復合函數(shù)的導數(shù)

1、復合函數(shù)的導數(shù),一、復習與引入：,1. 函數(shù)的導數(shù)的定義與幾何意義.,2.常見函數(shù)的導數(shù)公式.,3.導數(shù)的四則運算法則.,4.例如求函數(shù)y=(3x-2)2的導數(shù),那么我們可以把平方式 展開,利用導數(shù)的四則運算法則求導.然后能否用其它 的辦法求導呢?,又如我們知道函數(shù)y=1/x2的導數(shù)是 =-2/x3,那么函數(shù) y=1/(3x-2)2的導數(shù)又是什么呢?,為了解決上面的問題,我們需要學習新的導數(shù)的運算法則,這就是復合函數(shù)的導數(shù).,在書寫時不要把 寫成 ,兩者是不完全一樣的,前者表示對自變量x的求導,而后者是對中間變量 的求導.,3.復合函數(shù)的求導法則:,復合函數(shù)對自變量的導數(shù),等于已知函數(shù)對中間

2、變量的導數(shù),乘以中間變量對自變量的導數(shù).,法則可以推廣到兩個以上的中間變量.,求復合函數(shù)的導數(shù),關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復合關(guān)系,合理選定中間變量,明確求導過程中每次是哪個變量對哪個變量求導,一般地,如果所設中間變量可直接求導,就不必再選中間變量.,復合函數(shù)的求導法則與導數(shù)的四則運算法則要有機的結(jié)合和綜合的運用.要通過求一些初等函數(shù)的導數(shù),逐步掌握復合函數(shù)的求導法則.,三、例題選講：,例1:求下列函數(shù)的導數(shù):,解:設y=u5,u=2x+1,則:,解:設y=u-4,u=1-3x,則:,解:設y=u-4,u=1+v2,v=sinx,則:,說明:在對法則的運用熟練后,就不必再寫中間步驟.,例2:求下列函數(shù)

3、的導數(shù):(1)y=(2x3-x+1/x)4;,解:,(3)y=tan3x;,解:,(2),解:,(4),解:,例5:求證雙曲線c1:x2-y2=5與橢圓c2:4x2+9y2=72在交 點處的切線互相垂直.,證:由于曲線的圖形關(guān)于坐標軸對稱,故只需證明其中一 個交點處的切線互相垂直即可.,聯(lián)立兩曲線方程解得第一象限的交點為p(3,2),不妨 證明過p點的兩條切線互相垂直.,由于點p在第一象限,故由x2-y2=5得,同理由4x2+9y2=72得,因為k1k2=-1,所以兩條切線互相垂直.從而命題成立.,例6:設f(x)可導,求下列函數(shù)的導數(shù): (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x

4、)+f(cos2x),解:,說明:對于抽象函數(shù)的求導,一方面要從其形式是把握其 結(jié)構(gòu)特征,另一方面要充分運用復合關(guān)系的求導法 則.,我們曾經(jīng)利用導數(shù)的定義證明過這樣的一個結(jié)論: “可導的偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù);可導的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在我們利用復合函數(shù)的導數(shù)重新加以證明:,證:當f(x)為可導的偶函數(shù)時,則f(-x)=f(x).兩邊同時對x 求導得: ,故 為 奇函數(shù).,同理可證另一個命題.,我們還可以證明類似的一個結(jié)論:可導的周期函數(shù)的導函數(shù)也是周期函數(shù).,證:設f(x)為可導的周期函數(shù),t為其一個周期,則對定義 域內(nèi)的每一個x,都有f(x+t)=f(x).,兩邊同時對x求導得:

5、即 也是以t為周期的周期函數(shù).,例7:求函數(shù) 的導數(shù).,說明:這是分段函數(shù)的求導問題,先根據(jù)各段的函數(shù)表達 式,求出在各可導(開)區(qū)間的函數(shù)的導數(shù),然后再用 定義來討論分段點的可導性.,解:當x1時, .,又 ,故f(x)在x=1處連續(xù).,而,從而f(x)在x=1處不可導.,四、小結(jié)：,利用復合函數(shù)的求導法則來求導數(shù)時,選擇中間變 量是復合函數(shù)求導的關(guān)鍵.必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復合而成的,分清其間的復合關(guān)系.要善于把一部分量、式子暫時當作一個整體, 這個暫時的整體,就是中間變量.求導時需要記住中間變量,注意逐層求導,不遺漏,而其中特別要注意中間變量的系數(shù),求導后,要

6、把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).,在上面的例子中涉及到了二次曲線在某點的切線 問題,但在上面的解法中回避了點在第二、三、四象限 的情況.可能有同學會提出對于二次曲線在任意點的切線怎樣求的問題,由于它涉及到隱函數(shù)的求導問題.我們不便去過多的去研究.,下面舉一個例子使同學們了解一下求一般曲線在任意點的切線的方法.(說明:這個內(nèi)容不屬于考查范圍.),例子:求橢圓 在點 處的切線方程.,解:對橢圓方程的兩邊分別求導(在此把y看成是關(guān)于x 的函數(shù))得:,于是所求切線方程為:,備用,利用上述方法可得圓錐曲線的切線方程如下:,(1)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點p0(x0,y0)的切線方程是: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.,(2)過橢圓 上一點p0(x0,y0)的切線方程是:,(2)過橢圓 上一點p0(x0,y0)的切線方程是:,(4)過拋物線y2=2px上一點p0(x0,y0)的切線方程是:y0y =p(x+x0).,(3)過雙曲線 上一點p0(x0,y0)的切線方程是:,證:設x有增量x,則對應的u,y分別有增量u, y.,因為 在點x處可導,所以 在點x處連續(xù).因此當x 0時, u 0.,當u0時,由 ,且 得:,當u=0時,公式也成立.,上面的證明其實不是一個很嚴格的證明,