高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品3：函數(shù)基本性質(zhì)【高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品共42講 全部免費(fèi) 歡迎下載】-

1、第3講 函數(shù)基本性質(zhì)備注：【高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品共42講 全部免費(fèi) 歡迎下載】一【課標(biāo)要求】1通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值及其幾何意義；2結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；二【命題走向】從近幾年來看，函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，因此在復(fù)習(xí)中，針對不同的函數(shù)類別及綜合情況，歸納出一定的復(fù)習(xí)線索預(yù)測2010年高考的出題思路是：通過研究函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及最值預(yù)測明年的對本講的考察是：（1）考察函數(shù)性質(zhì)的選擇題1個或1個填空題，還可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)出研究函數(shù)性質(zhì)的大題；（2）以中等難度、題型新穎的試題

2、綜合考察函數(shù)的性質(zhì)，以組合形式、一題多角度考察函數(shù)性質(zhì)預(yù)計成為新的熱點(diǎn)三【要點(diǎn)精講】1奇偶性（1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意： 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)； 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)

3、對稱）。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱； 確定f(x)與f(x)的關(guān)系； 作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)（3）簡單性質(zhì)：圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2單調(diào)性（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定

4、義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；注意： 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； 必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當(dāng)x1x2時，總有f(x1)f(x2)（2）如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。（3）設(shè)復(fù)合函數(shù)y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定義域的某個區(qū)間，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上

5、是增（或減）函數(shù)，y= f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x)在A上是增函數(shù)；若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y= f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x)在A上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟： 任取x1，x2D，且x10與a 0時， ，當(dāng)a 0時，f(x)為奇函數(shù)； 當(dāng) 時， 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).點(diǎn)評：判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時應(yīng)先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的解析式能 化簡，一般應(yīng)考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程（要保證定義域不變）例2(2007年

6、江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué))已知函數(shù)，給出以下三個條件:(1) 存在，使得；(2) 成立；(3) 在區(qū)間上是增函數(shù).若同時滿足條件 和 （填入兩個條件的編號），則的一個可能的解析式為 .答案 滿足條件(1)(2)時,等；滿足條件(1)(3)時,等；滿足條件(2)(3)時,等題型二：奇偶性的應(yīng)用例3重慶文）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)。（）求的值； （）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；【解】（1） （2）點(diǎn)評：若奇函數(shù)的定義域包含，則題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性例5（2008上海文，19）（本題滿分16分）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分已知函數(shù)（1）若，求的值；（2）

7、若對于恒成立，求實數(shù)m的取值范圍【解】（1）. .2分由條件可知，解得 6分 .8分（2）當(dāng) 10分即 13分故m的取值范圍是 .16分點(diǎn)評：本題用了兩種方法：定義法和導(dǎo)數(shù)法，相比之下導(dǎo)數(shù)法比定義法更為簡潔例6已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對xR有f(x)0，且f(5)=1，設(shè)F(x)= f(x)+，討論F (x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。解：這是抽象函數(shù)的單調(diào)性問題，應(yīng)該用單調(diào)性定義解決在R上任取x1、x2，設(shè)x1x2，f(x1) f(x2)， f(x)是R上的增函數(shù)，且f(5)=1，當(dāng)x5時0 f(x)5時f(x)1; 若x1x25，則0f(x1)f(x2)1, 0 f(x1)f(x2

8、)1,0, F (x2)x15，則f(x2)f(x1)1 , f(x1)f(x2)1, 0, F(x2) F (x1)；綜上，F(xiàn) (x)在（，5）為減函數(shù)，在（5，+）為增函數(shù)點(diǎn)評：該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性。抽象函數(shù)問題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特殊的問題，其基本能力是變量代換、換元等，應(yīng)熟練掌握它們的這些特點(diǎn)題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例7(2009山東卷文)已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則( ). A. B. C. D. 答案 D解析 因為滿足,所以,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù), 則,又因為在R上是奇函數(shù)， ,得,而由得,又因為在區(qū)間0,2上是增函數(shù),所以,所以,即,

9、故選D. 【命題立意】:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等性質(zhì),運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的思想解答問題. 例8（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。解：（1）函數(shù)的定義域為，分解基本函數(shù)為、顯然在上是單調(diào)遞減的，而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。（2）解法一：函數(shù)的定義域為R，分解基本函數(shù)為和。顯然在上是單調(diào)遞減的，上單調(diào)遞增；而在上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的。且，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。解法二：， 令 ，得或，令 ，或單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。點(diǎn)評

10、：該題考察了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。要記住“同增、異減”的規(guī)則.也可通過導(dǎo)數(shù)方法求單調(diào)性。題型五：單調(diào)性的應(yīng)用例9已知偶函數(shù)f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式flog2(x2+5x+4)0。解：f(2)=0,原不等式可化為flog2(x2+5x+4)f(2)。 又f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，f(x)在(,0)上為減函數(shù)且f(2)=f(2)=0。不等式可化為log2(x2+5x+4)2或log2(x2+5x+4)2由得x2+5x+44，x5或x0由得0x2+5x+4得x4或1x由得原不等式的解集為x|x5或x4或1x或x0。例10已知奇函數(shù)f(x)的定義域

11、為R，且f(x)在0，+上是增函數(shù)，是否存在實數(shù)m，使f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)對所有0,都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由解：f(x)是R上的奇函數(shù)，且在0，+上是增函數(shù)，f(x)是R上的增函數(shù)，于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f(cos23)f(2mcos4m)，即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20。設(shè)t=cos,則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在0，1上的最小值為正當(dāng)0,即m0m1與m042m4+2，421,即m2時，g(1)=m10m1。m2綜上，

12、符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m42。另法(僅限當(dāng)m能夠解出的情況)： cos2mcos+2m20對于0,恒成立，等價于m(2cos2)/(2cos) 對于0,恒成立當(dāng)0,時，(2cos2)/(2cos) 42，m42。點(diǎn)評：上面兩例子借助于函數(shù)的單調(diào)性處理了恒成立問題和不等式的求解問題題型六：最值問題例11（2009江蘇卷）(本小題滿分16分) 設(shè)為實數(shù)，函數(shù). (1)若，求的取值范圍； (2)求的最小值； (3)設(shè)函數(shù)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.解 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分

13、析與解決問題的綜合能力。滿分16分（1）若，則（2）當(dāng)時， 當(dāng)時， 綜上（3）時，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，0,得：討論得：當(dāng)時，解集為;當(dāng)時，解集為;當(dāng)時，解集為.例12設(shè)m是實數(shù)，記M=m|m1，f(x)=log3(x24mx+4m2+m+)。(1)證明：當(dāng)mM時，f(x)對所有實數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則mM；(2)當(dāng)mM時，求函數(shù)f(x)的最小值；(3)求證：對每個mM,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1。 (1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log3(x2m)2+m+,當(dāng)mM時，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定義域為R反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意

14、義，則只須x24mx+4m2+m+0。令0，即16m24(4m2+m+)0，解得m1，故mM。(2)解析：設(shè)u=x24mx+4m2+m+，y=log3u是增函數(shù)，當(dāng)u最小時，f(x)最小。而u=(x2m)2+m+，顯然，當(dāng)x=m時，u取最小值為m+，此時f(2m)=log3(m+)為最小值。(3)證明：當(dāng)mM時，m+=(m1)+ +13，當(dāng)且僅當(dāng)m=2時等號成立。log3(m+)log33=1點(diǎn)評：該題屬于函數(shù)最值的綜合性問題，考生需要結(jié)合對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行處理題型七：周期問題例13已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得

15、最小值。證明：；求的解析式；求在上的解析式。解：是以為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，。當(dāng)時，由題意可設(shè)，由得，。是奇函數(shù)，又知在上是一次函數(shù)，可設(shè)，而，當(dāng)時，從而當(dāng)時，故時，。當(dāng)時，有，。當(dāng)時，。點(diǎn)評：該題屬于普通函數(shù)周期性應(yīng)用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征五【思維總結(jié)】1判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價形式：f(-x)= f(x)f(-x) f(x)=0；2對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映；3若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0，因此，“f(x)為奇函數(shù)”是f(0)=0的非充分非必要條件；4奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性。5若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對f(x)定