橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系知識(shí)精講

1、高二數(shù)學(xué)橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系知識(shí)精講一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn) 1. 第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。 注意： e的幾何意義：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比。 2. 焦半徑及焦半徑公式： 橢圓上一個(gè)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離叫做橢圓上這個(gè)點(diǎn)的焦半徑。 3. 橢圓參數(shù)方程 問題：如圖以原點(diǎn)為圓心，分別以a、b（ab0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作ANOx，垂足為N，過點(diǎn)B作BNAN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡的參

2、數(shù)方程。 解：參數(shù)。 說明： 對(duì)上述方程（1）消參即 由以上消參過程可知將橢圓的普通方程進(jìn)行三角變形即得參數(shù)方程。 4. 補(bǔ)充 5. 直線與橢圓位置關(guān)系： （1）相離 求橢圓上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到直線距離的最大值和最小值，（法一，參數(shù)方程法；法二，數(shù)形結(jié)合，求平行線間距離，作ll且l與橢圓相切） 關(guān)于直線的對(duì)稱橢圓。 （2）相切 弦長(zhǎng)公式： 例1. |MA|2|MF|取最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。 分析： 這里|MP|、|AP|分別表示點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離和點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離。 解： 例2. 時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是_。（2000年全國(guó)高考題） 分析：可先求F1PF290時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 解：法一 法

3、二 小結(jié)：本題考查橢圓的方程、焦半徑公式，三角函數(shù)，解不等式知識(shí)及推理、計(jì)算能力。 例3. 弦所在的直線方程。 分析：本例的實(shí)質(zhì)是求出直線的斜率，在所給已知條件下求直線的斜率方法較多，故本例解法較多，可作進(jìn)一步的研究。 解：法一 法二 法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A（x，y），由于中點(diǎn)為M（2，1）， 法四 例4. 的距離最小并求出距離的最小值（或最大值）？ 解：法一 法二 例5. （2）若四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，求四邊形ABCD的最大面積。 分析：題（1）解題思路比較多。法一：可從橢圓方程中求出y2代入x2+y2，轉(zhuǎn)化為值，解題時(shí)可結(jié)合圖形思考。

4、得最大值為25，最小值為16。 題（2）可將四邊形ABCD的面積分為兩個(gè)三角形的面積求解，由于AC是定線段，故長(zhǎng)度已定，則當(dāng)點(diǎn)B、點(diǎn)D到AC所在直線距離最大時(shí)，兩個(gè)三角形的面積最大，此時(shí) 解： （2）由題意得A（5，0），C（0，4），則直線AC方程為：4x5y20 例6. 分線與x軸相交于點(diǎn)P（x0，0）。 （1992年全國(guó)高考題） 分析： 證明：法一 法二 法三 這種解題方法通常叫做“端點(diǎn)參數(shù)法”或叫做“設(shè)而不求”。 例7. 解法一：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為 解法二： 小結(jié)：橢圓的參數(shù)方程是解決橢圓問題的一個(gè)工具，但不是所有與橢圓有關(guān)的問題必須用參數(shù)方程來解決?！灸M試題】 1. 已知橢圓的焦點(diǎn)

5、坐標(biāo)是是橢圓上的任一點(diǎn)，求證：率。 2. 在橢圓上求一點(diǎn)P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍。 3. 橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是_。 4. 橢圓，離心率，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為，求橢圓的方程。 5. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，1），與它相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線是，離心率為，求橢圓的方程。 6. 已知點(diǎn)P在橢圓上，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的取值范圍。 7. 在橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A（2，1），過點(diǎn)A的直線l的斜率為1，且與橢圓交于B、C兩點(diǎn)，線段BC的中點(diǎn)恰好是A，試求橢圓方程。 8. 已知橢圓，在橢圓上求一點(diǎn)M，使它到兩焦點(diǎn)距離之積為16。 9. 如圖，已知曲線，點(diǎn)A在曲線上移動(dòng)，點(diǎn)C（6，4），以AC為對(duì)角線作矩

6、形ABCD，使ABx軸，ADy軸，求矩形ABCD的面積最小時(shí)點(diǎn)A坐標(biāo)。參考答案 1. 證明：的兩焦點(diǎn)，相應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是。 橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比等于這個(gè)橢圓的離心率， 。 化簡(jiǎn)得。 點(diǎn)評(píng)：都是橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，習(xí)慣稱作焦半徑，稱作焦半徑公式，結(jié)合這兩個(gè)公式，顯然到焦點(diǎn)距離最遠(yuǎn)（近）點(diǎn)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)。 2. 解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)。 橢圓的準(zhǔn)線方程為， 因此，P點(diǎn)的坐標(biāo)為。 點(diǎn)評(píng)：解決橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離（焦半徑）問題，常利用橢圓的第二定義或焦半徑公式。如果利用焦半徑公式，應(yīng)先利用第二定義證明焦半徑公式。 3. 解析：橢圓的方程可寫成 ， 一個(gè)焦點(diǎn)是（1，1），相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程是， 由、得。 4. 解：橢圓的長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最短， 又， 橢圓的方程為 5. 解：設(shè)P（x，y）為橢圓上任意一點(diǎn)， 橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，1）， 與它相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線是，離心率為， ， 即為所求。 6. 解：設(shè)P，橢圓的準(zhǔn)線方程為，不妨設(shè)F1、F2分別為下焦點(diǎn)、上焦點(diǎn) 則 ， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng) 因此，