形分解（即采用割或補的方法把它分解成易于求出面積的圖形）。三角形的面積一般都是通過分割成幾個三角形然后計算幾個三角形的面積和，利用坐標(biāo)來表示三角形的面積，這樣三角形的面積即為一個二次函數(shù)，求解二次函數(shù)的最值即可。五、試題的價值、反思及感悟通過對二次函數(shù)中三角形問題的探究學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建“數(shù)想形”“形思數(shù)”的數(shù)學(xué)思維方式和意識。要對二次函數(shù)面積問題能夠形成良好的思考方法。要學(xué)會觀察圖形，通過觀察、分析、比較、總結(jié)，掌握二次函數(shù)面積相關(guān)問題的計算方法。二次函數(shù)中三角形面積問題是代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合的一個考點，是函數(shù)的綜合應(yīng)用能力的提升。二次函數(shù)這部分內(nèi)容可滲透的數(shù)學(xué)思想多，解題方法多。在探究這些問題時，首先要讓學(xué)生加深對函數(shù)知識的回顧，同時要注重數(shù)學(xué)思想的滲透，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想去思考問題、解決問題的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，使其形成自主學(xué)習(xí)、自主探索的意識。