高等數(shù)學公式+知識點

1、僅含高數(shù)公式（不含線性代數(shù)和概率統(tǒng)計）高等數(shù)學公式全導數(shù)公式：基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：一些初等函數(shù)： 兩個重要極限：三角函數(shù)公式：誘導公式： 函數(shù)角Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ctg360+sincostgctg和差角公式： 和差化積公式：倍角公式：半角公式：正弦定理： 余弦定理： 反三角函數(shù)性質：高階導數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）

2、公式：中值定理與導數(shù)應用：曲率：定積分的近似計算：定積分應用相關公式：空間解析幾何和向量代數(shù)：多元函數(shù)微分法及應用微分法在幾何上的應用：方向導數(shù)與梯度：多元函數(shù)的極值及其求法：重積分及其應用：柱面坐標和球面坐標：曲線積分：曲面積分：高斯公式：斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關系：常數(shù)項級數(shù)：級數(shù)審斂法：絕對收斂與條件收斂：冪級數(shù)：函數(shù)展開成冪級數(shù)：一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：歐拉公式：三角級數(shù)：傅立葉級數(shù)：周期為的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：微分方程的相關概念：一階線性微分方程：全微分方程：二階微分方程：二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*)式的通解兩個不相等實根兩個相等實根一對共軛復根二階常系數(shù)非齊

3、次線性微分方程高等數(shù)學知識點一.函數(shù)的概念1用變上、下限積分表示的函數(shù)考研數(shù)學知識點-高等數(shù)學公式 1xlimsin= 1x0x（1）y = 0xf( )dt ，其中f ( )連續(xù)，則dy=f ( ) + 1 nu + 1 ( )dx公 式2 lim1n=n e；lim 1u=u e ；y = 12( )( )（2）fdt ，其中 1( ) ，2( ) 可導，f ( )1( + v)v= elim 1連續(xù)，v0則dydx=f2( )2( )f 1( )1( )4用無窮小重要性質和等價無窮小代換5用泰勒公式（比用等價無窮小更深刻）（數(shù)學一和2兩個無窮小的比較設 lim f ( ) = 0 ， l

4、im g( ) = 0 ，且 limf ( )數(shù)學二）x2xn( )g( )=l當x 0 時，ex= 1 + x + +2!n!0（1） l = 0 ，稱 f ( ) 是比 g( ) 高階的無窮小，記以35( ) ( ) x2n+1+0( )n+1( )f=0g( )，稱 g( ) 是比f ( ) 低階的無窮sin x = x x+x+ +3!5!242n +1 !( ) ( )x2n+0( )n小。（2） l 0 ，稱 f ( ) 與 g( ) 是同階無窮小。cos x1xx=+2!4!232n !nn( )()xx( )+x（3） l = 1 ，稱f ( ) 與 g( ) 是等價無窮小，記

5、以f ( ) g( )ln 1+ x= x +233511n+n+0xx( )n+1x21( )+13常見的等價無窮小arctan x = x +351n +21+ 0當 x 0 時( ) x ( ) 1=1+x+( ) 1 ( )1 xn( )sin x x ，tan x x ，arcsin x x ，arctan x x2!x2+!n+0121 cos x x，2(1 + x) 1 xex1 x，ln(1 + x) x，6洛必達法則0lim f ( ) = 0 ，lim g( ) = 0法則 1（0型）設（1）二求極限的方法1利用極限的四則運算和冪指數(shù)運算法則2兩個準則準則 1單調有界數(shù)列

6、極限一定存在（1）若 xn+1 xn（ n 為正整數(shù)）又 xn m （ n 為正整數(shù)），則 lim xn= A 存在，且 A m（2） x 變化過程中， f ( ) ， g( ) 皆存在f ( )（3） limg( )=A （或 ）f ( )則 limg( )=A （或 ）n（2）若 xn+1 xn（ n 為正整數(shù)）又 xn M （ n 為正（注：如果 limf ( )g ( )不存在且不是無窮大量情形，則整數(shù)），則limn=xnA 存在，且A M不能得出 limf( )不存在且不是無窮大量情形）準則 2（夾逼定理）設 g( ) f ( ) ( ) x若 lim g( ) = A ， lim

7、h( ) = A ，則 lim f ( ) = Ag ( )lim f ( ) = ，lim g( ) = 法則 2（型）設（1）3兩個重要公式1（2） x 變化過程中， f ( ) ， g( ) 皆存在Edited by 楊凱鈞 2005 年 10 月f ( )（3） limg( )=A （或 ）f ( )則 limg( )=A （或 ）7利用導數(shù)定義求極限考研數(shù)學知識點-高等數(shù)學值，如果對于區(qū)間 b 上的任一點 x ，總有f ( ) M ，則稱 M 為函數(shù) f ( ) 在 b上的最大值。同樣可以定義最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函數(shù) f ( ) 在閉區(qū)間 b上基本公式： limx0

8、存在(fx0+ x) ( ) x0x=f ( ) 如果連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對于介于 m和 M 之間的任何實數(shù) c ，在 b 上至少存在一個 ，使得8利用定積分定義求極限f ( ) = c基本公式lim1nn k f = n 1( )fdx 如果存在推論：如果函數(shù) f ( ) 在閉區(qū)間 b上連續(xù)，且 f ( )n=k1三函數(shù)的間斷點的分類函數(shù)的間斷點分為兩類：（1）第一類間斷點0與 f ( ) 異號，則在 ( )b內至少存在一個點 ，使得f ( ) = 0設 x0是函數(shù) y =f ( ) 的間斷點。如果 f ( ) 在間斷點x0處的左、右極限都存在，則稱 x0是 f

9、( ) 的第一類間斷點。第一類間斷點包括可去間斷點和跳躍間斷點。（2）第二類間斷點第一類間斷點以外的其他間斷點統(tǒng)稱為第二類間斷點。常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點。這個推論也稱為零點定理五導數(shù)與微分計算1導數(shù)與微分表( )=0d ( ) = 0( )1= x（ 實常數(shù)）d ( ) = x1dx（ 實常數(shù)）()d sin x = cos xdxsin x =cos x(cos x)= sin xd cos x = sin xdx()sec2四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質tan x =xtan= sec2dxxdx()= csc2cot= csc2在閉區(qū)間 b 上連續(xù)的函數(shù) f ( ) ，有以

10、下幾個基本cot x()xdxxdx性質。這些性質以后都要用到。sec x =sectanxxsec= sectandxxxdx定理 1（有界定理）如果函數(shù)f ( ) 在閉區(qū)間 b上()=csc= csccotcsc xcsccotxxdxxxdx連續(xù)，則 f ( ) 必在 b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f ( ) 在閉(logax)=1lnxadx(a 0, a 1)(a 0, a 1)區(qū)間 b 上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值 M 和log=dax( )x =1lnxad ln x =1dx最小值 m 。其中最大值 M 和最小值 m 的定義如下：定義設 f ( )

11、0= M 是區(qū)間 b上某點 x0處的函數(shù)2x( )=axln a (a 0, a 1)dax= axln adx (a 0, a 1)xEdited by 楊凱鈞 2005 年 10 月( )=exdex= exdx考研數(shù)學知識點-高等數(shù)學 ( )存在，且 ( ) 0 ，則()=1=1dy ( )( ( ) 0)arcsin x1x21d arcsin x1x21dxdx= ( )二階導數(shù)(arccos x)=1x2d arccos x = 1x2dx2d dy d dy ( ) ( ) ( ) ( )11dy=dx=dx1=(arctan x)=+1x2d arctan x =+1x2dxd

12、x2dxdtdx ( )3(arc cot x)1= +cot1dt(+1x2)=darcx = +1x21dx5反函數(shù)求導法則22ln x +xa+22xa設y =f ( ) 的 反 函 數(shù) x = g( ) ， 兩 者 皆 可 導 ， 且(+22)=1f ( ) 0d ln x +xa(+22xadx則g ( )1=1( f ( ) 0)22ln x +xa)=122xa=f( )f g ( )1()1( )d( )f 122d ln x +xa=22xadx二階導數(shù) g ( ) =dgydy=dxdy2四則運算法則dx f ( ) ( )x ( )g ( )=f = f ( )= fg(

13、 )( f ( ) 0) f ( ) ( )x =f ( ) ( ) ( ) ( )g x f ( )f( ) ( ) ( ) ( )g x f ( )3 f g ( )3g( ) =g2( )(g( ) 0)6隱函數(shù)運算法則設y = y( ) 是由方程 F ( ) y= 0 所確定，求 y 的方3復合函數(shù)運算法則設 y =f ( ) ，u = ( ) ，如果 ( ) 在 x 處可導，f ( )在對應點 u 處可導，則復合函數(shù) y =f ( )在 x 處可導，且有法如下：把 F ( ) y= 0 兩邊的各項對 x 求導，把 y 看作中間變量，用復合函數(shù)求導公式計算，然后再解出 y 的表達式（允

14、dydx=dy dudu dx=f ( ) ( )許出現(xiàn) y 變量）對應地dy =f ( )du =f ( ) ( )dx7對數(shù)求導法則先對所給函數(shù)式的兩邊取對數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導由于公式 dy =f ( )du 不管 u 是自變量或中間變量都成立。因此稱為一階微分形式不變性。4由參數(shù)方程確定函數(shù)的運算法則方法得出導數(shù) y 。對數(shù)求導法主要用于：冪指函數(shù)求導數(shù)多個函數(shù)連乘除或開方求導數(shù)x = ( )，( )y = y( ) ，其中 ( ) ，y = f ( )g( )常 用 的 一 種 方 法設y = 確定函數(shù)3關 于 冪 指 函 數(shù)Edited by 楊凱鈞 2005 年 10 月考研數(shù)學

15、知識點-高等數(shù)學y = eg( ) ln f ( )這樣就可以直接用復合函數(shù)運算法則進行。8可微與可導的關系f ( ) 在 x0處可微 f ( ) 在 x0處可導。9求 n 階導數(shù)（ n 2 ，正整數(shù)）（1）在閉區(qū)間 b 上連續(xù)；（2）在開區(qū)間 ( )b內可導；則存在 ( )b，使得f ( ) ( ) a先求出y, y , , 總結出規(guī)律性，然后寫出 y( )，最后ba=f( )用歸納法證明。或寫成 f ( ) ( )( )(b a)(b)有一些常用的初等函數(shù)的 n 階導數(shù)公式a=f a 0,a 1)( )ax( ) an(有 時 也 寫 成f (x 1)0+ x) ( )x0(=f x0+x

16、) x（2） y = axa（3） y = sin xy=y( )= sin + xn 0這里 x0相當 a 或 b 都可以， x 可正可負。2推論 1若 f ( ) 在( )b內可導，且 f ( ) 0 ，則 f ( )（4） y = cos x (5)y = ln xyy( )= cos + xn 2( )=( ) ( 1n1)!x n在 ( )b內為常數(shù)。推 論2 若f ( ) ， g( ) 在 ( )b內 皆 可 導 ， 且兩個函數(shù)乘積的 n 階導數(shù)有萊布尼茲公式( )g ( )nu( ) ( )( )= k=0kCnu( )( )v(nk) ( )f ，則在 ( )b內 f ( )

17、= g( ) + c ，其中 c 為一個常數(shù)。三柯西中值定理（數(shù)學四不要）其 中Ckn=(n!)，u( )( ) ( ) x，設函數(shù) f ( ) 和 g ( ) 滿足：v( )( ) ( ) xk! nk（1）在閉區(qū)間a,b 上皆連續(xù)；（2）在開區(qū)間 ( )b內皆可導；且 g( ) 0假設u( )和 v( ) 都是 n 階可導。微分中值定理則存在 ( )b使得一羅爾定理設函數(shù) f ( ) 滿足f( ) ( )a=f( )(a b)g( ) ( )ag ( )（1）在閉區(qū)間 b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間( )b內可導；（3） f ( ) =f ( )則存在 ( )b，使得 f ( ) = 0二拉格朗

18、日中值定理設函數(shù) f ( ) 滿足（注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形 g( ) = x 時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四泰勒定理（泰勒公式）（數(shù)學一和數(shù)學二）定理 1（皮亞諾余項的 n 階泰勒公式）設 f ( ) 在 x0處有 n 階導數(shù)，則有公式f ( ) =f ( )+f( )(0x x0) +f( )(0x x0)2+ +f( )( )(0x x0)n+ R( )01!2!nn4Edited by 楊凱鈞 2005 年 10 月(x x0)考研數(shù)學知識點-高等數(shù)學的一個極小值，稱 x0為函數(shù)f ( ) 的一個極小值點。其中 Rn( ) = 0(x x0)n(x

19、0)函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱極值。極大值點與極小值余項。x 稱為皮亞諾點統(tǒng)稱極值點。lim(Rn( )n= 0 2必要條件（可導情形）xx0xx0設函數(shù)f ( ) 在 x0處可導，且 x0為f ( ) 的一個極值前面求極限方法中用泰勒公式就是這種情形，根據(jù)不同 情 形 取 適 當 的n， 所 以 對 常 用 的 初 等 函 數(shù) 如(x)1 + x) （ 為實常數(shù)）等的 nex,sin x,cos x,ln 1 +和 (階泰勒公式都要熟記。定理 2（拉格朗日余項的 n 階泰勒公式）設 f ( ) 在包含 x0的區(qū)間 ( )b內有 n +1 階導數(shù)，在 b上有 n 階連續(xù)導數(shù)，則對 x b ，有公

20、式點，則f ( )= 0 。我們稱 x 滿足 f ( ) = 0 的 x0為 f ( ) 的駐點可導函數(shù)的極值點一定是駐點，反之不然。極值點只能是駐點或不可導點，所以只要從這兩種點中進一步去判斷。 3第一充分條件( ) ( )f( )( ) ( )( )+0x00xxfxxx+f( )( )( )x x0n+R ( )設 f ( ) 在 x0處連續(xù)，在 0 x x0 0 ，而在 (x0, x0+ ) 內的任一點 x 處，有f ( ) 0 ，則 f ( )0為極大值， x0為極大值點；2如果在 (0)x0 , x內的任一點 x 處，有n數(shù)，這在后面無窮級數(shù)中再討論。導數(shù)的應用：一基本知識f (

21、) 0 ，則 f ( )為極小值， x0為極小值點；1定義設函數(shù) f ( ) 在 ( )b內有定義， x0是 ( )b內的某一3如果在 (0)x0 , x內與 (x0, x0+ ) 內的任一點點，則如果點 x0存在一個鄰域，使得對此鄰域內的任一點x(x x0) ，總有 f ( ) f ( )0，則稱 f ( )0為函數(shù)f ( )5x 處， f ( ) 的符號相同，那么f ( )0不是極值， x0不是極值點。 4第二充分條件設函數(shù)f ( ) 在 x0處有二階導數(shù)，且f ( )0= 0 ，f ( ) 0 ，則當 f ( ) 0 時， f ( )為極小值， x0為極小值點。Edited by 楊凱鈞

22、 2005 年 10 月二函數(shù)的最大值和最小值考研數(shù)學知識點-高等數(shù)學y =f ( ) 在 ( )b內是凸的。 1求函數(shù) f ( ) 在 b 上的最大值和最小值的方法首 先 ， 求 出f ( ) 在( )b內 所 有 駐 點 和 不 可 導 點x1, , xk，其次計算 f ( ), , f ( ) ( ) ( )kfb。最后，比較 f ( ) , , f ( ) ( ) ( )kfb，其中最大者就是 f ( ) 在 b上的最大值 M ；其中最小者就是 f ( ) 在 b上的最小值 m 。2最大（小）值的應用問題求曲線 y =f ( ) 的拐點的方法步驟是：第一步：求出二階導數(shù)f ( ) ；第

23、二步：求出使二階導數(shù)等于零或二階導數(shù)不存在的點 x1、 x2、 xk；第三步：對于以上的連續(xù)點，檢驗各點兩邊二階導數(shù)的符號，如果符號不同，該點就是拐點的橫坐標；第四步：求出拐點的縱坐標。四漸近線的求法 1垂直漸近線首先要列出應用問題中的目標函數(shù)及其考慮的區(qū)間，然后再求出目標函數(shù)在區(qū)間內的最大（小）值。若xalim+f ( ) = 或xalimf( ) = 三凹凸性與拐點 1凹凸的定義則 x = a 為曲線 y =f ( ) 的一條垂直漸近線。2水平漸近線設 f ( ) 在區(qū)間 I 上連續(xù)，若對任意不同的兩點x1, x2，若 limf ( ) = b ，或 limf ( ) = b恒有 x1+

24、x1 x1+ x1x+則 y = b 是曲線3斜漸近線( )xy =f ( ) 的一條水平漸近線。f 2 f ( ) ( )1fx2f 2 0 ，則曲線y =f ( ) 在( )b內是凹的；的曲率半徑，在 M 點的法線上，凹向這一邊取一點 D ，使 MD = R ，則稱 D 為曲率中心，以 D 為圓心， R 為半徑的圓周稱為曲率圓。不定積分一基本積分公式x+1如果在( )b內的每一點 x ，恒有 f ( ) 0, a 1)（1） f (+)=(+) (+)ln a exdx = ex+ C 4 =+(a 0)axb dx1a)faxbaxb() ()cos xdxsin xC（2） f (+n

25、1=1+n+ 5 = +axnb xdx(a 0, n 0)nafaxnbaxbsin xdxcos xC1dxf ( ) ( ) ln x 6 sec2xdx = cos2dx = tanx+xC（3） f ( ) xx= 7csc2xdx=1dx= +cot xC1 dx= 11sin2x（4） ffd 8 tansecxxdx= sec+xC x x2 x x cotcsc= csc+（5） f( )dx=2 f ( ) ( )x 9 10xxdx tan xdx = ln cosxC+xC（6） f ( )xx=1( ) ( )x 11 cot xdx = ln sin+xC(a 0,

26、 a 1)adxln af( )( ) ( ) 12 13sec cscxdxxdx=+ln sec xtanln csc xcot+xC+xCfexdx =f)（7） f (sin xcos xdx= f(sinx) (sinx) 14 dx22= arcsinxa+ C(a 0)（8） f ()cos x sinxdx= f(cosx) (cosx)ax（9） f ()= () ()dx 15 +22ax=1 arctanaxa+C(a 0)tan x sec2（10） f ()xdxf= tan(xtan) (x)dx=1+ax+(a 0)cot xcsc2xdxfcotxcotx 16

27、 22ax2alnaxC)（11） f (sec x sectanxxdx= f(secx) (secx)dx= ln2+(a 0)（12） f ()csc xcsccotxxdx= f(cscx) (cscx) 1722xax +x2 aC（13） f (arcsin x)1 x2dx = f (arcsin x) (arcsin x)二換元積分法和分部積分法 1第一換元積分法（湊微分法）設 f ( )du = F ( ) + C ，又 ( ) 可導，則u( ) f ( )du令= （14） （15） f (arccos x)1 x2f (arctan x)1 + x2dx = f (arc

28、cos x) (arccos x)dx = f (arctan x) (arctan x) f ( ) ( )dx = f ( )d ( )(cot)farcxdx = () (cot)( )= F+C = F( )+ C（16）1 + x2farc cot xarcx這里要求讀者對常用的微分公式要“倒背如流”，也就7Edited by 楊凱鈞 2005 年 10 月1 考研數(shù)學知識點-高等數(shù)學( )(0)2 f arctanAl2xx然后再作下列三種三角替換之一：x = 1 （17）dxfarctan1d arctan（1 + x218x x ）根式的形式所作替換三角形示意圖（求反函數(shù)用）(

29、+22)( (ln()+fln xxa= +22+2222dxfln xxadxxaa2 x2x = a sin t（+xa(a 0) (+)19(d(ln()）)a2+ x2x = a tan t22f ln xxa= +2222+22xa(a 0)f ( )dxf ln xxaxxax2 a2x = a sec t（20） f ( )dx = ln f ( ) + C( f ( ) 0)3分部積分法 2第二換元積分法設 u( )， v( ) 均有連續(xù)的導數(shù)，則設x = ( )可導，且 ( ) 0，若 u( ) ( ) ( ) ( )v xv( ) ( ) f ( ) ( )dt = G(

30、) + C ，或 u( ) ( )=( ) ( ) u( ) ( )則dxudx( )x =( ) ( ) ( )( )G 1 ( )+ C使 用 分 部 積 分 法 時 被 積 函 數(shù) 中 誰 看 作 u( ) 誰 看 作 fdx令 f( )其中t = 1為=dtGx = ( )的反函數(shù)。+ C =v( ) 有一定規(guī)律。（1） Pn( )eax， Pn( )sin ax ， Pn( )cos ax 情形，第二換元積分法絕大多數(shù)用于根式的被積函數(shù)，通過換元把根式去掉，其常見的變量替換分為兩大類：+Pn( ) 為 n 次多項式， a 為常數(shù)，要進行 n 次分部積分法，第一類：被積函數(shù)是 x 與n

31、ax + b 或 x 與 naxb+cxd或每次均取 eax， sin ax ， cos ax 為 v( ) ；多項式部分為u( ) 。由 ex構成的代數(shù)式的根式，例如aex+ b 等。（2） Pn( )ln x ， Pn( )arcsin x ， Pn( )arctan x 情只要令根式 ng( ) = t ，解出 x = ( )已經不再有根式，那么就作這種變量替換 x = ( )即可。形 ， Pn( ) 為 n 次 多 項 式 取 Pn( ) 為 v( ) ， 而 ln x ，arcsin x ， arctan x 為 u( ) ，用分部積分法一次，被積函2+( 0)第二類：被積函數(shù)含有A

32、xBxCA，數(shù)的形式發(fā)生變化，再考慮其它方法。如果仍令Ax2+ Bx + C = t 解出 x = ( ) 仍是根號，那eaxsin bx ，eaxcos bx 情形，進行二次分部積分（3）么這樣變量替換不行，要作特殊處理，將 A 0 時先化為A(x x0)2 l2，A 0時，先化為8法后要移項，合并。（4）比較復雜的被積函數(shù)使用分部積分法，要用湊微Edited by 楊凱鈞 2005 年 10 月分法，使盡量多的因子和 dx 湊成一定積分的概念與性質1定積分的性質（1） af ( )dx = ab( )bfdx考研數(shù)學知識點-高等數(shù)學x b 稱為變上限積分的函數(shù)定理：（1）若 f ( ) 在

33、 b 上可積，則 F ( )在 b 上連續(xù)= axf( )dt（2） af ( )dx = 0（2）若 f ( ) 在 b上連續(xù)，則 F ( ) = axf( )dt 在（ba( )( )3b( )b( )） b 上可導，且 F ( ) = f ( )kf+ kf=+1122dxk1f1dxk2fdx( )a（4）bf ( )c( )ab( )a2推廣形式：設 F ( ) = 1( )( )2fdt ，1( ) ( ) x可導，a之外）dx = afdx +cfdx（ c 也可以在 bf ( ) 連續(xù)，（5）設 a b ， f ( ) ( ) x(a x b)，則則 F ( )=f2( )2( )f 1( )1 ( )b( )( )afdx bgdxa2牛頓一萊布尼茲公式（6）設 a b ， m f ( ) M(a x b)，則() bf ( )dx M (b a)m baa設 f ( ) 在 b 上可積，F(xiàn) ( ) 為 f ( ) 在 b 上任意一個原函數(shù)，則有 bf ( )dx = F ( )b= F( ) F( )b( )( )（7）設 a b ，則 afdx bfdxaaa（8）定積分中值定理設 f ( ) 在 b上連續(xù)，則存在 b，使bf( )dx = f (