理論力學(xué)第十二章壓桿穩(wěn)定

1、第十二章,壓桿穩(wěn)定,12,1,概述,一、引言,第二章中，軸向拉、壓桿的強(qiáng)度條件為,max,F,N,max,?,?,A,例如：一長(zhǎng)為,300,mm,的鋼板尺，橫截面尺寸為,20,mm,?,1,mm,.,鋼的許用應(yīng)力為,?,=196,MPa,.,按強(qiáng)度條件計(jì)算得鋼板尺所,能承受的軸向壓力為,F, =,A,?, = 3.92 kN,實(shí)際上，其承載能力并不取決軸向壓縮的抗壓強(qiáng)度，而是,與受壓時(shí)變彎有關(guān),.,當(dāng)加的軸向壓力達(dá)到,40N,時(shí)，,鋼板尺,就突然,發(fā)明顯的彎曲變形，喪失了承載能力,.,(a):,木桿的橫截面為矩形,（,1,?,2cm),高為,3cm,，,當(dāng)荷載重量為,6kN,時(shí)桿還不致破壞,。

2、,(b):,木桿的橫截面與,(a),相同，高為,1.4m(,細(xì)長(zhǎng)壓桿），當(dāng)壓力為,0.1KN,時(shí)桿被壓彎，導(dǎo)致破壞。,(a),和,(b),竟相差,60,倍，為什么？,細(xì)長(zhǎng)壓桿的破壞形式：突然產(chǎn)生顯著的彎,曲變形而使結(jié)構(gòu)喪失工件能力，并非因強(qiáng)度不,夠，而是由于壓桿不能保持原有直線平衡狀態(tài),所致。這種現(xiàn)象稱為穩(wěn)定性破壞。,(a),(b),強(qiáng)度,構(gòu)件的承載能力,剛度,穩(wěn)定性,工程中有些構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度、剛度，卻不一定能安,全可靠地工作,.,二、工程實(shí)例,翻斗車液壓桿,內(nèi)燃機(jī)、空氣壓縮機(jī)的連桿,高層建筑,高架鐵路橋,三、失穩(wěn)破壞案例,案例,1,上世紀(jì)初，享有盛譽(yù)的美國(guó)橋梁學(xué)家?guī)彀兀ㄔ谑趥愃?河上建

3、造魁比克大橋,1907,年,8,月,29,日，發(fā)生穩(wěn)定性破壞，,85,位工,人死亡，成為上世紀(jì)十大工程慘劇之一,.,案例,2 2000,年,10,月,25,日上午,10,時(shí)南,京電視臺(tái)演播中心由于腳手架失穩(wěn),造成屋頂模板倒塌，死,6,人，傷,34,人,.,研究壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題尤為重要,四、平衡的穩(wěn)定性,平衡物體在其原來(lái)平衡狀態(tài)下抵抗干擾的能力。,1,、小球平衡的三種狀態(tài),穩(wěn)定平衡,隨遇平衡,（,臨界狀態(tài),）,不穩(wěn)定平衡,穩(wěn)定平衡,不穩(wěn)定的平衡,臨界狀態(tài),2,、對(duì)于細(xì)長(zhǎng)壓桿：,（,1,）,當(dāng),F,小于某一臨界值,F,cr,，撤去橫向力后，桿的軸線,將恢復(fù)其原來(lái)的直線平衡狀態(tài)，壓桿在直線狀態(tài)下的平衡

4、,是,穩(wěn)定平衡,。,（,2,）當(dāng),F,增大到一定的臨界值,F,cr,，撤去橫向力后，桿的軸線,將保持微彎的平衡狀態(tài)，而不再恢復(fù)其原來(lái)的直線平衡狀態(tài)，,壓桿在原來(lái)直線形態(tài)下的平衡是,不穩(wěn)定平衡。,壓桿喪失其直線狀態(tài)下的平衡而過(guò)度為曲線平衡，稱為喪失,穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱,失穩(wěn),，也稱,屈曲,。,（,3,）當(dāng)軸向壓力超過(guò)臨界壓力時(shí)，壓桿將失穩(wěn)破壞。,受壓直桿平衡的三種形式,穩(wěn)定平衡,隨遇平衡,（,臨界狀態(tài),）,不穩(wěn)定平衡,結(jié),論,F,?,F,cr,F,?,F,cr,F,?,F,cr,穩(wěn)定平衡狀態(tài),臨界平衡狀態(tài),關(guān)鍵,確定壓桿的,臨界力,F,cr,不穩(wěn)定平衡狀態(tài),臨界狀態(tài),穩(wěn),對(duì)應(yīng)的,不,定,穩(wěn),平,過(guò),度,

5、定,衡,平,衡,壓力,臨界壓力,:,F,cr,其它構(gòu)件失穩(wěn),12,1,壓桿臨界荷載的歐拉公式,1,、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力,假定壓力以達(dá)到臨界值，桿已經(jīng)處于微彎狀態(tài)且服從虎克定律，,如圖，從撓曲線入手，求臨界力。,、,彎矩：,w,x,Fcr,Fcr,M,(,x,),?,?,F,cr,w,L,w,Fcr,M,Fcr,、,撓曲線近似微分方程：,EI,w,?,?,?,M,(,x,),w,x,?,?,F,cr,w,F,cr,w,?,?,?,w,?,0,EI,令,:,k,2,F,cr,?,EI,w,?,?,?,k,w,?,0,2,、,微分方程的解：,w,?,A,sin,kx,?,B,cos,kx,、,

6、確定微分方程常數(shù)：,w,(,0,),?,w,(,L,),?,0,sin,kL,?,0,.,(,w,?,sin,kx,),B,?,0,Kl,?,n,?,（,n=0,、,1,、,2,、,3,）,n,?,?,k,?,?,L,F,cr,EI,n,?,EI,F,cr,?,2,L,2,2,臨界力,F,c r,是微彎下的最小壓力，故，只能取,n=1,；且,桿將繞慣性矩最小的軸彎曲。,?,F,cr,?,?,EI,m,in,L,2,2,兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷,的計(jì)算公式：歐拉公式,撓曲線方程為,kl,?,時(shí)，,w,?,?,sinkx,?,A,g,sinkx,sin,kl,2,w,?,?,sin,x,l,撓曲

7、線為半波正弦曲線,.,當(dāng),2,其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力,其他約束類型：,兩端鉸支,一端自由，一端固定,一端鉸支，一端固定,兩端固定,兩端鉸支,F,cr,l,F,cr,?,?,EI,l,2,2,一端自由，一端固定,F,cr,l,2l,F,cr,?,?,EI,(,2,l,),2,2,兩端固定,F,cr,l/,4,l/,2,l,l,l/,4,2,F,cr,?,?,EI,(,l,/,2,),2,一端鉸支，一端固定,F,cr,0.7,l,l,0.3,l,?,EI,F,cr,?,2,(,0,.,7,l,),2,:,2,一端自由，一端固定,F,?,EI,一端鉸支，一端固定,cr,?,(,?,l,),

8、2,兩端固定,兩端鉸支,?,2.0,?,0.7,?,0.5,?,1.0,臨界載荷歐拉公式的一般形式,:,:,:,:,表,9-1,各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿,臨界力的歐拉公式,支承情況,兩端鉸支,一端固定，另一端鉸支,臨界力的歐拉公式,長(zhǎng)度系數(shù),?,EI,F,cr,?,2,(,0,.,7,l,),EI,F,cr,?,2,l,2,2,?,= 1,?,= 0.7,?,= 0.5,?,= 2,兩端固定,一端固定，另一端自由,2,EI,F,cr,?,(,0,.,5,l,),2,2,EI,F,cr,?,(,2,l,),2,綜上所述：其它桿端約束條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨,界壓力的一般形式,:,5.,討論,E

9、I,F,cr,?,2,(,?,l,),2,?,為長(zhǎng)度系數(shù),?,l,為相當(dāng)長(zhǎng)度,（,1,）相當(dāng)長(zhǎng)度,?,l,的物理意義,壓桿失穩(wěn)時(shí)，撓曲線上兩拐點(diǎn)間的長(zhǎng)度就是壓桿的相當(dāng)長(zhǎng),度,?,l,.,?,l,是各種支承條件下，細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)，撓曲線中相當(dāng)于,半波正弦曲線的一段長(zhǎng)度,.,（,2,）橫截面對(duì)某一形心主慣性軸的慣性矩,I,若桿端在各個(gè)方向的約束情況相同（如球形鉸等），則,I,應(yīng)取最小的形心主慣性矩,.,取,I,y,，,I,z,中小的一個(gè)計(jì)算臨界力,.,若桿端在各個(gè)方向的約束情況不同（如柱,形鉸），應(yīng)分別計(jì)算桿在不同方向失穩(wěn)時(shí)的臨,界壓力,.,I,為其相應(yīng)中性軸的慣性矩,.,即分別用,I,y,，,I

10、,z,計(jì)算出兩個(gè)臨界壓力,.,然,x,y,z,后取小的一個(gè)作為壓桿的臨界壓力,.,?,EI,m,in,中的,I,如何確定,？,歐拉臨界力公式,F,cr,?,min,2,(,?,l,),2,F,y,z,l,h,b,例,圖示各桿材料和截面均相同，試問(wèn)哪一根桿能承受,的壓力最大，,哪一根的最?。?P,P,a,3,.,1,a,(1),(2),?,l,),1,?,2,a,(,?,l,),2,?,1,.,3,a,(,?,l,),3,?,0,.,7,?,P,a,6,.,1,(3),（,1,）桿承受的壓力最小，最先失穩(wěn)；,（,3,）桿承受的壓力最大，最穩(wěn)定。,.,6,a,?,1,.,12,a,因?yàn)??,?,l

11、,?,1,?,?,?,l,?,2,?,?,?,l,?,3,又,2,F,cr,?,?,EI,?,?,l,?,2,可知,F,cr1,?,F,cr2,?,F,cr3,(,1,例：,圖示細(xì)長(zhǎng)圓截面連桿，長(zhǎng)度,l,?,800,mm,，直徑,d,?,20,mm,材,料為,Q235,鋼，,E,200GPa,.,試計(jì)算連桿的臨界載荷,F,cr,.,解,：,1,、細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷,?,EI,?,?,E,?,?,d,F,cr,?,2,2,l,l,3,9,2,B,A,l,4,F,cr,2,4,64,y,z,?,?,?,200,?,10,?,0,.,02,0,.,8,?,64,2,?,24,.,2,(,kN,),2

12、,、從強(qiáng)度分析,?,s,?,235,MPa,0,.,02,2,?,?,235,?,10,6,?,73,.,8,(,kN,),F,s,?,A,?,s,?,4,12-3,臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖,一、臨界應(yīng)力,1.,歐拉公式臨界應(yīng)力,壓桿受臨界力,F,cr,作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定平,衡時(shí)，橫截面上的壓應(yīng)力可按,?,=,F,/A,計(jì)算,.,按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面,上的應(yīng)力為,F,cr,EI,cr,?,?,2,A,(,?,l,),A,2,令,i,?,F,cr,EI,E,2,E,I,則,cr,?,?,?,2,2,?,i,?,2,A,(,?,l,),A,(,?,l,)

13、,(,?,l,/,i,),A,2,2,2,令,?,?,?,l,i,則,cr,?,E,2,?,2,F,cr,?,A,?,cr,i,為壓桿橫截面對(duì)中性軸的慣性半徑,.,?,稱為壓桿的柔度（長(zhǎng)細(xì)比），集中地反映了壓桿的長(zhǎng)度,l,和桿端約束條件、截面尺寸和形狀等因素對(duì)臨界應(yīng)力的影響,.,?,越大，相應(yīng)的,?,cr,越小，壓桿越容易失穩(wěn),.,若壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的支承約束條件不同，應(yīng)分別,計(jì)算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的柔度,?,，并按較大者計(jì)算壓桿的臨界應(yīng),力,?,cr,。,二、歐拉公式的適用范圍,?,?,?,p,?,?,cr,?,?,p,?,E,?,?,?,p,2,?,?,cr,?,E,?,2,?,?,p

14、,.,?,2,?,2,E,?,p,?,?,p,（細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界柔度）,?,?,?,p,，稱大柔度桿（細(xì)長(zhǎng)壓桿,）,歐拉公式的適用范圍,:,例：,Q235,鋼,，,E,?,200,GPa,?,p,?,200,MPa,.,2,3,?,E,?,200,?,10,?,p,?,?,?,p,200,2,?,99,.,35,?,100,1,、大柔度桿（細(xì)長(zhǎng)壓桿）采用歐拉公式計(jì)算。,2,2,?,EI,?,E,?,cr,?,2,?,?,?,p,(,?,?,?,p,),臨界壓力：,F,cr,?,2,臨界壓應(yīng)力：,(,?,l,),?,2,：中柔度桿（中長(zhǎng)壓桿）采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。,?,s,?,?,?,?,p,(,?,p

15、,?,?,?,?,s,),?,cr,?,a,?,b,?,a,b,是與材料性,能有關(guān)的常數(shù)。,直線型經(jīng)驗(yàn)公式,材料,硅鋼,a,?,?,s,?,s,?,b,?,p,a(MPa),b(MPa),577,3.74,?,s,60,100,鉻鉬鋼,直線公式適合合,金鋼、鋁合金、鑄,鐵與松木等中柔度,壓桿。,980,372,331.9,39.2,5.29,2.14,1.453,0.199,55,50,59,0,0,硬鋁,鑄鐵,松木,3,：小柔度桿（短粗壓桿）只需進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。,?,cr,?,?,s,F,N,?,?,?,?,?,?,A,?,?,?,s,(,?,?,?,s,),三、臨界應(yīng)力總圖,：,臨界應(yīng)力與柔

16、度之間的變化關(guān)系圖。,?,cr,?,S,?,P,?,cr,?,a,?,b,?,直線型經(jīng)驗(yàn)公式,?,E,?,cr,?,2,?,粗短桿,2,細(xì)長(zhǎng)壓桿。,中柔度桿,大柔度桿,o,?,s,?,P,?,?,?,l,i,粗短桿,中長(zhǎng)桿,細(xì)長(zhǎng)桿,細(xì)長(zhǎng)桿,發(fā)生彈性屈曲,(,?,p,),中長(zhǎng)桿,發(fā)生彈塑性屈曲,(,?,s,?,?,?,p,),粗短桿,不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服,(,?,?,s,),中柔度桿,拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式,四、注意問(wèn)題,1,、計(jì)算臨界力、臨界應(yīng)力時(shí)，先計(jì)算柔度，判斷所用公式。,2,、對(duì)局部面積有削弱的壓桿，計(jì)算臨界力、臨界應(yīng)力時(shí)，,?,2,cr,?,a,1,?,b,1,?,a,1,b,1,是與材料

17、性能有關(guān)的常數(shù)。,拋物線公式適合于結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等制做的,中柔度壓桿。,：,其截面面積和慣性距按未削弱的尺寸計(jì)算。,但進(jìn)行強(qiáng)度,計(jì)算時(shí)需按削弱后的尺寸計(jì)算。,例：,如圖所示圓截面壓桿，,E=210GPa,，,p=200MPa,，,s,=235MPa ,cr=310,-,1.12(MPa),1.,分析哪一根壓桿的臨界載荷,比較大；,2.,已知：,d,=160 mm,。,求：二桿的臨界載荷,解：,1,、判斷臨界荷載大小,?,=,?,l / i ,?,a,=,（,1,5,）,/,（,d/4,）,=,20,/d ,?,b,=,（,0.5,9,）,/,（,d/4,）,=,18,/d .,?,a,?,b

18、,F,cra,F,crb,9,m,2,、計(jì)算各桿臨界力的大小,?,2,E,?,2,210,?,10,3,?,P,?,?,?,101,?,P,200,310,?,235,?,s,?,?,61.6,1.12,?,a,=,20,/d,20/0.16=125,p,屬于細(xì)長(zhǎng)桿,?,b,=,18,/d,18/0.16=112.5p,，屬于細(xì)長(zhǎng)桿,?,EI,?,E,?,206,?,10,1,2,F,cra,?,?,2,A,?,?,?,160,?,2661(,kN,),2,2,(,?,L,),?,125,4,?,E,?,d,3.14,?,(206,?,10,),3.14,?,160,6,F,cr,?,?,cr

19、,A,?,2,?,?,?,?,3.21,?,10,N,2,?,4,112.5,4,2,2,2,3,2,2,2,2,3,12-4,壓桿穩(wěn)定計(jì)算與合理設(shè)計(jì),壓桿的穩(wěn)定計(jì)算通常采用,安全因數(shù)法,和,折減系數(shù)法,。穩(wěn)定性,校核和確定許可荷載用安全因數(shù)法比較方便，截面設(shè)計(jì)用折,減系數(shù)法比較方便,1,、安全系數(shù)法,:,F,cr,壓桿的臨界壓力,n,st,壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù),壓桿穩(wěn)定條件：,F,實(shí)際,工作壓力,F,cr,F,?,n,st,F,cr,n,?,?,n,st,F,n,工作安全因數(shù),n,st,規(guī)定安全因數(shù),穩(wěn)定計(jì)算步驟,（,1,）計(jì)算最大的柔度系數(shù),（,2,）根據(jù),（,3,）根據(jù)穩(wěn)定性條件，判斷壓桿

20、的穩(wěn)定性或確定許可載荷,?,max,；,?,max,選擇公式計(jì)算臨界應(yīng)力；,.,例題,9-4,：空壓機(jī)活塞桿由,45,制成。,?,s,350MPa,，,?,p,280MPa,，,E,210GPa,。,L,703mm,，,d,45mm,，,F,max,41.6kN,，規(guī)定安全系數(shù),n,st,8,10,。試校核其,穩(wěn)定性。,I,i,?,?,A,?,4,64,?,2,4,d,d,?,d,4,活塞桿兩端為鉸支，,?,1,。,a,?,?,s,461,?,350,?,E,?,?,43.2,?,P,?,?,86,?,s,?,b,2.568,?,p,?,l,703,?,?,?,?,62,.,5,45,i,4,

21、2,?,?,?,P,中柔度桿，所以用直線公式，,查表,a,461MPa,，,b,2.568MPa,。,?,cr,?,a,?,b,?,?,461,?,2,.,568,?,62,.,5,?,301,MPa,F,cr,?,A,?,cr,?,478,kN,F,cr,n,?,?,11.5,?,n,st,F,max,因此，穩(wěn)定符合要求,2,、折減系數(shù)法,:,?,?,F,A,?,?,?,cr,?,?,?,(,?,),?,?,?,.,?,許用應(yīng)力；,?,(,?,),?,1,?,?,cr,?,?,?,(,?,),?,?,?,.,材料有關(guān)。,此方法涉及規(guī)范較多，需查表。,折減系數(shù)，與壓桿的柔度和,例：,一等直壓桿

22、長(zhǎng),L=3.4 m,，,A=14.72 cm,2,，,I=79.95 cm,4,，,E=210 GPa,，,F=60 kN,，材料為,A3,鋼，兩端為鉸支座。,試進(jìn)行穩(wěn)定校核。,1,、,n,st=2,；,2,、,=140 MPa,解：,1,、安全系數(shù)法：,?,l,1,?,3.4,?,100,?,?,?,?,145.9,?,?,p,?,100,i,79.94,14.73,?,2,EI,?,2,E,?,2,210,?,10,3,2,F,cr,?,?,2,A,?,14,.,73,?,10,?,143,.,3,(,kN,),2,(,?,L,),?,145,.,9,F,cr,143.1,?,?,71.7

23、(,kN,),?,F,?,60,kN,n,st,2,2,、折減系數(shù)法,?,l,1,?,3,.,4,?,100,?,?,?,?,145,.,9,i,79,.,94,14,.,73,查表, =140,，,=0.349,；,=150,，,=0.306,。,0,.,349,?,0,.,306,?,?,145,.,9,?,?,?,0,.,349,?,?,5,.,9,?,0,.,33,10,F,60,?,10,?,?,?,?,40.7(,MPa,),2,A,14.73,?,10,?,?,?,?,?,0.33,?,140,?,46.2(,MPa,),3,?,?,?,?,?,?,例,：,圖示起重機(jī)，,AB,桿

24、為圓松木，長(zhǎng),L= 6,m,，,?, =11MPa,，直,徑為：,d = 0.3m,，試求此桿的許用壓力。（,xy,面兩端視為鉸,支；,xz,面一端視為固定，一端視為自由）,木桿,:,?,?,80,時(shí),?,?,3000,?,x,B,2,解：,折減系數(shù)法,1,、最大柔度,x,y,面內(nèi),，,?,z,=,1.0,y,F,1,F,2,A,y,o,z,x,W,1,?,6,?,4,?,z,?,?,?,80,i,0,.,3,z,y,面內(nèi),，,?,y,=,2.0,2,?,6,?,4,?,y,?,?,?,160,?,?,max,i,0,.,3,?,L,?,L,2,?,6,?,4,?,y,?,?,?,160,?,

25、?,max,i,0,.,3,?,L,2,、求折減系數(shù),查表：木桿,?,?,160,時(shí),?,?,0,.,1,1,7,3,、求許用壓力,?,?,cr,?,?,?,?,?,?,?,?,?,cr,?,?,1,.,287,2,(,MPa,),?,F,?,BC,?,A,BC,?,?,cr,?,?,?,?,300,4,?,1,.,287,?,91,(,kN,),例,一連桿尺寸如圖，材料為,A3,鋼，承受的軸向壓力,為,P=120KN,，取穩(wěn)定安全系數(shù),n,w,=2,，校核連桿的穩(wěn)定性。,在,xy,面內(nèi)失穩(wěn)連桿兩端為絞支，長(zhǎng)度,l,=940,。,在,xz,面內(nèi)失穩(wěn)近似兩端固定，長(zhǎng)度,l,1,=880,。,y,

26、z,x,h=60,解：,(1),求柔度,?,?,?,?,?,l,i,在,xy,面內(nèi)失穩(wěn)連桿兩端為絞支，,長(zhǎng)度,l,=940,。,bh,3,z,12,h,z,?,I,A,?,bh,?,2,3,?,1,.,732,cm,?,?,?,?,l,z,i,?,1,?,94,z,1,.,732,?,54,.,3,y,z,x,h=60,i,在,xz,面內(nèi)失穩(wěn)近似兩端固定，,長(zhǎng)度,l,1,=880,。,?,y,?,3,?,?,l,i,h=60,z,x,i,?,y,I,hb,y,A,?,12,?,b,?,0,.,722,cm,bh,2,3,?,?,y,?,?,l,i,y,0,.,5,?,88,?,?,61,?,?,z,?,54,.,3,0,.,722,桿在,xz,面內(nèi)先失穩(wěn)，應(yīng)用,?,y,計(jì)算臨界力。,（,2,）求臨界力，作穩(wěn)定校核,因?yàn)??,y,= 61 123,，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算,y,z,x,?,235,?,0