專題-數(shù)列(教師)

1、專題專題- -數(shù)數(shù) 列列 抓住抓住 5 5 個高考重點(diǎn)個高考重點(diǎn) 重點(diǎn) 1 數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式 1.數(shù)列的定義 2.通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系： n an n S 1 1211 1 ,1 ., ,2 nnnnnn nn Sn Saaa aaSS SSn 3.數(shù)列的一般性質(zhì)：（1）單調(diào)性；（2）周期性-若，則為周期數(shù)列，為的一個周 * ( ,) n kn aa n kN n ak n a 期. 4.數(shù)列通項(xiàng)公式的求法：觀察、歸納與猜想 高考?？冀嵌?角度 1 已知數(shù)列滿足，則 n a * 43412 1,0, nnnn aaaa nN 2009 _,a 2014 _,a 解析：主要考查對數(shù)列中項(xiàng)數(shù)的分

2、析處理能力， 2009503 4 3 1,aa 20141007 21007250 4 1 0aaaa 角度 2 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為第項(xiàng)滿足則（ ） n an 2 9 , n Snnk58, k ak A. B. C. D. 9876 解析：當(dāng)時，；當(dāng)時，故1n 11 8aS 2n 1 210 nnn aSSn * 210, n annN 由，故選 B58521087.59,8 k annn 重點(diǎn) 2 等差數(shù)列及其前項(xiàng)和n 1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： * 1 (1) ,() ,(,) nnm aand aanm dmNmn 2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：，為常數(shù)n 2 1 1 ()1 (1) 22

3、n n n aa Snan ndanbn , a b 3.等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用：也成等差數(shù)列 23243 ,. pqstnnnnnn pqstaaaa SSSSSS 4.等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值：（1）若，數(shù)列的前幾項(xiàng)為負(fù)數(shù)，則所有負(fù)數(shù)項(xiàng)或零項(xiàng)之和為最??；n0d （2）若，數(shù)列的前幾項(xiàng)為正數(shù)，則所有正數(shù)項(xiàng)或零項(xiàng)之和為最大；0d （3）通過用配方法或?qū)?shù)求解. 2 n Sanbn 5 等差數(shù)列的判定與證明：（1）利用定義， （2）利用等差中項(xiàng)， 1nn aad 12 2 nnn aaa （3）利用通項(xiàng)公式為常數(shù)， （4）利用前項(xiàng)和，為常數(shù), , n apnq p qn 2 n Sanbn, a b

4、高考?？冀嵌?角度 1 在等差數(shù)列中，則_ n a 37 37aa 2468 aaaa 解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知. 24684637 2()2()74aaaaaaaa 角度 2 已知為等差數(shù)列，其公差為，且是與的等比中項(xiàng)，為的前項(xiàng)和，則 n a2 7 a 3 a 9 a n S n an * nN 的值為（ ） 10 S A B C D1109090110 解析：，解之得， 2 739, 2aa a d A)16)(4()12( 11 2 1 aaa20 1 a . 故選 D. 10 10 9 10 20( 2)110 2 S 角度 3 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則當(dāng)取最小值時等于（ ） n

5、an n S 1 11a 46 6aa n Sn A B C D6789 解析：設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得，d 461 282 ( 11)86aaadd 2d 所以，所以當(dāng)時，取最小值.選 A 22 (1) 11212(6)36 2 n n n Snnnn 6n n S 角度 4 已知數(shù)列 n a滿足對任意的，都有0 n a ，且 2 333 1212nn aaaaaa * nN （1）求 1 a， 2 a的值； （2）求數(shù)列 n a的通項(xiàng)公式 n a； （3）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為 n S，不等式 1 log1 3 na Sa對任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范 2 1 nn a a 圍 解

6、：（1）當(dāng)1n 時，有 32 11 aa，由于0 n a ，所以 1 1a 當(dāng)2n 時，有 2 33 1212 aaaa，將 1 1a 代入上式，由于0 n a ，所以 2 2a （2）由于 2 333 1212nn aaaaaa， 則有 2 3333 121121nnnn aaaaaaaa ，得 22 3 112112nnnn aaaaaaaa ， 由于0 n a ，所以 2 1121 2 nnn aaaaa 同樣有 2 121 2 nnn aaaaa ， ， 2n ，得 22 11nnnn aaaa 所以 1 1 nn aa 由于 21 1aa，即當(dāng)時都有 1 1 nn aa ，所以數(shù)列

7、n a是首項(xiàng)為 1，公差為 1 的等差數(shù)列1n 故 n an （3） 2 111 11 ,() (2)22 n nn an a an nnn 132435112 11111 . n nnnn S a aa aa aaaa a 1111111111 (1)()().()() 232435112nnnn 11113111 (1)() 22124212nnnn 1 311131111 () ()0 42234212(1)(3) nn SS nnnnnn 數(shù)列是遞增數(shù)列，故 n S min1 1 | 3 n SS 要使不等式 1 log1 3 na Sa對任意的正整數(shù)n恒成立 只須，又 故 11 lo

8、g (1) 33 a a10,01aa 1 1, 2 aaa 1 0 2 a 所以 實(shí)數(shù)a的取值范圍是 1 (0, ) 2 角度 5 （2011.福建）已知等差數(shù)列中， n a 1 1a 3 3a （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； n a （）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求的值 n ak35 k S k 解析：（）設(shè)等差數(shù)列的公差，則， n ad 1 (1) n aand 由題設(shè)，所以 31 3212aadd 2d 1 (1)( 2)32 n ann （）因?yàn)椋?1 ()(1 32 ) (2)35 22 k k k aakk Skk 所以，解得或因?yàn)椋?2 2350kk7k 5k * kN7k 重點(diǎn) 3 等比數(shù)

9、列及其前項(xiàng)和n 1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： 1* 1 , nn m nnm aa qaa qmNmn 2.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：n 1 1 ,1 (1) ,1 1 n n naq S aq q q 3.等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用: 也成等比數(shù)列 23243 ,. pqstnnnnnn pqstaaaa SSSSSS 4.等比數(shù)列的判定與證明：（1）利用定義為常數(shù)（2）利用等比中項(xiàng)， 1 , n n a q q a 2 12nnn aaa 高考?？冀嵌?角度 1 若等比數(shù)列滿足，則公比為（ ） n a 1 16n nn a a A. B. C. D. 24816 解析：由題有，故選擇 B. 22 3 1

10、223 1 16,16164 a a aa aqq a 角度 2 在等比數(shù)列中，若則公比 ； . n a 14 1 ,4, 2 aaq 12n aaa 解析：由已知得；所以. 3 4 1 82 a qq a 12 1 (21) 1 2 (21) 2 12 n n n aaa 角度 3 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知 n an, n S 1 1,a 1 42 nn Sa （）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列 1 2 nnn baa n b （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 n a 解析：（）由及，有 1 1,a 1 42 nn Sa 121 42,aaa 21121 325,23aabaa 由， 1 42 nn Sa 則當(dāng)

11、時，有.2n 1 42 nn Sa 得 ， 又， 11 44, nnn aaa 11 22(2) nnnn aaaa 1 2 nnn baa 1 2 nn bb 是首項(xiàng)，公比為 2 的等比數(shù)列 n b 1 3b （）由（）可得， 1 1 23 2n nnn baa （如果不這樣，就要用到累差法了） 1 1 3 224 nn nn aa 數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列 2 n n a1 2 3 4 ， 1331 (1) 22444 n n a nn 故 2* (31) 2, n n annN 角度 4 等比數(shù)列 n a中， 123 ,a a a分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且 123 ,

12、a a a中的任何兩個數(shù)不在下 表的同一列. 第一列第二列第三列 第一行 3210 第二行 6414 第三行 9818 （）求數(shù)列 n a的通項(xiàng)公式； （）若數(shù)列 n b滿足：，求數(shù)列 n b的前2n項(xiàng)和 2n S.( 1) ln n nnn baa 解析：（）當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，不合題意. 1 3a 1 10a 當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，符合題意；因此 1 2a 23 6,18aa 123 2,6,18,aaa3q 故 1* 2 3, n n anN （）因?yàn)? 1) ln n nnn baa 11 2 3( 1) ln(2 3) nnn 11 2 3( 1) ln2(1)ln32 3( 1) (

13、ln2ln3)( 1)ln3, nnnnn nn 2122nn Sbbb 212 2(1 33) 1 1 1( 1) (ln2ln3) nn 2 123( 1) 2 ln3 n n 2 2 1 3 2ln33ln3 1. 1 3 n n nn 重點(diǎn) 4 數(shù)列的求和 1.數(shù)列求和的注意事項(xiàng)：（1）首項(xiàng)：從哪項(xiàng)開始相加；（2）有多少項(xiàng)求和；（3）通項(xiàng)的特征決定求和的方法 2.常見的求和技巧：（1）公式法，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式； （2）倒序相加法； （3）錯位相減法； （4）分組求和法； （5）裂項(xiàng)法； （6）并項(xiàng)法 高考?？冀嵌?角度 1 若數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則（ ） n a( 1)

14、(32) n n an 1210 aaa A. B. C. D. 1512 解析:方法一：分別求出前 10 項(xiàng)相加即可得出結(jié)論； 方法二：，故.故選 A. 1234910 3aaaaaaaaa L 角度 2 已知數(shù)列，求此數(shù)列的前項(xiàng)和 221 1,12,122 ,.,122.2nn 解析：由 21 1 2 122.221 1 2 n nn 221 1 (12)(122 ).(122.2) n n S 23 (2 1)(21)(21).(21) n 231 2(1 2 ) 222.222 1 2 n nn nnn 角度 3 數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且， n a n

15、an n S n b 11 3,1ab 數(shù)列是公比為 64 的等比數(shù)列，. n a b 22 64b S （1）求； , nn a b （2）求證. 12 1113 4 n SSS 解：設(shè)公差為，由題意易知，且 則通項(xiàng)，前項(xiàng)和 n ad0d * dN n a3(1) n andn d nn nSn 2 ) 1( 3 再設(shè)公比為，則通項(xiàng) 由可得 n bq n b 1 n n qb64 22 Sb(6)64qd 又為公比為 64 的等比數(shù)列， n a b daa a a a a qq q q b b nn n n n n 1 1 1 1 1 64 d q 聯(lián)立、及，且可解得 0d * dN8,2q

16、d 通項(xiàng)， n a21 n an * nN 的通項(xiàng)， n b 1 8 n n b * nN （2）由（1）知， (1) 32 2 n n n Sn (2)n n * nN 11 (2) n Sn n 1 11 () 22nn 12 111 n SSS 111 111 11 (1)()() 232 2422nn 111111 (1) 23242nn 11111111 (1)() 2233452nn 1111 (1)() 2212nn 31113 () 42124nn 角度 4 設(shè)若，則_ 4 ( ), 42 x x f x 122013 ()().() 201420142014 SfffS 解析

17、： 1 1 442 ( ),(1) 424242 xx xxx f xfx 42 ( )(1)1 4242 x xx f xfx 由得 122013 ()().() 201420142014 Sfff 201320121 ()().() 201420142014 Sfff ， 120132201220131 2 ()() ()(). ()()2013 201420142014201420142012 Sffffff 2013 2 S 角度 5 設(shè)數(shù)列滿足 n a 21* 123 333, 3 n n n aaaanN （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 n a （2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和, n n n b a

18、 n bn n S 解析：（1）由已知 21 123 333 3 n n n aaaa 當(dāng)時， 2n 22 1231 1 333 3 n n n aaaa 兩式相減得， 在中，令，得 所以 1 11 3 33 n nn n aa 1n 1 1 3 a * 1 , 3 n n anN （2）,3n nn n n bbn a 23 1 32 33 3.3n n Sn 2341 31 32 33 3.(1) 33 nn n Snn 相減得 23111 3(1 3 )31 2 2333.3333 1 322 n nnnn n n Snn 1 321 3 44 n n n S 重點(diǎn) 5 數(shù)列的綜合應(yīng)用

19、1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 2.數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用（貴州省所考的新課程全國卷基本上不考此類題，故未選入） 高考常考角度 角度 1 設(shè)，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為 的等差數(shù)列，則 721 1aaa 7531 ,aaaaq 642 ,aaa1 的最小值是_q 解析：由題意：， 23 1212121 112aaa qaa qaa q 2 2222 1,12aqaaqa ，而的最小值分別為 . 3 2 23qa 21222 1,1,1,2aaa aa 1,2,3 3 min 3q 角度 2 已知 n a是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列， n S為它的前n項(xiàng)和 （）當(dāng) 1 S 、 3 S 、 4 S

20、成等差數(shù)列時，求q的值； （）當(dāng) m S、 n S、 l S 成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù)k， m k a 、 n k a 、 l k a 也成等差數(shù)列 解析：（）由已知，因此 1 Sa， 2 3 (1)Saqq， 23 4 (1)Saqqq 1n n aaq 當(dāng) 1 S 、 3 S 、 4 S成等差數(shù)列時， 143 2SSS，可得 32 aqaqaq 化簡得 2 10qq 解得 15 2 q （）若1q ，則 n a的每項(xiàng) n aa，此時 m k a 、 n k a 、 l k a 顯然成等差數(shù)列1q 若1q ，由 m S、 n S、 l S 成等差數(shù)列可得2 mln SSS，即 (1)

21、(1)2 (1) 111 mln a qa qa q qqq 整理得 2 mln qqq 因此， 11 ()22 kmln k m kl kn k aaaqqqaqa 所以， m k a 、 n k a 、 l k a 也成等差數(shù)列 突破 3 個高考難點(diǎn) 難點(diǎn) 1 數(shù)列的遞推公式及應(yīng)用 1.求（為常數(shù)）型的通項(xiàng)公式 1nn apaq , p q （1）當(dāng)時，為等差數(shù)列1p n a （2）當(dāng)時，為等差數(shù)列1p n a （3）當(dāng)且時，方法是累差法或待定系數(shù)法，具體做法是：0p 1,0pq 數(shù)列為等比數(shù)列 11 () 11 nnnn qq apaqap a pp 1 n q a p 2.求（且為常數(shù)

22、）型的通項(xiàng)公式，具體做法是：“倒代換” 1 n n n ba a aab 0ab , a b 由變形為，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求解 1 n n n ba a aab 1 11 nn a aab 1 n a 1 1 a a b 3. 求（為常數(shù)）型的通項(xiàng)公式，具體做法是： 1 n nn apaq , p q 由，令，則，再行求解. 1 1 1 1 n nn nn nn aap apaq qq qq n n n a b q 1 1 nn p bb qq 典例 根據(jù)下列條件，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 n a n a （1） （待定系數(shù)法） 11 3,21 nn aaa 解析：由，是以為公比，為

23、首項(xiàng)的等比數(shù)列 11 2112(1) nnnn aaaa 1 n a 24 11* 14 221,() nn nn aanN （2）（換元法） * 11 3 1,() 23 n n n a aanN a 解析：由，是以公差，1 為首項(xiàng)的等差數(shù)列 1 1 3112 233 n n nnn a a aaa 1 n a 2 3 * 12213 1 (1), 3321 n n n nanN an （3） （累差法、換元法、待定系數(shù)法） 11 1,2n nn aaa 解析：兩邊除以得，令，則 1 2n 1 1 11 , 22 22 nn nn aa 2 n n n a b 11 111 1(1) 222

24、 nnnn bbbb 是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，1 n b 1 2 1 2 1 11111 1( ),11 222222 n n nn nnnn a bb * 21,() n n anN （4） （累積法） 11 1 ,4 nn n aa a n 解析：由已知得 1 1, n n an an 12342 123321 12432 ,., 123321 nnn nnn aaaaaannn anananaaa 以上各式相乘，得 12342 1233211 124 3 2 .,4 1233 2 1 nnnn n nnn aaaaaaannn nan aaaaaannna （5） （換元法） 2

25、11 3,3 nn aaa 解析：由已知 2 1313313 3log12loglog12(log1) nnnnnn aaaaaa 是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列， 3 log1 n a22 所以 121 33 log12 22 ,log21,3 n nnn nnn aaa * ()nN 難點(diǎn) 2 數(shù)列與不等式的交匯 典例設(shè)數(shù)列滿足且 n a 1 0a 1 11 1. 11 nn aa （）求的通項(xiàng)公式； n a （）設(shè)記證明： 1 1 , n n a b n 1 , n nk k Sb 1. n S 解析：（）由已知，是公差為 1 的等差數(shù)列， 1 1 n a 1 11 (1) 1 11 n

26、nn aa * 1( ) n n anN n （） 1 1 111 1 1 n n n a n b nnnn 1 n nk k Sb 111111 ()()() 12231nn 1 11. 1n 難點(diǎn) 3 數(shù)列與函數(shù)、方程的交匯 典例 1 已知等比數(shù)列的公比，前 3 項(xiàng)和。 n a3q 3 13 3 S （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； n a （）若函數(shù)在 6 x 處取得最大值，且最大值為，求的解析式。( )sin(2)(0,0)f xAxA 3 a( )f x 點(diǎn)評：本題考察等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想?；A(chǔ)題。 解：（）由題有； 12 11111 1

27、311 391333 333 nn n aaaaaa （）由（），故，又， 3 3a 3A 2 626 所以 ( )3sin(2) 6 f xx 規(guī)避 4 個易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn) 1 忽略成立的條件 1nnn aSS 典例 已知數(shù)列滿足， n a 1 3a 1 2(2) nnn aSSn （1）證明是等差數(shù)列，并求出公差 1 n S （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 n a 解析：（1）由已知，所以是等差數(shù)列，且公差為 11 1 111 2() 2 nnnn nn SSSS SS 1 n S 1 2 （2） 111536 (1) () 32653 n n n nS Sn 當(dāng)時，驗(yàn)證與不符2n 1 18 (35)(38) nnn aSS nn 1 189 (35)(3 8)5 a 1 3a 故 3,1 18 ,2 (35)(38) n n a n nn 易失分點(diǎn) 2 數(shù)列求和中包含的項(xiàng)數(shù)不清 典例 設(shè)，則等于（ ） 4710310 ( )2222.2, n f nnN ( )f n A. B. C. D. 2 (81) 7 n 1 2 (81) 7 n 3 2 (81) 7 n 4 2 (81) 7 n 解析：容易錯選 A，其實(shí)仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)，有項(xiàng)，故選 DnN4n 易失分點(diǎn) 3 數(shù)列中的最值求解不當(dāng) 典例 已知數(shù)