勾股定理的證明方法

1、勾股定理的證明方法勾股定理的證明【證法1】（課本的證明）做8個(gè)全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c,再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形。從圖上可以看到,這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a + b，所以面積相等. 即， 整理得 。【證法2】（鄒元治證明）以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于。 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使a、e、b三點(diǎn)在一條直線上,b、f、c三點(diǎn)在一條直線上，c、g、d三點(diǎn)在一條直線上. rthae rtebf， ahe = bef。 aeh + ahe = 90, aeh +

2、 bef = 90。 hef = 18090= 90。 四邊形efgh是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形。 它的面積等于c2. rtgdh rthae， hgd = eha。 hgd + ghd = 90, eha + ghd = 90。又 ghe = 90， dha = 90+ 90= 180。 abcd是一個(gè)邊長(zhǎng)為a + b的正方形，它的面積等于。 。 ?！咀C法3】（趙爽證明）以a、b 為直角邊（ba）, 以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀。 rtdah rtabe, hda = eab. had + had = 90， eab + ha

3、d = 90， abcd是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2. ef = fg =gh =he = ba ，hef = 90。 efgh是一個(gè)邊長(zhǎng)為ba的正方形，它的面積等于. . 。【證法4】（1876年美國(guó)總統(tǒng)garfield證明)以a、b 為直角邊,以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于。 把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀,使a、e、b三點(diǎn)在一條直線上。 rtead rtcbe, ade = bec. aed + ade = 90, aed + bec = 90. dec = 18090= 90。 dec是一個(gè)等腰直角三角形,它的面積等于。又 dae = 90

4、, ebc = 90, adbc。 abcd是一個(gè)直角梯形，它的面積等于. 。 ?！咀C法5】（梅文鼎證明)做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b ，斜邊長(zhǎng)為c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使d、e、f在一條直線上. 過c作ac的延長(zhǎng)線交df于點(diǎn)p. d、e、f在一條直線上, 且rtgef rtebd， egf = bed， egf + gef = 90， bed + gef = 90， beg =18090= 90。又 ab = be = eg = ga = c， abeg是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. abc + cbe = 90。 rtabc rtebd, abc = e

5、bd. ebd + cbe = 90。 即 cbd= 90。又 bde = 90,bcp = 90,bc = bd = a。 bdpc是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.同理，hpfg是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.設(shè)多邊形ghcbe的面積為s，則， 。【證法6】（項(xiàng)明達(dá)證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b(ba） ，斜邊長(zhǎng)為c。 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形。 把它們拼成如圖所示的多邊形,使e、a、c三點(diǎn)在一條直線上.過點(diǎn)q作qpbc，交ac于點(diǎn)p。 過點(diǎn)b作bmpq，垂足為m;再過點(diǎn)f作fnpq,垂足為n. bca = 90,qpbc, mpc = 90, bmpq， bmp = 90,

6、 bcpm是一個(gè)矩形，即mbc = 90. qbm + mba = qba = 90，abc + mba = mbc = 90, qbm = abc，又 bmp = 90，bca = 90，bq = ba = c， rtbmq rtbca。同理可證rtqnf rtaef。從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明).【證法7】（歐幾里得證明）做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形,把它們拼成如圖所示形狀，使h、c、b三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)bf、cd. 過c作clde，交ab于點(diǎn)m,交de于點(diǎn)l. af = ac,ab = ad，fab = gad， fab gad， fab的面積等于，gad的面積等于

7、矩形adlm的面積的一半, 矩形adlm的面積 =。同理可證,矩形mleb的面積 =。 正方形adeb的面積 = 矩形adlm的面積 + 矩形mleb的面積 ，即 ?！咀C法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖,在rtabc中，設(shè)直角邊ac、bc的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊ab的長(zhǎng)為c，過點(diǎn)c作cdab，垂足是d。 在adc和acb中， adc = acb = 90，cad = bac， adc acb.adac = ac ab，即 .同理可證，cdb acb，從而有 . ，即 ?！咀C法9】（楊作玫證明）做兩個(gè)全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（ba），斜邊長(zhǎng)為c。 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的

8、正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形。 過a作afac,af交gt于f,af交dt于r。 過b作bpaf,垂足為p. 過d作de與cb的延長(zhǎng)線垂直，垂足為e，de交af于h。 bad = 90，pac = 90， dah = bac.又 dha = 90,bca = 90，ad = ab = c, rtdha rtbca. dh = bc = a,ah = ac = b.由作法可知， pbca 是一個(gè)矩形，所以 rtapb rtbca. 即pb = ca = b，ap= a，從而ph = ba. rtdgt rtbca ,rtdha rtbca. rtdgt rtdha . dh = dg =

9、 a，gdt = hda 。 又 dgt = 90,dhf = 90，gdh = gdt + tdh = hda+ tdh = 90， dgfh是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形。 gf = fh = a 。 tfaf,tf = gtgf = ba 。 tfpb是一個(gè)直角梯形,上底tf=ba，下底bp= b，高fp=a +（ba）.用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖)，則以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積為 = ， = . 把代入，得= = 。 .【證法10】（李銳證明)設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b(ba)，斜邊的長(zhǎng)為c. 做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使a、e、g三點(diǎn)在一條直線上.

10、用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）。 tbe = abh = 90， tbh = abe。又 bth = bea = 90，bt = be = b, rthbt rtabe. ht = ae = a. gh = gtht = ba。又 ghf + bht = 90，dbc + bht = tbh + bht = 90， ghf = dbc. db = ebed = ba,hgf = bdc = 90， rthgf rtbdc. 即 .過q作qmag，垂足是m. 由baq = bea = 90，可知 abe= qam，而ab = aq = c,所以rtabe rtqam 。 又rthbt rtabe.

11、 所以rthbt rtqam 。 即 . 由rtabe rtqam,又得qm = ae = a，aqm = bae. aqm + fqm = 90，bae + car = 90，aqm = bae, fqm = car。又 qmf = arc = 90，qm = ar = a， rtqmf rtarc. 即。 ,，又 ,， =，即 ?！咀C法11】（利用切割線定理證明)在rtabc中，設(shè)直角邊bc = a，ac = b，斜邊ab = c. 如圖，以b為圓心a為半徑作圓,交ab及ab的延長(zhǎng)線分別于d、e，則bd = be = bc = a。 因?yàn)閎ca = 90，點(diǎn)c在b上,所以ac是b 的切線。

12、 由切割線定理，得= ,即， ?！咀C法12】（利用多列米定理證明）在rtabc中,設(shè)直角邊bc = a,ac = b,斜邊ab = c（如圖）。 過點(diǎn)a作adcb，過點(diǎn)b作bdca，則acbd為矩形，矩形acbd內(nèi)接于一個(gè)圓。 根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和,有, ab = dc = c，ad = bc = a，ac = bd = b， ，即 , .【證法13】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在rtabc中，設(shè)直角邊bc = a，ac = b，斜邊ab = c。 作rtabc的內(nèi)切圓o，切點(diǎn)分別為d、e、f（如圖)，設(shè)o的半徑為r。 ae = af，bf = bd，cd

13、 = ce， = = r + r = 2r,即 ， . ，即 , ， ，又 = = = = ， ， ， ， .【證法14】（利用反證法證明）如圖，在rtabc中，設(shè)直角邊ac、bc的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊ab的長(zhǎng)為c，過點(diǎn)c作cdab，垂足是d。 假設(shè)，即假設(shè) ，則由=可知 ，或者 。 即 ad:acac:ab，或者 bd：bcbc：ab。在adc和acb中， a = a， 若 ad：acac：ab，則adcacb。在cdb和acb中， b = b， 若bd：bcbc：ab，則cdbacb。又 acb = 90， adc90，cdb90.這與作法cdab矛盾。 所以，的假設(shè)不能成立. .【證法

14、15】（辛卜松證明)設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b,斜邊的長(zhǎng)為c。 作邊長(zhǎng)是a+b的正方形abcd. 把正方形abcd劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分,則正方形abcd的面積為 ；把正方形abcd劃分成上方右圖所示的幾個(gè)部分,則正方形abcd的面積為 =. , .【證法16】（陳杰證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b（ba），斜邊的長(zhǎng)為c。 做兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形（ba)，把它們拼成如圖所示形狀，使e、h、m三點(diǎn)在一條直線上。 用數(shù)字表示面積的編號(hào)(如圖).在eh = b上截取ed = a，連結(jié)da、dc，則 ad = c。 em = eh + hm = b + a , ed = a， dm = emed = a = b。又 cmd = 90，cm = a,aed = 90， ae = b， rtaed rtdmc. ead = mdc，dc = ad = c. ade + adc+ mdc =180，ade + mdc = ade + ead = 90， adc = 90。