哈工大非線性作業(yè)

1、非線性控制課程作業(yè)2015秋季學(xué)期姓 名：學(xué) 號(hào)： 15S專 業(yè)： 控制科學(xué)與工程哈爾濱工業(yè)大學(xué)2016年1月作業(yè)一1. 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間而變化的系統(tǒng)或者按確定性規(guī)律隨時(shí)間演化的系統(tǒng)，稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是數(shù)學(xué)上的一個(gè)概念，是一種固定的規(guī)則，它描述一個(gè)給定空間（如某個(gè)物理系統(tǒng)的狀態(tài)空間）中所有點(diǎn)隨時(shí)間的變化情況。在動(dòng)力系統(tǒng)中有所謂狀態(tài)的概念，狀態(tài)是一組可以被確定下來(lái)的實(shí)數(shù)。狀態(tài)的微小變動(dòng)對(duì)應(yīng)這組實(shí)數(shù)的微小變動(dòng)。動(dòng)力系統(tǒng)的演化規(guī)則是一組函數(shù)的固定規(guī)則，它描述未來(lái)狀態(tài)如何依賴于當(dāng)前狀態(tài)的。這種規(guī)則是確定性的，即對(duì)于給定的時(shí)間間隔內(nèi)，從現(xiàn)在的狀態(tài)只能演化出一個(gè)未來(lái)的狀態(tài)。其特點(diǎn)是: （1）

2、系統(tǒng)的狀態(tài)變量是時(shí)間函數(shù),即其狀態(tài)變量隨時(shí)間而變化； （2）系統(tǒng)狀況由其狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的信息來(lái)來(lái)描述； （3）狀態(tài)變量的持續(xù)性。 數(shù)學(xué)描述形式：一般的，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)表示為一個(gè)元組，其中表示一個(gè)從到的映射，用表示，稱為“演變函數(shù)”，表示了系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律。其中， 表示了集合中點(diǎn)的變化，這種變化依據(jù)于變量，稱為狀態(tài)空間。代表系統(tǒng)的初始狀態(tài)，當(dāng)初始狀態(tài)固定時(shí)，就變?yōu)榱说暮瘮?shù)，函數(shù)經(jīng)過(guò)代表的狀態(tài)點(diǎn)。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)也常用微分方程來(lái)描述，設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)向量為，則有一下數(shù)學(xué)描述：式中x為狀態(tài)變量矢量，t為時(shí)間，f為確定性矢量函數(shù)，這個(gè)微分方程即動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述形式。 對(duì)微分動(dòng)力系統(tǒng)的研究從理論上揭示了系統(tǒng)的

3、許多基本性質(zhì)。如對(duì)系統(tǒng)吸引子的研究說(shuō)明了系統(tǒng)終態(tài)，即定常狀態(tài)的種類（非平衡態(tài)）。又如對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性條件的研究和相空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)參量依賴關(guān)系的研究都對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有重要指導(dǎo)意義。不用微分方程描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型中最簡(jiǎn)單的是映射，一般用差分方程或迭代方程表示。 靜態(tài)系統(tǒng)：與動(dòng)態(tài)系統(tǒng)相對(duì)，系統(tǒng)狀態(tài)不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)稱為靜態(tài)系統(tǒng)。系統(tǒng)中各個(gè)狀態(tài)的量之間都有著已經(jīng)固定的關(guān)系并且保持不變，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的每一個(gè)平衡點(diǎn)都是一個(gè)靜態(tài)系統(tǒng)。 數(shù)學(xué)描述：用微分方程來(lái)描述靜態(tài)系統(tǒng)，類比動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，可以有以下數(shù)學(xué)描述其中表示了系統(tǒng)中各個(gè)狀態(tài)變量之間的關(guān)系，即滿足這樣的關(guān)系時(shí)靜態(tài)系統(tǒng)才能成立。 2.系統(tǒng)的齊次性和疊加性是不是獨(dú)立的

4、兩個(gè)性質(zhì)？如果一個(gè)系統(tǒng)具有疊加性，是否可以推斷出該系統(tǒng)一定滿足齊次性？寫出你對(duì)該問(wèn)題的理解。 二者是獨(dú)立的，二者只在有理數(shù)范圍內(nèi)等效；這個(gè)問(wèn)題本身屬于群論范疇，盡管直觀上講，二者有一定關(guān)聯(lián)?？梢宰C明在有理數(shù)域內(nèi), 如果已知系統(tǒng)具有疊加性, 那么它一定同時(shí)具有齊次性。 （1）在整數(shù)范圍內(nèi)證明，當(dāng)由疊加性可以得到 即滿足齊次性：當(dāng)顯然成立;當(dāng)時(shí)由可加性，由上面堆出的結(jié)論可知簡(jiǎn)言之，式子最后可以分解為a個(gè)T(r)相加，即為a倍T(r)。此時(shí)可加性與齊次性表述了同一條規(guī)則。將這一結(jié)論推廣，可加性可以推出對(duì)于有理數(shù)的齊次性， （2）在有理數(shù)范圍內(nèi)證明 由于有理數(shù)總可以寫成分?jǐn)?shù)形式，其中，由(1)中推出的

5、結(jié)論知在有理數(shù)范圍存在，故齊次性與可加性在有理數(shù)范圍內(nèi)等效。但在無(wú)理數(shù)范圍內(nèi)及復(fù)數(shù)范圍內(nèi)該結(jié)論不一定成立，反例如下： （3）雖然實(shí)際中存在很多不同時(shí)滿足齊次性與可加性的例子，但大多數(shù)非線性系統(tǒng)是同時(shí)不滿足二者。具有齊次性的非線性映射，只能在不滿足可加性的無(wú)理數(shù)集中去尋找。如果不要求為連續(xù)函數(shù)，定義抽象函數(shù)如下例，即為一個(gè)滿足齊次性而不滿足可加性的系統(tǒng)： （x為有理數(shù)） （x為無(wú)理數(shù)） 即為滿足齊次性對(duì)數(shù)乘封閉 而不滿足可加性的實(shí)例。 （4）設(shè)為復(fù)數(shù)，若系統(tǒng)滿足其中，則可以推導(dǎo)出齊次性，但是一般的線性系統(tǒng)不滿足這個(gè)性質(zhì)。若變量與常數(shù)都可在復(fù)數(shù)域取值，由于復(fù)數(shù)運(yùn)算的特殊性，疊加性與齊次性之間不一定

6、等價(jià)。比如當(dāng)k為復(fù)數(shù)時(shí)， ，齊次性不成立但是疊加性仍然成立。3. 狀態(tài)空間表達(dá)式如下，Simulink仿真比較線性、非線性模型。 線性系統(tǒng)Simulink仿真模型（藍(lán)色曲線） 非線性系統(tǒng)Simulink仿真模型（紅色曲線） （1）對(duì)于初值，兩種系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡如下兩圖所示：X1 X2當(dāng)角度很小時(shí)，兩系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡基本是相同的。（2）對(duì)于初值，兩系統(tǒng)狀態(tài)軌跡如下：X1 X2當(dāng)初始角度偏大時(shí)，近似的模型與實(shí)際模型的狀態(tài)軌跡出現(xiàn)了偏差。對(duì)于初值，兩系統(tǒng)狀態(tài)軌跡如下：X1 X2當(dāng)單擺初始狀態(tài)水平放置時(shí)，兩個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡相差比較大。（4） 對(duì)于初值，兩系統(tǒng)狀態(tài)軌跡如下：X1 X2 當(dāng)偏角大于直角，兩系統(tǒng)

7、軌跡相差很大，實(shí)際系統(tǒng)的軌跡已經(jīng)能夠看出不完全符合正弦規(guī)律。作業(yè)二1. 對(duì)兩種穩(wěn)定性的理解。 假設(shè)f是n維連續(xù)向量場(chǎng)。這樣可以保證對(duì)于每個(gè)初始狀態(tài)x0，都有至少一個(gè)經(jīng)典解x(t)。 (1)Lyapunov穩(wěn)定性針對(duì)平衡位置定義：系統(tǒng)對(duì)任意選定實(shí)數(shù) ，都存在 ，使得當(dāng) 時(shí)，從任意初態(tài)出發(fā)都滿足 ，便可以確定 為平衡點(diǎn)，且此時(shí)稱這個(gè)平衡點(diǎn)在Lyapunov意義下穩(wěn)定。若平衡點(diǎn)為零點(diǎn)，則。實(shí)質(zhì)即在一定條件下可以滿足是系統(tǒng)響應(yīng)有界，系統(tǒng)響應(yīng) 存在邊界 ，而根據(jù)邊界即可確定出初始狀態(tài)所在超球域。初值的選取取決于對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)范圍的限定，通過(guò)限定初值范圍保證系統(tǒng)狀態(tài)在要求范圍之內(nèi)。 (2)Lagrange穩(wěn)定

8、性也叫解的一致有界性，從Lagrange穩(wěn)定性中只能得到狀態(tài)在時(shí)刻之后是有界的。即給定，我們總可以找到一個(gè)，當(dāng)時(shí)，有。2. 解對(duì)初值具有連續(xù)依賴性與不穩(wěn)定性的理解。解對(duì)初值的連續(xù)依賴性是指，對(duì)于非線性系統(tǒng)，假設(shè)為定義在上的唯一解，滿足初始條件, 對(duì)于任意給定的，存在使得對(duì)于，上述方程在上存在滿足初始條件的唯一解，且。由于連續(xù)依賴性定義在上，即使是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，在一個(gè)已知時(shí)間范圍內(nèi)也是存在解的，只要滿足在確定時(shí)間點(diǎn)上的解關(guān)于初值連續(xù)變化就說(shuō)明解對(duì)初值有連續(xù)依賴性。因此對(duì)初值的連續(xù)依賴性與系統(tǒng)不穩(wěn)定不矛盾。即解對(duì)初值的連續(xù)依賴性與系統(tǒng)是否穩(wěn)定無(wú)關(guān)，具有不穩(wěn)定的解的系統(tǒng)也可以對(duì)初值具有穩(wěn)定性。如存在

9、。3.該系統(tǒng)平衡點(diǎn)唯一，因?yàn)槿绻谐嗽c(diǎn)的另一平衡點(diǎn)，那么若取初值，根據(jù)平衡點(diǎn)的定義，與條件不符。但不能說(shuō)平衡點(diǎn)0是漸進(jìn)穩(wěn)定的，狀態(tài)收斂，但是并不一定符合Lyapunov意義下的穩(wěn)定性，即對(duì)于任意的不一定能夠找到一個(gè)，當(dāng)時(shí)，有，直觀上說(shuō)，就是在狀態(tài)收斂的過(guò)程中可能出現(xiàn)先發(fā)散再收斂的現(xiàn)象，雖然最后狀態(tài)收斂但不能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。作業(yè)三1.根據(jù)平衡點(diǎn)定義可得解得或近似線性化方法：由于，在平衡點(diǎn)附近有近似線性系統(tǒng)：線性近似系統(tǒng)矩陣，由于易知該平衡點(diǎn)穩(wěn)定。在平衡點(diǎn)附近，首先進(jìn)行坐標(biāo)變換則對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)，有下式成立： 由于，在平衡點(diǎn)附近有近似線性系統(tǒng)近似系統(tǒng)矩陣，當(dāng)時(shí)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，否則平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的

10、。在平衡點(diǎn)，同理可以得到近似系統(tǒng)矩陣，當(dāng)時(shí)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，否則平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。Lyapunov直接方法： 對(duì)于平衡點(diǎn)，取，則，對(duì)于平衡點(diǎn)附近的區(qū)域，有成立，因此平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。由于是在平衡點(diǎn)鄰域內(nèi)的，當(dāng)時(shí)，可以得到，即系統(tǒng)在平衡點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以解出系統(tǒng)的相應(yīng)為，解得，通過(guò)，解的形式可以很明顯的看出系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即但該平衡點(diǎn)并不是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，由于該系統(tǒng)平衡點(diǎn)不唯一。對(duì)于平衡點(diǎn)，用類似的方法可以得到結(jié)果。平衡點(diǎn)也不是全局漸進(jìn)穩(wěn)定。取，2. 不可以，該系統(tǒng)狀態(tài)的范圍為實(shí)數(shù)域，也就是說(shuō)復(fù)數(shù)不可能成為系統(tǒng)狀態(tài)， 不是系統(tǒng)合理的平衡點(diǎn)，又因在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，因此該系統(tǒng)平衡點(diǎn)只有。3.

11、取，則易知全局正定，則有考慮的極值，首先找到駐點(diǎn)，得到駐點(diǎn)為，檢驗(yàn)，可以得出駐點(diǎn)處二元函數(shù)取極大值，由于函數(shù)全局可導(dǎo)，只有一個(gè)駐點(diǎn)，說(shuō)明函數(shù)最大值為0，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，因此可以得出0，又因?yàn)闉閺较驘o(wú)界函數(shù)，所以該系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。作業(yè)四1.對(duì)于集合，若，即，可以得到，因此為系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)，因此為不變集。對(duì)于區(qū)域，取，定義，可以得到在內(nèi)，又存在任意接近原點(diǎn)的點(diǎn)，由Chetaev定理可知該平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。對(duì)于集合，對(duì)于系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)，解得該系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡為，狀態(tài)軌跡滿足，因此對(duì)于該系統(tǒng)，集合是一不變集。選取，可知該不變集是穩(wěn)定的。2.將代入系統(tǒng)得，令，則由于對(duì)稱正定，則若，只有，根據(jù)LaSall

12、e定理，可以得出中最大不變集為，其中，以因此中任意點(diǎn)為初值，系統(tǒng)解都趨向于0，可以得出系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。作業(yè)五1.充分性：二階連續(xù)可導(dǎo)，根據(jù)微分中值定理，存在介于0和的，使得，由于，有因此，其中，顯然滿足，由連續(xù)性可知如下極限存在：，如果系統(tǒng)（2）是指數(shù)穩(wěn)定的則有，因此對(duì)于給定的正定矩陣，Lyapunov方程有正定對(duì)稱解。取系統(tǒng)（1）的Lyapunov函數(shù)為，則由極限定義可知，對(duì)于給定的，存在，使得，則選取，則，因此系統(tǒng)（1）是指數(shù)穩(wěn)定的。必要性：由充分性證明過(guò)程得，,其中，對(duì)，有，由于系統(tǒng)（1）是指數(shù)穩(wěn)定，即存在，使得所以存在正定對(duì)稱矩陣，使得，則，又由于存在，使得，由于，故，故有故可令，則，由于，故半負(fù)定，所以半負(fù)定，系統(tǒng)（2）指數(shù)穩(wěn)定。作業(yè)六，系統(tǒng)可以看作輸入，輸出為的系統(tǒng)，由KYP引理證明過(guò)程可知，取，由于嚴(yán)格正定，則有，由于，故徑向無(wú)界系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定，且閉環(huán)系統(tǒng)為線性系統(tǒng)系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定。作業(yè)七1.（1）看做微分型則而因此（2）（3）