貴州省北京師范大學貴陽附中2021-2021學年高一數學上學期期中試題（含解析）

1、北師大貴陽附中20212021學年第一學期期中考試高一數學第I卷一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則集合真子集的個數為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由題可得,結合可求出集合,進而可求出集合真子集的個數.【詳解】由題意,解得,又因為,所以或,故,則集合的真子集的個數為.故選:C.【點睛】集合有個元素,其子集有個,真子集有個.2.下列四個函數中，在區(qū)間上單調遞增的函數是 （）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【詳解】分別畫出各個函數的圖象,由單調函數圖象特征可知,選項B正確.

2、故選B.A B. C. D.本題主要考查函數的單調性的判斷和證明,增函數的圖象特征,屬于基礎題3.已知，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令，則，所以，故選B.4.已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據的定義域求出的定義域，再根據的定義域求出的定義域【詳解】解：函數的定義域為，即，即的定義域為，解得，故選C【點睛】本題考查了函數的定義域的求法，是基礎題5.定義在上的奇函數滿足，且當時，則（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】由等式可得函數的周期，得到，再由奇函數的性質得，根據解析式求出，從而得到

3、的值.【詳解】因為，所以的周期，所以，故選D.【點睛】由等式得函數的周期，其理由是：為函數自變量的一個取值，為函數自變量的另一個取值，這兩個自變量的差始終為4，函數值始終相等，所以函數的周期為4.6.函數的單調遞增區(qū)間為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出定義域,再利用同增異減以及二次函數的圖像判斷單調區(qū)間即可.【詳解】令,得f(x)的定義域為,根據復合函數的單調性規(guī)律,即求函數在上的減區(qū)間,根據二次函數的圖象可知為函數的減區(qū)間.故選B【點睛】本題主要考查對數函數的定義域以及復合函數的單調區(qū)間等,屬于基礎題型.7.函數的大致圖象是（ ）A. B. C. D. 【答案】

4、A【解析】函數 ，可得 ， 是奇函數，其圖象關于原點對稱，排除C，D；當時， ，令 得：，得出函數在上是增函數，排除B，故選A.點睛：在解決函數圖象問題時，主要根據函數單調性、奇偶性作出判斷.本題首先根據，得出是奇函數，其圖象關于原點對稱.再利用導數研究函數的單調性，從而得出正確選項8.已知冪函數，若，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判斷函數的單調性,然后利用單調性可得到關于的不等式,求解即可.【詳解】冪函數的定義域為,且是定義域上的減函數,因為,所以,解得.故選:D.【點睛】本題考查冪函數的單調性的應用,考查了不等式的解法,考查了學生的計算求解能力,屬

5、于基礎題.9.三個數的大小順序是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由指數函數和對數函數的圖象與性質得，即可求解【詳解】由指數函數和對數函數的圖象與性質可知：，所以，故選D【點睛】本題主要考查了指數函數與對數函數的圖象與性質的應用，其中解答中熟記指數函數與對數函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題10.已知是上的減函數，那么的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用分段函數在上為遞減函數,列式解不等式組可得.【詳解】因為是上的減函數,所以,即,解得,故選C.【點睛】本題考查了分段函數的單調性,屬于中檔題.第II卷二、

6、填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分）11.集合x|x1用區(qū)間表示為 【答案】【解析】試題分析：集合x|x1表示小于等于1的實數，用區(qū)間表示為考點：集合的表示法12.設：是集合到集合的映射，若，則_【答案】或【解析】【分析】結合映射的概念,先求出集合中可能有的元素,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意得,或,解得或.若,則,若,則.即或.故答案為:或.【點睛】本題考查了映射概念的應用,考查了集合的交集的運算,考查了學生的推理能力,屬于基礎題.13.函數f(x)loga(x2)必過定點_【答案】(3，0)【解析】【分析】利用函數圖像的變換分析得解.【詳解】由題意得，函數ylogax恒過點(

7、1，0)，函數ylogax向右平移2個單位，可得yloga(x2)的圖象，所以函數yloga(x2)圖象必經過定點(3，0)故答案為(3，0)【點睛】本題主要考查對數函數圖像的定點問題和圖像的變換，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.14.已知函數，則的解析式為_.【答案】【解析】【分析】利用換元法求解析式即可【詳解】令，則 故故答案為【點睛】本題考查函數解析式的求法，換元法是常見方法，注意新元的范圍是易錯點15.已知函數若方程恰有三個不同的實數解.，則的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】通過作出函數圖像，將三個實數解問題轉化為三個交點問題，可得m的取值范圍，于是再解出c的取

8、值范圍可得最后結果.【詳解】作出函數圖像，由圖可知，恰有三個不同的實數解，于是，而，解得，故，所以的取值范圍是.【點睛】本題主要考查函數圖像的運用，分段函數的交點問題，意在考查學生的轉化能力，圖像識別能力，對學生的數形結合思想要求較高.三、解答題（本大題共5小題，共40分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.計算下列各式：（1）若，求的值；（2）【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）先求出,再結合,代入原式可求出答案;（2）結合對數的運算性質,化簡即可.【詳解】（1）因為,所以,又,則.（2）.【點睛】本題考查了對數的運算性質,考查了有理數的指數冪的化簡求值,考查了學生的計算求

9、解能力,屬于基礎題.17.已知全集，集合，（1）求；（2）若，求實數的取值范圍【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）分別求出集合與,然后將和集合取交集即可;（2）先求出,再由,可分和兩種情況討論,可求出的取值范圍.【詳解】（1）由題意,解得,即集合,則或,又,所以;（2）,若,則,解得;若,則,解得.故的取值范圍是或.【點睛】本題考查了集合間的交集、并集和補集的運算,考查了不等式的解法,考查了集合間的包含關系,考查了學生的運算求解能力,屬于中檔題.18.近年來，霧霾日趨嚴重，霧霾的工作、生活受到了嚴重的影響，如何改善空氣質量已成為當今的熱點問題，某空氣凈化器制造廠，決定投入生產某型號的

10、空氣凈化器，根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統(tǒng)計規(guī)律，每生產該型號空氣凈化器（百臺），其總成本為（萬元），其中固定成本為12萬元，并且每生產1百臺的生產成本為10萬元（總成本=固定成本+生產成本），銷售收入（萬元）滿足，假定該產品銷售平衡（即生產的產品都能賣掉），根據上述統(tǒng)計規(guī)律，請完成下列問題：（1）求利潤函數的解析式（利潤=銷售收入-總成本）；（2）工廠生產多少百臺產品時，可使利潤最多？【答案】（） ;（）12 .【解析】試題分析：（1）先求得，再由，由分段函數式可得所求；（2）分別求出各段的最大值，注意運用一次函數和二次函數的單調性求最值法，然后比較兩個最值即可得到結果.試題

11、解析：（1）由題意得 . （2）當時， 函數遞減，萬元 當時，函數當時，有最大值60萬元 所以當工廠生產12百臺時，可使利潤最大為60萬元 . 【方法點睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力、分段函數的解析式，屬于難題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.理解本題題意的關鍵是構造分段函數，構造分段函數時，做到分段合理、不重不漏，分段函數的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).19.已知函數（1）探究的單調性，并證明你的結論；（2）求滿足的的范圍

12、【答案】（1）函數是上的增函數,證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）函數是上的增函數,用定義法證明單調性即可;（2）由函數的單調性,并結合,可得到關于的不等式,求解即可.【詳解】（1）函數是上的增函數.證明:函數的定義域為,任取,且,則,因為,所以,又,故,即,所以函數是上的增函數.（2）函數是上的增函數,又,所以,解得.故滿足不等式的的范圍是.【點睛】本題考查了函數單調性的證明,考查了函數單調性的應用,考查了學生的推理能力,屬于中檔題.20.已知函數（1）若函數的圖象與直線沒有交點，求的取值范圍；（2）設，若函數與的圖象有且只有一個公共點，求實數的取值范圍【答案】（1）；（2）或【解析】

13、【分析】（1）函數沒有交點,即方程沒有解,可得到方程無解,構造函數,求其值域,進而可求出的取值范圍;（2）兩函數只有一個公共點,即方程只有一個解,結合對數的運算性質及二次函數的性質,分類討論可求出的取值范圍.詳解】（1）由題意,方程無解,即方程無解,令,則函數與的圖象無交點.,令,因為,所以,因為函數是上的增函數,所以的值域是,即函數的值域為.故只需,可使函數與的圖象無交點.即的取值范圍是.（2）由題意,方程只有一個解,即方程為,則方程只有一個解,令,則,整理得,該方程有且僅有一個正解.當時,則,解得,不符合題意,舍去;當時,則為開口向上的二次函數,當時,顯然,二次函數存在唯一正零點,即方程有且僅有一個正解,符合題意;當