第四講___數(shù)字特征與極限定理文檔

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2、性化服務(wù)！讓您最便捷的在最短時間內(nèi)得到對您最有價值考試信息！堅(jiān)持每日更新!第四講 數(shù)字特征與極限定理考試要求1理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念, 會運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì), 并掌握常用分布的數(shù)字特征.2會根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；會根據(jù)隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.3了解切比雪夫不等式.4了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律（獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的大數(shù)定律）5了解棣莫弗拉普拉斯定理（二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布）和列維林德伯格定理（獨(dú)立同分布的中心極限定理）；（經(jīng)濟(jì)類還要求）會用相關(guān)定理近似計算有關(guān)隨機(jī)事件的概

3、率一、 數(shù)學(xué)期望與方差（標(biāo)準(zhǔn)差）1. 定義（計算公式）離散型 , 連續(xù)型 , 方差：標(biāo)準(zhǔn)差：,2. 期望的性質(zhì)：1 2 3 4 3. 方差的性質(zhì)：1 2 3 4 一般有 5, 【例1】設(shè)試驗(yàn)成功的概率為, 失敗的概率為, 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到成功兩次為止. 試求試驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.【例2】 n 片鑰匙中只有一片能打開房門, 現(xiàn)從中任取一片去試開房門, 直到打開為止. 試在下列兩種情況下分別求試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差:（1）試開過的鑰匙即被除去; （2）試開過的鑰匙重新放回.【例3】 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 對X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次, 用Y表示觀察值大于的次數(shù), 求的數(shù)學(xué)期望.【例4】 設(shè)有20人在

4、某11層樓的底層乘電梯上樓, 電梯在中途只下不上, 每個乘客在哪一層（2-11層）下是等可能的, 且乘客之間相互獨(dú)立, 試求電梯須停次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.二、隨機(jī)變量函數(shù)的期望（或方差）1、一維的情形 離散型： ， 連續(xù)型： 2、二維的情形 離散型, 連續(xù)型, 【例5】 設(shè)X與Y獨(dú)立且均服從N （0，1），求Z 的數(shù)學(xué)期望與方差.【例6】設(shè)兩個隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且均服從N （0，）, 試求ZXY的數(shù)學(xué)期望與方差. 三 、協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)與隨機(jī)變量的矩 1、重要公式與概念：協(xié)方差 相關(guān)系數(shù) 2、性質(zhì)：1 2 3 4 5 3、下面5個條件互為充要條件：（1）（2）（3）（4）（5）【例7】設(shè)為獨(dú)立同

5、分布的隨機(jī)變量, 且均服從, 記, 求: （I） 的方差；（II） 與的協(xié)方差;（III） 四、極限定理1. 切比雪夫不等式2. 大數(shù)定律 3. Poisson定理4. 中心極限定理列維林德伯格定理: 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，Xn，相互獨(dú)立同分布, 且 ， 則對任意正數(shù)x，有 棣莫弗拉普拉斯定理: 設(shè)（即X1，X2，Xn，相互獨(dú)立, 同服從0一1分布） 則有 .【例8】 銀行為支付某日即將到期的債券須準(zhǔn)備一筆現(xiàn)金，已知這批債券共發(fā)放了500張，每張須付本息1000元，設(shè)持券人（1人1券）到期到銀行領(lǐng)取本息的概率為0.4.問銀行于該日應(yīng)準(zhǔn)備多少現(xiàn)金才能以99.9%的把握滿足客戶的兌換.【分析】 若

6、X為該日到銀行領(lǐng)取本息的總?cè)藬?shù)，則所需現(xiàn)金為1000X，設(shè)銀行該日應(yīng)準(zhǔn)備現(xiàn)金x元.為使銀行能以99.9%的把握滿足客戶的兌換，則 P（1000Xx）0.999.【詳解】 設(shè)X為該日到銀行領(lǐng)取本息的總?cè)藬?shù)，則XB（500，0.4）所需支付現(xiàn)金為1000X，為使銀行能以99.9%的把握滿足客戶的兌換，設(shè)銀行該日應(yīng)準(zhǔn)備現(xiàn)金x元，則 P（1000 Xx）0.999.由棣莫弗拉普拉斯中心極限定理知：即 得 x 233958.798.因此銀行于該日應(yīng)準(zhǔn)備234000元現(xiàn)金才能以99.9%的把握滿足客戶的兌換.聲明：本資料由 考試吧（E） 收集整理，轉(zhuǎn)載請注明出自 服務(wù)：面向校園，提供計算機(jī)等級考試，計算機(jī)軟件水平考試,英語四六級，研究生考試 等校園相關(guān)考試信息。 特色：提供歷年試題，模擬試題，模擬盤，教程，專業(yè)課試題 下載等。資料豐富，更新快！ 考試交流論壇：/考試吧(E)-第一個極力推崇人性