第三章連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)

1、第三章 連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)討論可以用數(shù)學模型描述的系統(tǒng)，分為確定性模型（演化方程表示為狀態(tài)變量的函數(shù)）、隨機性模型（演化方程（動力學方程狀態(tài)變量的導數(shù)對狀態(tài)變量的依賴關系，例速度、位移表達式）可用一個隨時間變化的隨機變量描述），每一類模型又分連續(xù)型和離散型兩種。例，離散與連續(xù)的形象解釋。1連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學描述在系統(tǒng)科學中，迄今真正成熟的主要是線性系統(tǒng)理論，但系統(tǒng)科學重點研究非線性系統(tǒng)。1.1 線性動態(tài)系統(tǒng)用線性數(shù)學模型描述的系統(tǒng)，線性系統(tǒng)的基本特征是滿足疊加原理。滿足疊加原理是線性操作區(qū)別于非線性操作的基本標志。所謂疊加原理指加和性（和的函數(shù)等于函數(shù)的和）和齊次性（常數(shù)項直接提取到函數(shù)外）。例，判

2、斷與是否屬于線性操作。線性連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型為線性常微分方程，即 矩陣形式：據(jù)的取值隨時間的變化情況，分為常系數(shù)方程、變系數(shù)方程，本章討論常系數(shù)方程。1.2 非線性動態(tài)方程如果函數(shù)關系不滿足疊加原理，則稱函數(shù)是非線性函數(shù)。線性函數(shù)本質上只有一種，即： 不同線性函數(shù)只是比例系數(shù)不同，經過平移（？）旋轉等數(shù)學變換，可以完全重合。而非線性函數(shù)關系有無窮多種定性性質不同的可能形態(tài)，例拋物線、指數(shù)、對數(shù)或三角函數(shù)，不可能由一種或幾種形式經過簡單變換產生出來。非線性的這種特點是現(xiàn)實系統(tǒng)無限多樣性、差異性和復雜性的主要根源。非線性連續(xù)系統(tǒng)的動力學方程一般形式如下： 矩陣形式：中至少應有一個為非線性。稱為

3、狀態(tài)變量，稱為控制參量。動力學方程是動力學中的術語，在系統(tǒng)科學中，通常稱為演化方程。據(jù)演化方程對系統(tǒng)分類，系統(tǒng)分為線性與非線性、自由與強迫系統(tǒng)（是否包含外來作用，）、自治與非自治系統(tǒng)（是否明顯包含時間變量，）。非自治系統(tǒng)的兩個特例，一是變系數(shù)系統(tǒng)，二是強迫系統(tǒng)。強迫系統(tǒng)、非自治系統(tǒng)分別可以轉化自由系統(tǒng)、自治系統(tǒng)，所以為本章主要討論自由、自治系統(tǒng)。有了演化方程，有三種方法研究非線性系統(tǒng)的行為特性： 解析方法一般地，解析求解不可能，只在某些特殊情形下才可以。例具有適當形式時，用分離變量法獲得解析方程。 幾何方法分析系統(tǒng)的定性性質，從方程結構和參數(shù)中直接提取系統(tǒng)的定性信息。 數(shù)值計算方法使用計算機進

4、行數(shù)值計算，求得方程的近似解。例，有關混沌動力學的幾個重大發(fā)現(xiàn)，都是通過計算機實驗得到的。3）系統(tǒng)科學是關于非線性的科學，但線性系統(tǒng)理論仍是系統(tǒng)科學中不可忽視的內容？這不僅因為線性理論的成熟和體系化，還在于線性理論是非線性理論必要的基礎性知識準備，例構造非線性方程的解往往要利用線性方程的解，并且非線性可做到線性化處理： 非線性因素微弱，允許忽略不計，演化方程近似滿足疊加原理； 非線性系統(tǒng)的局部線性化處理，關心系統(tǒng)的局部性質，非線性模型又滿足連續(xù)性和光滑性要求。線性化的實質是忽略非線性因素，而非線性因素正是系統(tǒng)產生多樣性、奇異性和復雜性的根源，線性化所“化”掉的恰好是這種根源。2軌道、暫態(tài)、定態(tài)

5、線性動態(tài)系統(tǒng)只要求出方程的解析解，從給定的初始條件出發(fā)，既可預見系統(tǒng)的一切未來狀態(tài)，也能回溯過去的所有狀態(tài)，達到對系統(tǒng)行為特性的全面而定量的把握。但非線性動力學方程能夠獲得解析解的情形極少，求解析解不是處理非線性系統(tǒng)的普適方法，對于一般非線性系統(tǒng)，可行的方法是定性描述，即在狀態(tài)空間和參量空間中用幾何方法等定性手段來研究。2.1 狀態(tài)空間、參量空間由系統(tǒng)所有狀態(tài)構成的集合，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間又稱相空間。設系統(tǒng)有個獨立狀態(tài)變量，記做，以狀態(tài)變量為軸支撐起來的幾何空間，就是系統(tǒng)的狀態(tài)空間，每一組具體的數(shù)值代表系統(tǒng)的一個具體狀態(tài)或相，是狀態(tài)空間的維數(shù)，可以取任何正整數(shù)，例，其狀態(tài)空間可以畫出來，4維以

6、上的屬于抽象空間，是決定系統(tǒng)行為特性的重要參數(shù)。狀態(tài)空間是在控制參量（常數(shù)項）給定的條件下建立的，但控制參量也是可變的。以控制參量為軸構造的維空間稱為參量空間。參量空間的每個點都對應一個確定的系統(tǒng)，所以在參量空間研究的是演化方程結構相同的無窮多系統(tǒng)構成的系統(tǒng)族，例或。2.2 軌道演化方程的每個解代表狀態(tài)空間的一個點集合，稱為一條相軌道。狀態(tài)在相空間沿軌道運動可以形象地比喻為物理空間的水流，一個解就是一個流。演化方程的解無窮多，空間的軌道亦無窮多。狀態(tài)空間不是分別研究每個軌道，而是考察全部可能軌道及其分布，從而達到整體把握系統(tǒng)的動態(tài)特性。2.3 暫態(tài)、定態(tài)狀態(tài)空間包含系統(tǒng)的所有可能狀態(tài)，有關系統(tǒng)

7、動態(tài)特性的所有信息都蘊藏于其中，如何提取這些信息，雖然狀態(tài)空間有無窮多個狀態(tài)，但在系統(tǒng)學意義上可以劃分為很少的幾類，它們顯示不同性質，代表系統(tǒng)不同動力學行為特性，所以在狀態(tài)空間研究系統(tǒng)歸結為劃分不同類型的狀態(tài)，動態(tài)系統(tǒng)有兩類可能的狀態(tài)。 暫態(tài)系統(tǒng)在某個時刻可能到達但不借助外力就不能保持或不能回歸的狀態(tài)； 定態(tài)系統(tǒng)到達后若無外部作用驅使將保持不變的狀態(tài)。狀態(tài)空間幾乎全是由暫態(tài)點填充的，定態(tài)只是其中極其微小的一部分，例：圖3-1 圖31 系統(tǒng)定態(tài)直觀例子系統(tǒng)的定性性質是由定態(tài)決定的，不同的定態(tài)代表不同的定性性質。暫態(tài)只是系統(tǒng)為了確立某種定性性質所必須的量的積累。相變：系統(tǒng)從一種定態(tài)到其它定態(tài)的變化

8、反映的是系統(tǒng)從一種定性性質向另一種定性性質的轉變。動態(tài)系統(tǒng)有以下幾種定態(tài)： 平衡態(tài)在數(shù)學上用不動點來刻劃，所有狀態(tài)變量的導數(shù)都為0，狀態(tài)不再發(fā)生變化，表明系統(tǒng)處于平衡運動，即 周期態(tài)設是演化方程的一個解，滿足條件，為常數(shù)，則稱是演化方程的一個以為周期的周期解。周期解由相空間的一條閉曲線表示，代表系統(tǒng)的一條周期軌道，數(shù)學上稱為極限環(huán)，圖3-2、圖3-3分別表示平面極限環(huán)、空間極限環(huán)，特點是當無窮大時附近的相軌道以該閉合曲線為極限。 圖3-2 平面極限圖 圖3-3 空間極限圖 擬周期態(tài)由多個不同周期且周期比為無理數(shù)的周期運動疊加在一起形成的復雜運動形式。 混沌態(tài) 復雜有序運動體制（確定性方程描述的

9、非線性動態(tài)系統(tǒng)的一種尚未認識的定態(tài)）。定態(tài)與狀態(tài)維數(shù)有密切關系。表1 定態(tài)與狀態(tài)維數(shù)的關系維數(shù)1維2維3維狀態(tài)空間直線或直線段平面復雜定態(tài)平衡態(tài)平衡、周期態(tài)四種定態(tài)2.4 初態(tài)、終態(tài)初態(tài)：起始時刻的系統(tǒng)狀態(tài)稱為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。終態(tài)：當時間趨于無窮大時系統(tǒng)的極限狀態(tài)，即系統(tǒng)終了時刻到達的狀態(tài)。研究動態(tài)系統(tǒng)，主要關注的是系統(tǒng)的終態(tài)。3穩(wěn)定性系統(tǒng)不可避免地承受來自環(huán)境和系統(tǒng)自身的各種擾動，擾動會使系統(tǒng)的結構、狀態(tài)、行為有所偏離，小擾動引起的是否為小偏離，出現(xiàn)偏離后系統(tǒng)能否恢復原樣，就是穩(wěn)定性研究要回答的基本問題。系統(tǒng)是穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性的統(tǒng)一？一個系統(tǒng)的狀態(tài)空間如果沒有任何穩(wěn)定定態(tài)，必定是物理上不可實

10、現(xiàn)的，系統(tǒng)理論無需討論它。從應用角度看，一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)無法正常運行，無法實現(xiàn)其功能目標。因而是沒有用的。從演化角度看，如果一個系統(tǒng)的所有狀態(tài)在所有條件下都是穩(wěn)定的，它就沒有變化、發(fā)展、創(chuàng)新的可能。只有原來的狀態(tài)、結構、行為模式在一定條件下失去穩(wěn)定性，系統(tǒng)才有可能向新的結構、狀態(tài)、行為模式演化，即系統(tǒng)有發(fā)展創(chuàng)新的可能，不穩(wěn)定性在系統(tǒng)演化理論中具有非常積極的建設性作用。例，基因的復制與突變是穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性的統(tǒng)一。所有生命的遺傳因子都儲存在細胞核中的DNA上，人類的遺傳因子儲存在一條長長的由個堿基對組成的信息磁帶上。在每次細胞分裂期間，所有這些堿基對必須精確復制并傳遞到下一個細胞時代中。難以想象

11、這項如此復雜、看上去似乎不可完成的精確工作是如何完成的。而突變的產生是輕而易舉的。產生突變的內因是細胞分裂過程中有限的復制精度，產生突變的外因也廣泛存在，例，高能輻射、紫外線照射、化學制品作用。然而，生命卻依然故我地穩(wěn)定存在。生命之穩(wěn)定全因DNA不斷地得到修復。遺傳信息同時儲存在兩條核酸鏈上，當突變在其中一條鏈上出現(xiàn)的時候，一支“修理隊”立即趕赴現(xiàn)場，并識別出異常所在，這支“修理隊”不是一虛構事物，修復酶不停地沿著DNA雙鏈巡邏，檢查雙螺旋是否仍井然有序。堿基對的每個差錯都被雙鏈幾何構型的改變所顯示，“修理隊”一下子就能將它識別出來，并替換有毛病的部位。在人類的基因組中，個堿基對每年只有15對

12、發(fā)生置換，這是一件難以想象的精確工作，精度達到。突變率之低是由于選擇機制的作用。選擇機制濾出合適的突變體，并拋棄不合適的個體。進化就是這樣一個從大量突變獲得的可能性中不斷進行濾除的過程，這個濾除過程把某些有利的性狀成功選擇出來，這將有利于提高該個體在一個特定的自然生態(tài)位置生存的機會。動態(tài)系統(tǒng)理論的穩(wěn)定性研究圍繞狀態(tài)及由狀態(tài)構成的軌道這兩個概念進行。暫態(tài)軌道的穩(wěn)定性可以歸結為定態(tài)軌道的穩(wěn)定性問題，一個定態(tài)軌道的穩(wěn)定性判定后，它周圍的暫態(tài)軌道的穩(wěn)定性也確定了。3.1 定態(tài)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性：系統(tǒng)行為在受到擾動后能否消除偏離的問題。一個定態(tài)是否穩(wěn)定可以通過它周圍的所有軌道的終態(tài)走向來判別。2維系統(tǒng)不動點

13、（導數(shù)為0）的穩(wěn)定性分下列4種類型： 焦點型不動點周圍布滿螺旋形的相軌道。穩(wěn)定的焦點軌道：螺旋式地向不動點收縮，隨時間的無限延伸，演化方程衰減為0，如： 圖3-4 穩(wěn)定的焦點型不動點不穩(wěn)定的焦點軌道：螺旋式地遠離不動點，隨時間的無限延伸，演化方程向無窮發(fā)散，如： 圖3-5 不穩(wěn)定的焦點型不動點 結點型不動點在正規(guī)情形下，周圍布滿非螺旋軌道，相軌道是指向不動點的直線，如圖3-6和圖3-7： 圖3-6 穩(wěn)定的結點型不動點 圖3-7 不穩(wěn)定的結點型不動點非正規(guī)情形，如圖3-8： 圖3-8 非正規(guī)穩(wěn)定結點型不動點 中心點型不動點不動點周圍布滿周期不同的閉合軌道，如圖3-9所示，中心點是穩(wěn)定的。 鞍點型

14、不動點相軌道從相反方向向不動點收斂，又從不動點沿相反方向向外發(fā)散，每條相軌道先向鞍點靠近，后又遠離鞍點而去，故鞍點在整體上是不穩(wěn)定的。如圖3-10所示。 圖3-9 穩(wěn)定的中心點型不動點 圖3-10 不穩(wěn)定的鞍點型不動點極限環(huán)或周期軌道的穩(wěn)定性，可分為3種情形：穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的、單側穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖3-11、3-12、3-13： 圖3-11 穩(wěn)定的極限環(huán) 圖3-12 不穩(wěn)定的極限環(huán) 圖3-13 單測穩(wěn)定的極限環(huán)3.2 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性系統(tǒng)的演化方程存在一般解法，可以直接分析方程解來確定系統(tǒng)穩(wěn)定與否。例，設初態(tài)，則解為，由值判斷發(fā)散（不穩(wěn)定）或收斂（穩(wěn)定）。3.3 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與線性系

15、統(tǒng)不同，非線性系統(tǒng)由某個解的穩(wěn)定與否一般不能判定其它解的穩(wěn)定與否，例，如圖3-14：圖3-14 圖形同一系統(tǒng)既有穩(wěn)定定態(tài)，又有不穩(wěn)定定態(tài)，所以非線性系統(tǒng)只能討論某個解的穩(wěn)定與否，不能一般地討論系統(tǒng)的穩(wěn)定與否。4吸引子與目的性4.1 吸引子相空間中滿足以下3個條件的點集合（可能包含1個點或有限個點或無限多個點）稱為動態(tài)系統(tǒng)的吸引子。 終極性吸引子代表系統(tǒng)演化行為要達到的終極狀態(tài)，處于非吸引子態(tài)的系統(tǒng)“不安于現(xiàn)狀”，力求離之遠去；處于吸引子態(tài)的系統(tǒng)“安于現(xiàn)狀”，不再具有力圖改變這種狀態(tài)的動力。 穩(wěn)定性吸引子態(tài)是系統(tǒng)自身質的規(guī)定性的體現(xiàn)，具有抵制干擾，保持自身特性的能力。 吸引性作為吸引子態(tài)的狀態(tài)集

16、合對于周圍的其它狀態(tài)或軌道具有吸引性，只要系統(tǒng)尚未到達吸引子態(tài)，現(xiàn)實狀態(tài)與吸引子態(tài)之間必定存在非零的、指向吸引子的牽引力，牽引著系統(tǒng)向吸引子態(tài)運動。由知，吸引子只能是定態(tài)，一切暫態(tài)被排除在外；由知，吸引子只能是穩(wěn)定定態(tài)，一切不穩(wěn)定的定態(tài)都不可能成為吸引子；由知，穩(wěn)定而無吸引性的定態(tài)被排除于吸引子的候選，具有吸引性是目的態(tài)的根本要素，沒有吸引性的狀態(tài)不能成為系統(tǒng)演化所追求的目標。作業(yè)1：穩(wěn)定性與吸引性是否一致？試舉例說明。常見的吸引子： 焦點和結點，代表系統(tǒng)的平衡運動； 極限環(huán)，代表系統(tǒng)的周期運動； 環(huán)面，代表擬周期運動； 奇怪吸引子，代表系統(tǒng)的混沌運動。 鞍點，非吸引子？不穩(wěn)定。目的性是系統(tǒng)的

17、一種動力學特性，凡存在吸引子的系統(tǒng)，均為有目的的系統(tǒng)；凡是有目的的系統(tǒng)，也是存在吸引子的系統(tǒng)。一切存在吸引子的系統(tǒng)，在演化過程中均表現(xiàn)出“不達目的不罷休”的行為特征。系統(tǒng)的目的態(tài)不是單純由系統(tǒng)自身決定，還同環(huán)境緊密相關。每個穩(wěn)定定態(tài)都是系統(tǒng)與環(huán)境相互作用而達成的均衡狀態(tài)，環(huán)境改變了，原有的均衡打破了，系統(tǒng)就要相應地調整目的態(tài)，以求與環(huán)境達成新的平衡。例，“好漢不吃眼前虧”、“三十六計走為上策”，“水的沸點是”對或錯？排斥子：相空間還存在一類特殊的點或點集合，它們對于周圍的任何軌道都是排斥的，從附近任何點開始的軌道隨著時間的展開將離開該點或點集合而遠去。不穩(wěn)定焦點、結點、極限環(huán)及環(huán)面都是排斥子。

18、排斥子又稱為源，吸引子又稱為匯，一切有意義的相軌道都是從源流向匯。4.2 吸引域每個吸引子在相空間都在自己的周圍劃分出一定的“勢力范圍”，凡是以那個范圍內的點為初態(tài)而開始的軌道都趨向于該吸引子。相空間中這樣的點集合，稱為吸引子的吸引域。相空間的吸引子與吸引域的關系類似于真實空間的江、湖與它們流域的關系，流域內的雨水總是流向域內的江、湖。4.3 相圖 在狀態(tài)空間用定性方法研究系統(tǒng)，目的不在于刻劃每一條具體軌道，而在于刻劃一切可能的軌道集合，弄清軌道的類型和分布，做到整體地把握動態(tài)系統(tǒng)的運動規(guī)律和特性。對于的系統(tǒng)，相圖是一個得力工具。相圖：取定控制參量的一組數(shù)值，在相空間用幾何圖形直觀地表示出系統(tǒng)

19、所有的可能定態(tài)，表明定態(tài)的類型、個數(shù)、分布以及每個定態(tài)周圍軌道特性和走向，這種圖形稱為系統(tǒng)的相圖。表2列出了線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)相圖的特點。表2 線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)相圖的區(qū)別相圖線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)定態(tài)平衡態(tài)各種定態(tài)的組合不動點各種類型不動點并存不動點或極限環(huán)吸引子至多可能有一個吸引子多個吸引子并存吸引域整個相空間都是吸引域若干個吸引域作業(yè)：2 分析多個定態(tài)的2維非線性系統(tǒng)的相圖，例圖3-15、圖3-16。 圖3-15 2維非線性系統(tǒng)的相圖 圖3-16 2維非線性系統(tǒng)的相圖3 概括線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)相圖的特點。同一系統(tǒng)中并存的不同吸引子之間存在競爭關系，初態(tài)落在哪個吸引域，系統(tǒng)就以那個吸引子

20、為目的態(tài)而運行演化。5周期運動 振蕩：系統(tǒng)狀態(tài)在不斷作時起時伏、或升或降的運動，這種現(xiàn)象稱振蕩。例，鐘表（利用物理單擺原理制成的）。 根據(jù)周期運動的成因（是否有周期性強迫作用），振蕩分為他激振蕩（系統(tǒng)在外部作用下的周期運動）和自激振蕩（由于系統(tǒng)內部非線性相互作用而出現(xiàn)周期運動，）。6分岔 前面都是在給定控制參量條件下在相空間研究系統(tǒng)的轉移，現(xiàn)在討論在參量空間中系統(tǒng)的行為特性如何隨控制參量的改變而變化。6.1 分岔 在參量空間中，控制參量改變引起動態(tài)系統(tǒng)定性性質的改變。例，圖一承載重物的鋼條。 定性性質的改變，包括： 定態(tài)的創(chuàng)生（從無到有）和消失（從有到無）。 穩(wěn)定性的改變原本穩(wěn)定的定態(tài)失去穩(wěn)定

21、性，或原本不穩(wěn)定的定態(tài)變?yōu)榉€(wěn)定的。 原穩(wěn)定定態(tài)失穩(wěn)，出現(xiàn)一個或幾個新的穩(wěn)定定態(tài)，但新、舊定態(tài)屬于同一類。 從一類定態(tài)經分岔出現(xiàn)不同類型的定態(tài)，即定態(tài)類型的改變。 相空間中定態(tài)分布的改變，即定態(tài)分布的改變。和是平庸的分岔，線性系統(tǒng)也可能出現(xiàn)，其余幾條屬于系統(tǒng)的非平庸性質，只能出現(xiàn)于非線性系統(tǒng)中。6.2 結構穩(wěn)定性 狀態(tài)空間是在給定控制參量的前提下建立的，研究的是給定控制參量的特定系統(tǒng)在相空間的狀態(tài)轉移。參量空間研究具有相同數(shù)學結構的演化方程描述的系統(tǒng)族，而不是單個系統(tǒng)，更不是系統(tǒng)的某條軌道。控制參量的變化不改變系統(tǒng)演化方程的數(shù)學結構，但可能改變系統(tǒng)的相圖結構，這涉及系統(tǒng)結構穩(wěn)定問題。結構穩(wěn)定：給

22、定參量空間的一點，即給定一個系統(tǒng)及其相圖結構，改變控制參量（可以看作對其擾動），考察它所引起的系統(tǒng)相圖變化。如果系統(tǒng)相圖只有量的變化，即控制參量的小擾動不會引起系統(tǒng)相圖定性特征的變化，就說系統(tǒng)是結構穩(wěn)定的；如果控制參量的小擾動引起系統(tǒng)相圖發(fā)生定性性質的改變，就說系統(tǒng)是結構不穩(wěn)定的。區(qū)分運動穩(wěn)定與結構穩(wěn)定，第一運動穩(wěn)定是在狀態(tài)空間中研究系統(tǒng)的特性，反映的是系統(tǒng)的運動或行為具有穩(wěn)定性；結構穩(wěn)定是在參量空間研究系統(tǒng)的特性，反映的是系統(tǒng)動力學規(guī)律的穩(wěn)定性。第二，結構穩(wěn)定性不是指系統(tǒng)組分之間的關聯(lián)方式的穩(wěn)定性，而是指系統(tǒng)相圖結構的穩(wěn)定性。但兩者有內在聯(lián)系，如果系統(tǒng)在參量空間表現(xiàn)出相圖的穩(wěn)定性，系統(tǒng)組分之

23、間的關聯(lián)方式即結構也是穩(wěn)定的；反之，如果相圖結構發(fā)生定性性質變化，組分之間關聯(lián)方式必定出現(xiàn)定性性質的變化。7突變 在系統(tǒng)演化中，分岔總是伴隨著突變現(xiàn)象，即系統(tǒng)定性性質的突然改變，分岔和突變是對同一動力學現(xiàn)象從不同角度的解釋。突變是非線性系統(tǒng)的通有行為，只要滿足一定條件，突變就會由系統(tǒng)的內在因素產生出來。突變有兩種含義：一是強調變化發(fā)生的瞬時性、驟然性，指的是在可以忽略的時間間隔內完成的變化。例，英語學習中某些動詞無進行時，die；二是突變論講的突變，指的是非常劇烈的變化。 正確認識突變，傳統(tǒng)觀點把突變視為災難性現(xiàn)象，力求避免系統(tǒng)出現(xiàn)突變，例，工程實踐中的突變多是災難性的，如橋梁突然斷裂、鍋爐突

24、然爆炸。但從系統(tǒng)演化觀點看，突變往往具有非常積極的作用。例，基因突變是生物得以生存的手段，幫助系統(tǒng)脫離通常的特征狀態(tài)。只有基因突變，物種才有可能進化。8連續(xù)混沌 當研究對象是1維或2維非線性動態(tài)系統(tǒng)時，不論控制參量如何改變，系統(tǒng)經過分岔、突變所出現(xiàn)的新運動定態(tài)只能是平衡態(tài)或周期態(tài)，即簡單有序運動。對于3維以上的系統(tǒng)，如果在參量空間中按照適當方式改變控制參量，系統(tǒng)經過一系列分岔、突變，所有可能出現(xiàn)的平衡態(tài)、周期態(tài)、擬周期態(tài)都會失去穩(wěn)定性，這時就會出現(xiàn)一種表現(xiàn)極其混亂、無序、極不規(guī)則、異常復雜的運動形式。100多年來，科學家雖在不同場合下碰到過這類現(xiàn)象，但都沒有意識到它代表一種新的運動定態(tài)，未加研

25、究。直到20世紀60年代以來才發(fā)現(xiàn)，這種異常復雜的、表現(xiàn)上極其混亂無規(guī)的運動，是確定性方程描述的非線性動態(tài)系統(tǒng)一種尚未認識的定態(tài)，一種叫做混沌的復雜有序運動體制。線性系統(tǒng)不可能出現(xiàn)混沌，混沌運動是非線性系統(tǒng)特有的現(xiàn)象（但并非所有非線性系統(tǒng)都會出現(xiàn)混沌）。課本上介紹了連續(xù)系統(tǒng)混沌運動的幾個著名例子。8.1 洛倫茨方程蝴蝶力量（微妙影響的鑒識） 洛倫茨是一位氣象學家，也被尊為混沌理論的締造者之一。當時，洛倫茨正在檢驗一個簡單的氣象預測模型，這一模型匯總了風速、氣壓、溫度3種數(shù)據(jù)，并將其輸入3個相互耦合（聯(lián)系）的方程中，計算時把1個方程的計算結果作為其它方程的輸入數(shù)據(jù)代入計算，如此反復，經過了冗長的

26、計算之后，需要對結果進行復核。由于當時尚不具備高速計算機，他決定走捷徑，只保留小數(shù)點后3位而不是原先的6位有效數(shù)字。他知道，這樣做將產生的誤差，并預計在其氣象預測結果中和原來的計算將有同等小的差異。然而，令他大為震驚的是，新的天氣預測和原先保留小數(shù)點后6位有效數(shù)字的結果幾乎沒有什么相似之處。他立刻意識到了問題的癥結所在：當計算機反饋出每一步的結果并作為源數(shù)據(jù)重新輸入（即迭代）時，兩組數(shù)據(jù)開始時的細微差別被迅速放大為巨大的差異（0乘以無窮大不同于無窮小乘以無窮大？），這一推論使洛倫茨成為混沌理論的締造者之一。課本式描述了洛倫茨的氣象預測模型，該系統(tǒng)是非線性的，這種系統(tǒng)的特征在于，微小的影響例如初

27、始數(shù)據(jù)的細微誤差，會突然膨脹并改變系統(tǒng)的狀態(tài)。圖描述了式三維空間圖形。傳統(tǒng)科學理論所描述的線性系統(tǒng)卻不然，微小的影響只會導致緩慢的變化，就像逐漸地踩油門，汽車會緩慢加速一樣微小影響產生微小變化。當然，你也可以猛踩油門，汽車向前猛沖而去，你被突然彈回座位。這里線性變化已讓位于非線性變化。熟悉的日常生活中的混沌。8.2 河流在眾多混沌系統(tǒng)中是個較好的例子炎炎夏日，河水緩緩流淌，水面平靜而安寧。遇到大石塊，河水分流而行。但要是在春天，特別是大雨過后，河水便完全異樣。這時有部分河水比周圍的河水流得稍微快一點，于是帶動那部分水流，而后者則反過來牽制流得快的水。河水的每一部分對其他部分都有影響，影響又被反

28、饋回來。于是湍流產生了不同的區(qū)域以不同的速度運動，成為典型的混沌運動。有時急流剛碰上大石塊就打了個轉，倒流回去，于是在石塊后面形成一個高度穩(wěn)定的渦旋。在這個例子中我們可以找到混沌的全部特征。它的行為高度復雜化，包括了無規(guī)、不可預測的水流，還有穩(wěn)定的渦旋。8.3 電氣化高速公路上行駛的汽車 在電氣化的高速公路上，行駛的汽車互相影響，使得交通時而擁擠阻塞，時而暢通無阻，汽車則停停走走。盡管從個別的汽車來看，路況的變化毫無規(guī)律可言，但是若從空中俯視，我們卻能看出其中的微妙模式混沌內部的隱秩序。8.4 無力者的力量 50年代的南方，種族歧視依然較嚴重，當時在美國阿拉巴馬州的蒙哥馬利，帕克斯是當?shù)厝珖?/p>

29、色人種協(xié)進會的秘書，她曾多次爭取選舉權。非裔美國人幾乎不可能參加選舉。帕克斯是本故事的主人公。1955年12月1日，結束了一天的繁重工作后，帕克斯坐上了一輛當?shù)氐墓财?。當司機要求她把座位讓給一個白人時，她拒絕了。就在那一天，帕克斯并未意識到她正在發(fā)起一場革命。當時真理就在她的身邊，她努力工作，一身疲憊，她和那個白人一樣有權擁有那個座位，但是那個人卻要她讓座。結果，帕克斯擁有的真理斬斷了聯(lián)系當?shù)胤N族歧視體系的紐帶。她個人抗議的小小影響出乎意料地迅速得到其他人的放大。蒙哥馬利的居民震驚了。城內的非裔美國人開始了歷史上381天的聯(lián)合拒乘城市公交車的行動他們步入了光榮的精靈們的神殿。他們步行上班，

30、合用汽車，在白人勢力的壓力下保持冷靜。這一運動基于這樣的一種共識：如果黑人公民想改變種族歧視體系的極限環(huán)，他們就不能孤立于白人社團之外，從帕克斯尋求真理開始，這一運動逐漸發(fā)揚光大。白人們開始注意到并參與反對非正義的交通種族隔離制。1956年，美國最高法院宣布種族隔離制違反憲法。帕克斯的故事說明，因尋求真理而產生的微妙影響力有時候會造成戲劇性和不可想象的結果。蝴蝶力量使不可能成為可能。帕克斯也許永遠不會想到自己的小小舉動會成為改變種族歧視體系頑固勢力的關鍵動力。然而，她自身的真實行為是一個觸發(fā)器、導火索，使得許多普通人為追求當時的真理而采取行動，改變整個民族的意識。所謂不可能的事，孩子們天生就會做。后來