彈性力學(xué)復(fù)習(xí)題

1、一、 名詞解釋1. 彈性力學(xué)：研究彈性體由于受外力作用或者溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。2. 圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計。3. 外力：其它物體對研究對象（彈性體）的作用力。外力可以分為體積力和面積力。4. 體力：分布在物體體積內(nèi)的力，如重力和慣性力。5. 面力：分布在物體表面上的力，如流體壓力和接觸力。二、填空題1.彈性力學(xué)的基本假設(shè)為均勻性、各向同性、 連續(xù)性 、 完全彈性 和 小變形 。2.彈性力學(xué)正面是指 外法線方向與坐標(biāo)軸正向一

2、致 的面，負(fù)面指 外法線方向與坐標(biāo)軸負(fù)向一致 的面。3.彈性力學(xué)的應(yīng)力邊界條件表示在邊界上 應(yīng)力 與 面力 之間的關(guān)系式。除應(yīng)力邊界條件外彈性力學(xué)中還有 位移 、 混合 邊界條件。4.在平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題中，除 物理 方程不同外，其它基本方程和邊界條件都相同。因此，若已知平面應(yīng)力問題的解答，只需將其彈性模量換為 ，泊松比換為，即可得到平面應(yīng)變問題的解答。5.平面應(yīng)力問題的幾何形狀特征是 一個方向上的尺寸遠(yuǎn)小于另外兩個方向上的尺寸；平面應(yīng)變問題的幾何形狀特征是 一個方向上的尺寸遠(yuǎn)大于另外兩個方向上的尺寸。三、單項選擇題1. 下列關(guān)于彈性力學(xué)問題中的正負(fù)號規(guī)定，正確的是 D 。 (A) 應(yīng)

3、力分量是以沿坐標(biāo)軸正方向為正，負(fù)方向為負(fù)(B) 體力分量是以正面正向為正，負(fù)面負(fù)向為正(C) 面力分量是以正面正向為正，負(fù)面負(fù)向為負(fù)(D) 位移分量是以沿坐標(biāo)軸正方向為正，負(fù)方向為負(fù)2. 彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題中應(yīng)力分量表達(dá)正確的是 A 。(A) (B) (C) (D) 3. 彈性力學(xué)中不屬于基本方程的是 A 。(A) 相容方程 (B) 平衡方程 (C) 幾何方程 (D) 物理方程4. 彈性力學(xué)平面問題中一點處的應(yīng)力狀態(tài)由 A 個應(yīng)力分量決定。 (A) 3 (B) 2 (C) 4 (D) 5四、 問答題1. 彈性力學(xué)的基本假定是什么，各有什么作用？答：彈性力學(xué)中主要引用的五個基本假定及各假定用途

4、為： 1）連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。2）完全彈性假定：這一假定包含應(yīng)力與應(yīng)變成正比的含義，亦即二者呈線性關(guān)系，復(fù)合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3）均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此，反應(yīng)這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比等）就不隨位置坐標(biāo)而變化。4）各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質(zhì)在各個方向上都是相同的，也就是說，物體的彈性常數(shù)也不隨方向變化。5）小變形假定：研究物體受力后的平衡問題時，不用考慮物體尺

5、寸的改變，而仍然按照原來的尺寸和形狀進(jìn)行計算。同時，在研究物體的變形和位移時，可以將它們的二次冪或乘積略去不計，使得彈性力學(xué)的微分方程都簡化為線性微分方程。2. 彈性力學(xué)平面問題包括哪兩類問題？分別對應(yīng)哪類彈性體？兩類平面問題各有哪些特征？答：彈性力學(xué)平面問題包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩類，兩類問題分別對應(yīng)的彈性體和特征分別為：（1）平面應(yīng)力問題：所對應(yīng)的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應(yīng)力分量,存在，且僅為x,y的函數(shù)。（2）平面應(yīng)變問題：所對應(yīng)的彈性體主要為長截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿z軸無

6、變化，只有平面應(yīng)變分量,存在，且僅為x,y的函數(shù)。3. 常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問題可進(jìn)一步簡化為按應(yīng)力函數(shù)F求解，應(yīng)力函數(shù)F必須滿足哪些條件？答：（1）相容方程：；（2）應(yīng)力邊界條件；（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。4. 請說明應(yīng)力和面力符號規(guī)定的區(qū)別；答：當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的正方向時（即正面時），這個面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力或切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向為負(fù)。與此相反，當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時（即負(fù)面時），這個面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向為正，沿坐標(biāo)軸的正方向為負(fù)。5. 請說明彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力符號規(guī)定的區(qū)別。答：在彈性力學(xué)

7、和材料力學(xué)中切應(yīng)力的符號規(guī)定不盡相同：材料力學(xué)中規(guī)定，凡企圖使微段順時針轉(zhuǎn)動的切應(yīng)力為正；在彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸正方向為正，作用于負(fù)坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為正，相反的方向均為負(fù)。6. 平面問題的位移解法是如何推導(dǎo)出來的？請詳細(xì)推導(dǎo)。7. 平面問題的應(yīng)力解法是如何推導(dǎo)出來的？請詳細(xì)推導(dǎo)。8. 求解彈性力學(xué)問題的三類基本方程是什么？僅由基本方程是否可以求得具體問題的解答？為什么？答：平衡方程，幾何方程和物理方程。僅由基本方程不可以求得具體解答，因為缺少邊界條件，只能得到問題的通解而不是特解。9. 簡述圣維南原理及其在彈性力學(xué)中的簡化作用。答：如果物體的一小部

8、分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢和主矩相同），則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力所受影響可以忽略不計。作用： (1)將次要邊界上復(fù)雜的面力做分布的面力替代；(2) 將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。10. 如何正確寫出彈性力學(xué)平面問題的應(yīng)力邊界條件？請寫出具體步驟。答：(1) 找出邊界的外法線方向，求出和；(2) 寫出邊界上的應(yīng)力的x分量以及y分量的表達(dá)式；(3) 按如下公式寫出邊界條件下標(biāo)s表示在邊界上取值。11. 什么是半逆解法？請寫出半逆解法求解彈性力學(xué)平面問題的步驟。12. 闡述你對有限元方法的認(rèn)識。五、 計算題1.試考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否

9、有可能存在(1) ，；(2) ，；(3) ，解：應(yīng)變分量存在的必要條件是應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)條件，即因此，(1)相容；(2)須滿足；(3)不相容。只有，則。2.在無體力的情況下，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在單連通彈性體中存在(1) ，；(2) ，解：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中必須滿足平衡微分方程、相容方程和邊界條件，即 和 因此，(1)該組應(yīng)力滿足相容方程，為了滿足平衡微分方程，必須滿足和；(2)為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足，為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足。這只能是，即彈性體內(nèi)無應(yīng)力，無意義。3.已知平面應(yīng)力問題的應(yīng)力，其他應(yīng)力分量為零，求位移場。 解：由平面應(yīng)力問題的物理方程可以得

10、到 (1)(1)式代入幾何方程得到 (2)(2)式的前兩式分別對 x、y積分，得 (3)將(3)式代入(2)式的第三個方程中，可得 (4)此方程的左邊的自變量為x，右邊的自變量為y，等式要恒成立則要求兩邊等于同一個常數(shù)c，故可以令： (5)將這兩個方程分別對x和y積分就得到 (6)(6)式代入(3)式得到 (7)4. 如圖所示三角形柱體，下部受均勻載荷，斜面自由，不計體力，試檢驗應(yīng)力分量是否滿足應(yīng)力表示的全部方程，并求常數(shù)，使其滿足給定的邊界條件。解：(1) 驗證（略）應(yīng)力分量滿足如下平衡方程和相容方程(2) 對有邊界條件 (1)將和代入(1)式得到 (2)對OB邊有如下邊界條件 (3)將代入

11、(3)式得到 (4)OB邊的方程為 (5)將(5)式代入應(yīng)力分量并利用(2)式得到 (6)將(6)式代入(4)式有解得 (7)(7)式代入(2)式得到 (8)5. 如圖所示，設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力忽略不計，。試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。解：(I) 顯然，應(yīng)力函數(shù) (1)滿足雙調(diào)和方程。(II) 寫出應(yīng)力的表達(dá)式（不計體力） (2) (3) (4)(III) 通過邊界條件確定待定系數(shù)邊界條件為：邊界上： (5) (6)邊界上： (7) (8)由(2)(4)(5)(6)式有 (9)由(2)(4)(7)(8)式也可得到(9)式。在邊界上，用圣維南原理提出如下邊界條件 (10

12、) (11) (12)將(2)代入(10)得到 (13)將(4)代入(11)得到 (14)聯(lián)立(9)(14)得到 (15) (16)將(2)代入(12)得到 (17)由(13)(15)(16)(17)及(2)(3)(4)得到 (18) (19) (20)6. 如圖所示的墻，高度為h，寬度為b，hb，在兩側(cè)面上受到均布剪力q的作用，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。解：(I) 顯然，應(yīng)力函數(shù) (1)滿足雙調(diào)和方程。(II) 寫出應(yīng)力的表達(dá)式（不計體力） (2) (3) (4)(III) 通過邊界條件確定待定系數(shù)邊界條件為：邊界上： (5) (6)邊界上： (7) (8)由(2)(4)(5)(6)式有 (

13、9)由(2)(4)(7)(8)式也可得到(9)式。在邊界上，有 (10) (11)條件(10)自動滿足，然而，條件(11)會導(dǎo)致，這說明問題原應(yīng)力函數(shù)取得不合適。因為，可以用圣維南原理，在邊界處提出如下邊界條件 (12)由 (4)(12)有 (13)由 (9)(13)有 (14) (15)(IV) 將(14)(15)代入(2)(3)(4)有 (13) (14) (15)7. 設(shè)圖中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)味囗検綖閼?yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。解：(I) 取應(yīng)力函數(shù)為 (1)顯然應(yīng)力函數(shù)滿足雙調(diào)和方程。(II) 寫出應(yīng)力的表達(dá)式 (2) (3) (4)(III) 通過邊界條件確定待定系數(shù)邊界上： (5) (6)邊界上： 即 (7) (8)由(3)(5)式有 (9)由(4)(6)式有 (10)由(2)(3)(4)(7)(8)及(9)(10)有 (11) (12)(IV)將(9)(10)(11)(12)代入(2)(3)(4)有 (13) (14) (15)8. 固