高數(shù) 定積分的應(yīng)用

1、 第六章 定積分的應(yīng)用 教學(xué)目的 1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。 3、掌握用定積分表達和計算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。 教學(xué)重點： 1、計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。 2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。 教學(xué)難點： 1、截面面積為已知的立體體積。 2、引力。 6.1 定積分的元素法 回憶曲邊梯形的面積? 設(shè)y?f (x)?0 (x?a? b)? 如果說積分? b dx)f(xA

2、?a是以a? b為底的曲邊梯形的面積? 則積分上限函數(shù) x dtt)(x?f(A?a就是以a? x為底的曲邊梯形的面積? 而微分dA(x)?f (x)dx 表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值?A?f (x)dx?f (x)dx稱為曲邊梯形的面積元素? 以 ?為被積表達式dx)x(f就是以面積元素A為底的曲邊梯形的面積b ?a以 a? b為積分區(qū)間的定積分? b ?dx)f(xA?a 一般情況下? 為求某一量U? 先將此量分布在某一區(qū)間a? b上? 分布在a? x上的量用函數(shù)U(x)表示? 再求這一量的元素dU(x)? 設(shè)dU(x)?u(x)dx? 然后以u(x)dx為被積表達式? 以

3、a? b為積分區(qū)間求定積分即得 b ? dxx)U?f(?a 用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)? 6? 2 定積分在幾何上的應(yīng)用 一、平面圖形的面積 1直角坐標情形 設(shè)平面圖形由上下兩條曲線y?f(x)與y?f(x)及左右兩條直線x?a與x?b所圍成下上? 則面積元素為f(x)? f(x)dx? 于是平面圖形的面積為 下上b? ? dx)x)?f(xS?f(?下上a?所圍成設(shè)?cd與y?與x?(y)及上下兩條直線y?類似地 ?由左右兩條曲線xy()右左?平面圖形的面積為d ? ?dy)S?(y)?(y?左右c22?所圍成的圖形的面積x?y、x?y計算拋物線1 例 (1)畫圖?

4、解 ? 1軸上的投影區(qū)間: 0? (2)確定在x ?確定上下曲線 ? (3)2x?, f(x)f(x)?x下上 計算積分 (4) 31112? 132?x?S?(x?xx)dx? 20 33302?2x與直線y?x?4 例2 計算拋物線y所圍成的圖形的面積? 解 (1)畫圖? (2)確定在y軸上的投影區(qū)間: ?2? 4?1? ? (3)確定左右曲線2?4yy?)y?, ?(y)右左 2 (4)計算積分?4111? 423218?4y?yy?dy?(y?4?)yS?2 6222?2y2x所圍成的圖形的面積? 例3 求橢圓 1? 22ba 解 設(shè)整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍? 橢圓在第

5、一象限部分在x 軸上的投影區(qū)間為0? a? 因為面積元素為ydx? 所以 a ?ydx4S?0橢圓的參數(shù)方程為: x?a cos t ? y?b sin t ? 0a 于是 )acost?4bsintd(?ydxS?4?0 2?0 ? 2?tdtsin?4ab?ab2ab?dt(2?ab1?t)cos2? 2 2?0 2 2極坐標情形 曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素? ?曲邊扇形的面積元素 ?圍成的圖形稱為曲邊扇形? ? 及射線)(?由曲線 為 1? 2?ddS?() 2曲邊扇形的面積為 ?1? 2?d(S?)? 2? 2的一段弧與極軸所圍從0 (a 0)上相應(yīng)于例 4. 計算阿基米德螺線變到?

6、a成的圖形的面積? 1?2411 解: ? ?233222?d(aS?)?a?a 0 32320? ) (a0) 所圍成的圖形的面積?cos? 例5. 計算心形線 ?a(1?111 解: 22?dcos?a2(cos?S?2?a(1cos2)d? 22200331? ?22?a?sin2sin?a2?0 242 二、體 積 1旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體? 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸? 常見的旋轉(zhuǎn)體? 圓柱、圓錐、圓臺、球體? 旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y?f (x)、直線x?a 、a?b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體? 設(shè)過區(qū)間a? b

7、內(nèi)點x 且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V (x)? 當平面2?dx ? 于是體積元素為 ?V?f (x)后左右平移dx? 體積的增量近似為2?dx ? )f (x dV? 旋轉(zhuǎn)體的體積為 b2 ? ?dx)(x?Vf?a軸圍成一個直角三角 x及 h?x的直線、直線)r ?h(P及點O連接坐標原點 1 例 計算這圓錐體的體積?h的圓錐體? 形? 將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、高為r ? 解: 直角三角形斜邊的直線方程為x?y h 所求圓錐體的體積為 2?rr11h223h ? ?dx(?)xhrV?x?0 3h320h2y2x)(旋轉(zhuǎn)橢球體所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體計算由橢圓

8、例2? 1? 22ba ? 的體積 : 這個旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個橢圓 解 b22 xa?y?a及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體? 體積元素為 2?dx y?dV? 于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為 22bb41a232a22? ?ab?dxx(a)?V?ax?x?a? 3322a?aa 例3 計算由擺線x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱? 直線y?0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積? 解 所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 ?22a222 ?dta(1?ycosdx?ta?(1cost)?V?x00?2332 ?dtt1?3cost?3cos

9、)t?cosa(?0 3 2 ? ?5?a 設(shè)曲線左半邊為? 所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個旋轉(zhuǎn)體體積的差 則、右半邊為x=x(y)? (x=xy)21a22a22 ?dyV?(xy)dy?x(y)?12y00?2222 ?tdtasint?t)sin?t?a(t?sin)a?sintdt?a(?02?2 3 3?23 ? a6 ?tdtsin)a?tsin?t(?0 2平行截面面積為已知的立體的體積 截面 軸的平面與立體相截? 過點x 且垂直于x 設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為a? b 立體的體積為? 則體積元素為A(x)dx 面積為A(x)?b ? dxx)V?A(?a?計算這平的圓

10、柱體的底圓中心一平面經(jīng)過半徑為R? 并與底面交成角 ? 例4 面截圓柱所得立體的體積?軸的x 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸? 底面上過圓中心、且垂直于 解?2 2 2軸的截面是一x那么底圓的方程為? x? ?y立體中過點x?R且垂直于直線為y軸2222 及因而截面積為個直角三角形? ?兩個直角邊分別為?tanx?RRx122 于是所求的立體體積為?tanA(x)?x(R)? 21112R322R23 ? ?dx?tanRtanV?x(Rx?x)Rtan?R? 3223R?的正劈的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h? 求以半徑為R5 例 ? 錐體的體積 ?x? 并使軸與正劈錐的頂

11、平行O y 平面? 圓心為原點解 : 取底圓所在的平面為x 2 2 2截正劈錐 作垂直于x軸的平面?Rx0)相應(yīng)于 從0到? 例14 求阿基米德螺線 解? 弧長元素為 2222 ?dd?a?a1ds?a 于是所求弧長為a?2222? ?)2?ln(4?121?4?ds?a1? 20 6. 3 功 水壓力和引力 一、變力沿直線所作的功 例1 把一個帶?q電量的點電荷放在r軸上坐標原點O處? 它產(chǎn)生一個電場? 這個電場對周圍的電荷有作用力? 由物理學(xué)知道? 如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點O為r的地方? 那么電場對它的作用力的大小為 q (k是常數(shù))? kF? 2r當這個單位正電荷在電場

12、中從r?a處沿r軸移動到r?b(ab)處時? 計算電場力F對它 ?所作的功 例1? 電量為+q的點電荷位于r軸的坐標原點O處它所產(chǎn)生的電場力使r軸上的一個單位正電荷從r=a處移動到r=b(ab)處求電場力對單位正電荷所作的功? 提示: 由物理學(xué)知道? 在電量為+q的點電荷所產(chǎn)生的電場中? 距離點電荷r處的q (k是常數(shù)單位正電荷所受到的電場力的大小為)? k?F 2r 解: 在r軸上? 當單位正電荷從r移動到r+dr時? q? 電場力對它所作的功近似為 drk 2rq? 即功元素為 drdW?k 2r 于是所求的功為kq111b? bdr?W?)kqkq?(? a 2rbraa 例2? 在底面

13、積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體? 在等溫條件下? 由于氣體的膨脹? 把容器中的一個活塞(面積為S)從點a處推移到點b處? 計算在移動過程中? 氣體壓力所作的功? 解? 取坐標系如圖? 活塞的位置可以用坐標x來表示? 由物理學(xué)知道? 一定量的氣體在等溫條件下? 壓強p與體積V的乘積是常數(shù)k ? 即 k? ?k 或 pV?p V 解: 在點x處? 因為V?xS? 所以作在活塞上的力為 kk? ?p?S?S?F? xSxk? 變力所作的功近似為x?dx時?當活塞從x移動到dx xk? 即功元素為dx?dW x于是所求的功為 bkb? b?W?dxkln?lnx?ka xaa 例3? 一圓柱形的

14、貯水桶高為5m? 底圓半徑為3m? 桶內(nèi)盛滿了水? 試問要把桶內(nèi) 的水全部吸出需作多少功？ 上任0? 50? 5? 相應(yīng)于它的變化區(qū)間為 作x軸如圖? 取深度x 為積分變量? 解?3 的單位為m8kN/m? 因此如x x?dx的一薄層水的高度為dx? 水的比重為9?小區(qū)間x?2? ? ?3這薄層水吸出桶外需作的功近似地為dx這薄層水的重力為9?8? dx?2 ?x?dW?88? 于是所求的功為?此即功元素225x5 (kj)? 5?2?88.?88.2xdxW?882.?0 220 二、水壓力 如果有一面 ? 是水的比重?處的壓強為p?h ? 這里 從物理學(xué)知道? 在水深為h 平板一側(cè)所受的水

15、壓力為 那么? 積為A 的平板水平地放置在水深為h處? p?A?P?所以 p不相等? 如果這個平板鉛直放置在水中 那么? 由于水深不同的點處壓強 平板所受水的壓力就不能用上述方法計算?水的比重 設(shè)桶的底半徑為R?一個橫放著的圓柱形水桶? 桶內(nèi)盛有半桶水? 4例? ? ?為 計算桶的一個端面上所受的壓力? 取坐標系如圖? ? 與水接觸的是下半圓? 桶的一個端面是圓片 解? 得壓力元素為 其寬為dx ?處于圓片上取一窄條 在水深x? ?22?dxx?dP?2Rx 所求壓力為1RR 222222?)d(Rx?(R?xdx?x xR2P? 2003r22 ? 3R22?R?R?x?)( 2 0 33 三、引力 從物理學(xué)知道? 質(zhì)量分別為m、m? 相距為r的兩質(zhì)點間的引力的大小為 2 1mm? 21GF? 2r ?引力的方向沿著兩質(zhì)點連線方向 ?為引力系數(shù)G其中 由于細棒上各點與該質(zhì)點的距 ? 那么? 如果要計算一根細棒對一個質(zhì)點的引力 就不能用上述公式來計算? 離是變化的? 且各點對該質(zhì)點的引力的方向也是變化的?單位處有? 在其中垂線上距棒a設(shè)有一長度為l 、線密度為?的均勻細直棒? 例5 的引力? 的質(zhì)點一質(zhì)量為mM? 試計算該棒對質(zhì)點M?m的均勻細直棒對其中垂線上距棒a 求長度為l、線密度為單位處質(zhì)量為? 例5 的引力? 的質(zhì)點M由? 軸上?