慣性矩、靜矩,形心坐標(biāo)公式;

1、i1 截面的靜矩和形心位置daczzyyyczco圖i1z如圖i1所示平面圖形代表一任意截面，以下兩積分（i1）分別定義為該截面對(duì)于z軸和y軸的靜矩。靜矩可用來確定截面的形心位置。由靜力學(xué)中確定物體重心的公式可得利用公式（i1），上式可寫成（i2）或（i3）（i4）如果一個(gè)平面圖形是由若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的組合圖形，則由靜矩的定義可知，整個(gè)圖形對(duì)某一坐標(biāo)軸的靜矩應(yīng)該等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸的靜矩的代數(shù)和。即：（i5）式中ai、yci和zci分別表示某一組成部分的面積和其形心坐標(biāo)，n為簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)。將式（i5）代入式（i4），得到組合圖形形心坐標(biāo)的計(jì)算公式為（i6）yc0.12m0.4myy0

2、.6m0.2moyzccc例題i1圖例題i1 圖a所示為對(duì)稱t型截面，求該截面的形心位置。解：建立直角坐標(biāo)系z(mì)oy，其中y為截面的對(duì)稱軸。因圖形相對(duì)于y軸對(duì)稱，其形心一定在該對(duì)稱軸上，因此zc=0，只需計(jì)算yc值。將截面分成、兩個(gè)矩形，則a=0.072m2，a=0.08m2y=0.46m，y=0.2m i2 慣性矩、慣性積和極慣性矩dayyo圖i2zz如圖i2所示平面圖形代表一任意截面，在圖形平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系z(mì)oy?，F(xiàn)在圖形內(nèi)取微面積da，da的形心在坐標(biāo)系z(mì)oy中的坐標(biāo)為y和z，到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為?，F(xiàn)定義y2da和z2da為微面積da對(duì)z軸和y軸的慣性矩，2da為微面積da對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極

3、慣性矩，而以下三個(gè)積分 （i7）分別定義為該截面對(duì)于z軸和y軸的慣性矩以及對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩。由圖（i2）可見，所以有（i8）即任意截面對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的兩任意正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。另外，微面積da與它到兩軸距離的乘積zyda稱為微面積da對(duì)y、z軸的慣性積，而積分（i9）定義為該截面對(duì)于y、z軸的慣性積。從上述定義可見，同一截面對(duì)于不同坐標(biāo)軸的慣性矩和慣性積一般是不同的。慣性矩的數(shù)值恒為正值，而慣性積則可能為正，可能為負(fù)，也可能等于零。慣性矩和慣性積的常用單位是m4或mm4。i3 慣性矩、慣性積的平行移軸和轉(zhuǎn)軸公式zdacz1y1y1abo圖i3z1yzy一、慣性

4、矩、慣性積的平行移軸公式圖i3所示為一任意截面，z、y為通過截面形心的一對(duì)正交軸，z1、y1為與z、y平行的坐標(biāo)軸，截面形心c在坐標(biāo)系z(mì)1o y1中的坐標(biāo)為（b，a），已知截面對(duì)z、y軸慣性矩和慣性積為iz、iy、iyz，下面求截面對(duì)z1、y1軸慣性矩和慣性積iz1、iy1、iy1z1。（i10）同理可得（i11）式（i10）、（i11）稱為慣性矩的平行移軸公式。下面求截面對(duì)y1、z1軸的慣性積。根據(jù)定義由于z、y軸是截面的形心軸，所以sz=sy=0，即 （i12）式（i12）稱為慣性積的平行移軸公式。二、慣性矩、慣性積的轉(zhuǎn)軸公式圖（i4）所示為一任意截面，z、y為過任一點(diǎn)o的一對(duì)正交軸，截面

5、對(duì)z、y軸慣性矩iz、iy和慣性積iyz已知。現(xiàn)將z、y軸繞o點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角（以逆時(shí)針方向?yàn)檎┑玫搅硪粚?duì)正交軸z1、y1軸，下面求截面對(duì)z1、y1軸慣性矩和慣性積、。y1yz1zdaz1zyy1o圖i4 （i13）同理可得 （i14） （i15）式（i13）、（i14）稱為慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式，式（i15）稱為慣性積的轉(zhuǎn)軸公式。i4 形心主軸和形心主慣性矩一、主慣性軸、主慣性矩由式（i15）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)=0o，即兩坐標(biāo)軸互相重合時(shí)，；當(dāng)=90o時(shí)，因此必定有這樣的一對(duì)坐標(biāo)軸，使截面對(duì)它的慣性積為零。通常把這樣的一對(duì)坐標(biāo)軸稱為截面的主慣性軸，簡(jiǎn)稱主軸，截面對(duì)主軸的慣性矩叫做主慣性矩。假設(shè)將z、y軸繞o點(diǎn)旋轉(zhuǎn)0角得到主軸z0、y0，由主軸的定義從而得 （i16）上式就是確定主軸的公式，式中負(fù)號(hào)放在分子上，為的是和下面兩式相符。這樣確定的0角就使得等于。由式（i16）及三角公式可得將此二式代入到式（i13）、（i14）便可得到截面對(duì)主軸z0、y0的主慣性矩（i17）二、形心主軸、形心主慣性矩通過截面上的任何一點(diǎn)均可找到一對(duì)主軸。通過截面形心的主軸叫做形心主軸，截面對(duì)形心主軸的慣性矩叫做形心主慣性矩。例題i5 求例i1中截面的形心主慣