概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第二章3講2

1、第四節(jié),連續(xù)型隨機(jī)變量,連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間, 對(duì)這種類(lèi)型的隨機(jī)變量, 不能象離散型隨機(jī)變量那樣, 以指定它取每個(gè)值概率的方式, 去給出其概率分布, 而是通過(guò)給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.,下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.,1. 連續(xù)型r.v及其密度函數(shù)的定義,定義：若對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)實(shí)函數(shù)f(x),使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)（Probability Density Function）。,1 o,2 o,這兩條性質(zhì)是判定一個(gè) 函數(shù) f(x)是否為某r.vX的 概率密度函數(shù)的充

2、要條件.,故 X的密度 f(x) 在 x 這一點(diǎn)的值，恰好是 X落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度 之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x)相當(dāng)于線密度.,3. 對(duì) f(x)的進(jìn)一步理解:,要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點(diǎn)處a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，這個(gè)高度越大，則X取a附近的值的概率就越大. 也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.,若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：,它表示隨機(jī)變量 X 取值于 的概率近似等于 .,連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.,即：,a為任一指定值,這是因?yàn)?需要指出的是:,由此得，,1) 對(duì)連續(xù)型 r.v X,有,2) 由P(

3、X=a)=0 可推知,而 X=a 并非不可能事件,并非必然事件,稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.,可見(jiàn)，,由P(A)=0, 不能推出,由P(B)=1, 不能推出 B=S,解,例1,3、連續(xù)型 r.v的分布函數(shù),即分布函數(shù)是密度函數(shù)的可變上限的 定積分.,由上式可得，在 f (x)的連續(xù)點(diǎn)，,下面我們來(lái)求一個(gè)連續(xù)型 r.v 的分布函數(shù).,F(x) = P(X x) =,解：,求 F(x).,解： 對(duì)x -1，F(xiàn)(x) = 0,對(duì),對(duì) x1， F (x) = 1,即,大家一起來(lái)作下面的練習(xí).,求 F(x).,設(shè),由于f(x)是分段 表達(dá)的，求F(x)時(shí) 注意分段求.,對(duì)連續(xù)型r.v，若已知

4、F(x)，我們通過(guò)求導(dǎo)也可求出 f (x)，請(qǐng)看下例.,即,例3 設(shè)r.vX的分布函數(shù)為,(1) 求X取值在區(qū)間 (0.3,0.7)的概率； (2) 求X的概率密度.,解: (1) P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3),=0.72-0.32=0.4,(2) f(x)=,注意到F(x)在1處導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)改變被積函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，可以在 沒(méi)意義的點(diǎn)處，任意規(guī)定 的值.,下面給出幾個(gè)常用連續(xù)型r.v的例子.,（1）若 r.vX的概率密度為：,則稱X服從區(qū)間( a, b)上的均勻分布，記作：,X U(a, b),它的實(shí)際背景是： r.v X 取值在區(qū)間 (a, b

5、) 上，并且取值在(a, b)中任意小區(qū)間 內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比. 則 X 具有(a,b)上的均勻分布.,分布函數(shù),公交線路上兩輛公共汽車(chē)前后通過(guò)某汽車(chē)停車(chē)站的時(shí)間，即乘客的候車(chē)時(shí)間等.,均勻分布常見(jiàn)于下列情形：,如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五 入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；,例4 某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車(chē)，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時(shí)刻 有汽車(chē)到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機(jī)變量, 試求他候車(chē) 時(shí)間少于5 分鐘的概率.,解：,依題意， X U ( 0, 30 ),以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位,

6、為使候車(chē)時(shí)間X少于 5 分鐘，乘客必須在 7:10 到 7:15 之間，或在7:25 到 7:30 之間到達(dá)車(chē)站.,所求概率為：,從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車(chē)，即 7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)汽車(chē)站，,即乘客候車(chē)時(shí)間少于5 分鐘的概率是1/3.,例5 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 2, 5 上服從均勻分布, 現(xiàn) 對(duì) X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè) ,試求至少有兩次觀測(cè)值 大于3 的概率.,X 的分布密度函數(shù)為,設(shè) A 表示“ X 的觀測(cè)值大于 3”,解,即 A= X 3 .,因而有,設(shè)Y 表示3次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù),則,區(qū)間( 0, 1)上的均勻分布U(0,1)在計(jì)算機(jī)模擬中起著重要

7、的作用.,實(shí)用中，用計(jì)算機(jī)程序可以在短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生大量服從 ( 0, 1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù). 它是由一種迭代過(guò)程產(chǎn)生的.,嚴(yán)格地說(shuō)，計(jì)算機(jī)中產(chǎn)生的U (0,1) 隨機(jī)數(shù)并非完全隨機(jī)，但很接近隨機(jī)，故常稱為偽隨機(jī)數(shù).,如取n足夠大，獨(dú)立產(chǎn)生n個(gè)U(0,1)隨機(jī)數(shù)，則從用這 n 個(gè)數(shù)字畫(huà)出的頻率直方圖就可看出，它很接近于( 0, 1)上的均勻分布U(0,1).,2. 指數(shù)分布,某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無(wú)線電元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、動(dòng)物的壽命等都服從指數(shù)分布.,應(yīng)用與背景,分布函數(shù),例6 設(shè)某類(lèi)日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為 =2000的指數(shù)分布(單位:小時(shí)). (1)任取一

8、只這種燈管, 求能正常使用1000小時(shí)以 上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時(shí)以 上,求還能使用1000小時(shí)以上的概率.,X 的分布函數(shù)為,解,指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無(wú)記憶性”.,至此，我們已初步介紹了兩類(lèi)重要的隨機(jī)變量: 離散型r.v和連續(xù)型r.v,對(duì)它們分別用概率函數(shù)和密度函數(shù)描述.,下節(jié)課我們學(xué)習(xí)最重要的連續(xù)型隨機(jī)變量： 正態(tài)分布.,作業(yè),由上述可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我 們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問(wèn)題沒(méi)有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問(wèn)題,例 2,某電子元件的壽命 X（單位：小時(shí)）是以,為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量求 5 個(gè)同類(lèi)型的元 件在使用的

9、前 150 小時(shí)內(nèi)恰有 2 個(gè)需要更換的概率.,解： 設(shè) A= 某元件在使用的前 150 小時(shí)內(nèi)需要更換,例 2（續(xù)）,檢驗(yàn) 5 個(gè)元件的使用壽命可以看作是在做一個(gè)5重Bernoulli試驗(yàn) 設(shè) Y 表示5 個(gè)元件中使用壽命不超過(guò)150小時(shí) 的元 件數(shù)，,故所求概率為,四色猜想,四色猜想是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一(另外兩個(gè)是費(fèi)馬定理和哥德巴赫猜想)。 1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯格思里(Francis Guthrie)來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色。”,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，即“將平面任意地細(xì)分

10、為不相重迭的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字之一來(lái)標(biāo)記，而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字。” 這是一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)問(wèn)題 。,1852年10月23日，他的弟弟就這個(gè)問(wèn)題的證明請(qǐng)教他的老師、著名數(shù)學(xué)家德摩爾根，摩爾根也沒(méi)有能找到解決這個(gè)問(wèn)題的途徑，于是寫(xiě)信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家哈密爾頓請(qǐng)教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對(duì)四色問(wèn)題進(jìn)行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問(wèn)題也沒(méi)有能夠解決。 1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。,1878年肯普和泰勒宣布證明了此定理，11年后，即1890年，數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。后來(lái)，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家雖然對(duì)此絞盡腦汁，但一無(wú)所獲。于是，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題