高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分的概念學(xué)案 新人教A版選修2-2

1、1.5 定積分的概念核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P38P47的內(nèi)容，回答下列問題觀察教材圖1.52，陰影部分是由拋物線yx2與直線x1，y0所圍成的平面圖形(1)通常稱這樣的平面圖形為什么圖形？提示：曲邊梯形(2)如何求出所給平面圖形的面積近似值？提示：把平面圖形分成多個(gè)小曲邊梯形，求這些小曲邊梯形的面積和(3)如何更精確地求出陰影部分的面積S?提示：分割的曲邊梯形數(shù)目越多，所求得面積越精確2歸納總結(jié)，核心必記(1)連續(xù)函數(shù)如果函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間I上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么我們就把它稱為區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)(2)曲邊梯形的面積曲邊梯形：由直線xa，xb(ab)

2、，y0和曲線yf(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖)求曲邊梯形面積的方法與步驟：()分割：把區(qū)間a，b分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形(如圖)；()近似代替：對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值(如圖)；()求和：把以近似代替得到的每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值求和；()取極限：當(dāng)小曲邊梯形的個(gè)數(shù)趨向無窮時(shí)，各小曲邊梯形的面積之和趨向一個(gè)定值，即為曲邊梯形的面積(3)求變速直線運(yùn)動(dòng)的位移(路程)如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為vv(t)，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，求出它在atb內(nèi)所作的

3、位移s.(4)定積分定積分的概念如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)a= 當(dāng)n時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx，其中a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式定積分的幾何意義如果在區(qū)間a，b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)0，那么定積分f(x)dx表示由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積這就是定積分f(x)dx的幾何意義定積分的基本性質(zhì)()kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))；()f1(x)f2(x)dxf1

4、(x)dxf2(x)dx；()f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)問題思考(1)曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別是什么？提示：前者有一邊是曲線段，而“直邊圖形”的所有邊都是直線段(2)求曲邊梯形面積時(shí)，能否直接對(duì)整個(gè)曲邊梯形進(jìn)行“以直代曲”呢？怎樣才能減小誤差？提示：不能直接對(duì)整個(gè)曲邊梯形進(jìn)行“以直代曲”，否則誤差太大，為了減小近似代替的誤差，需要先分割再分別對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，而且分割的曲邊梯形數(shù)目越多，得到面積的誤差越小(3)在“近似代替”中，如果取任意i處的函數(shù)值f(i)作為近似值，求出的S有變化嗎？提示：沒有變化(4)求曲邊梯形的面積與求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程有哪些

5、共同點(diǎn)？提示：求曲邊梯形的面積與求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程的共同本質(zhì)是“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法(5)f(x)dx是一個(gè)常數(shù)還是一個(gè)變量？f(x)dx與積分變量有關(guān)系嗎？提示：由定義可得定積分f(x)dx是一個(gè)常數(shù)，它的值僅取決于被積函數(shù)與積分上、下限，而與積分變量沒有關(guān)系，即f(x)dxf(t)dtf(u)du.(6)在定積分的幾何意義中f(x)0，如果f(x)0，f(x)dx表示什么？提示：如果在區(qū)間a，b上，函數(shù)f(x)0，f(i)0，故f(i)xi0，從而定積分f(x)dxS2 DS1S2.9已知x2dx，x2dx，1dx2，則(x21)dx_.解析：由定積分的性質(zhì)可知(x21)

6、dxx2dx1dxx2dxx2dx22.答案：10用定積分的幾何意義計(jì)算下列定積分： 而S，(2)令y2，則y2表示以(0,2)為圓心，2為半徑的圓的上半圓， 能力提升綜合練1若f(x)dx1，g(x)dx3，則2f(x)g(x)dx()A2 B3 C1 D4解析：選C2f(x)g(x)dx2f(x)dxg(x)dx2131.2若f(x)為偶函數(shù)，且f(x)dx8，則等于()A0 B4 C8 D16解析：選D被積函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，在y軸兩側(cè)的函數(shù)圖象對(duì)稱，從而對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積相等3定積分(3)dx等于()A6 B6 C3 D3解析：選A3dx表示圖中陰影部分的面積S326，(3)dx3dx6.又ysin x與y2x都是奇函數(shù)，故所求定積分為0.答案：0解析：由y可知x2y24(y0)，其圖象如圖等于圓心角為60的弓形CD的面積與矩形ABCD的面積之和S弓形2222sin .S矩形A