20XX年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

1、【20XX年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題】20XX年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分1. 設(shè)a , b 為不相等的實(shí)數(shù)，若二次函數(shù)f =x 2+ax +b 滿足f =f ，則f 的值為2. 若實(shí)數(shù)滿足cos =tan ，則1+cos 4的值為sin 3. 已知復(fù)數(shù)數(shù)列z n 滿足z 1=1, z n +1=z n +1+ni ，其中i 為虛數(shù)單位，z n 表示z n 的共軛復(fù)數(shù)，則z 20XX的值為4. 在矩形ABCD 中，AB =2, AD =1, 邊DC 上的動(dòng)點(diǎn)P 與CB 延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)Q 滿足DP =BQ , 則向量PA 與向量PQ 的數(shù)量積PA

2、PQ 的最小值為5. 在正方體中隨機(jī)取3條棱，它們兩兩異面的概率為6. 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點(diǎn)集K = 0所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積為7. 設(shè)為正實(shí)數(shù)，若存在a , b ，若a b , b d ，則稱abcd 為P 類數(shù)，若 a c , c二、解答題：本大題共3小題，滿分56分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟9. 若實(shí)數(shù)a , b , c 滿足2a +4b =2c ,4a +2b =4c ，求c 的最小值.10. 設(shè)a 1, a 2, a 3, a 4是4個(gè)有理數(shù)，使得a a i j 311ix 211. 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，F(xiàn) 1, F 2分別是橢圓+y 2=1的左、右焦

3、點(diǎn)，2設(shè)不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F 1的直線l 與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A , B ，焦點(diǎn)F 2到直線l 的距離為d ，如果直線AF 1, l , BF 1的斜率依次成等差數(shù)列，求d 的取值范圍.一、設(shè)a 1, a 2, , a n 是實(shí)數(shù)，證明：可以選取1, 2, , n 1, -1，使n n n 2得 a i + i a i a i . i =1i =1i =1二、設(shè)S =A 1, A 2, , A n ，其中A 1, A 2, , A n 是n 個(gè)互不相同的有限集合，滿足對(duì)任意的A i , A j S ，均有A i A j S ，若k =min A i 2. 證明：存在x A i ，1i n i =1n 22使得x 屬于A 1, A 2, , A n 中的至少n 個(gè)集合. k 上一點(diǎn)，點(diǎn)K 在線段AP 上，使得三、如圖，ABC 內(nèi)接于圓O ，P 為BCBK 平分ABC ，過(guò)K , P , C 三點(diǎn)的圓與邊AC 交于D ，連接BD 交圓于點(diǎn)E ，連接PE 并延長(zhǎng)與邊AB 交于點(diǎn)F . 證明