湖北剩門市龍泉中學(xué)潛江中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題理【含解析】

1、湖北省荊門市龍泉中學(xué)、潛江中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題 理（含解析）注意事項(xiàng)：1答卷前，考試務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)的題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在試卷上無效.3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】聯(lián)立方程組求解，用列舉法表示即可得【詳解】或，則故選：

2、C【點(diǎn)睛】本題考查集合元素，集合交集，理解集合的含義是關(guān)鍵，為簡(jiǎn)單題2.已知是的共軛復(fù)數(shù),則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出的值，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出a+bi，從而確定a，b的值，求出a+b【詳解】i，a+bii，a0，b1，a+b1，故選：A點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題3.邊長為2的正方形ABCD中，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題中正方形ABCD可考慮用建立平面直角坐標(biāo)系的方法進(jìn)行求解.【詳解】以A為原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,故,則,故選:C【點(diǎn)

3、睛】本題主要考慮建立平面直角坐標(biāo)系的方法進(jìn)行向量求解的問題.4.已知三棱錐中，則三棱錐的體積是（ ）A. 4B. 6C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意明確，結(jié)合棱錐體積公式得到結(jié)果.【詳解】由，且，得；又由，且，得.因?yàn)椋瑥亩此?又由于，從而.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的計(jì)算，考查線面垂直的證明，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5.滿足條件的面積的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)出的坐標(biāo)，給定坐標(biāo)，求解出的軌跡方程，根據(jù)的軌跡即可求解出面積的最大值.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以的軌跡是以為圓心，半徑等于的圓去掉點(diǎn)兩點(diǎn)，所以.故

4、選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用坐標(biāo)法解決平面幾何問題，著重考查了圓的相關(guān)知識(shí)，難度一般.使用坐標(biāo)法的前提是建立合適的平面直角坐標(biāo)系，然后即可根據(jù)長度或者角度關(guān)系等確定坐標(biāo)滿足的方程.6.已知為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（ ）A. B. C. 若，則D. 若，則【答案】B【解析】設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公比為q，當(dāng)a10，q0時(shí)，可知a10，a30，所以A不正確；當(dāng)q1時(shí)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)qa1a3qa1qa4a2，與D選項(xiàng)矛盾因此根據(jù)基本不等式可知B選項(xiàng)正確7.設(shè)定義域?yàn)镽函數(shù)滿足下列條件：對(duì)任意；對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有,下列不等式不一定成立的A. B. C. D. 【答案】C【解析】【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，

5、所以為奇函數(shù)，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)椋砸欢ǔ闪?。因?yàn)樗砸欢ǔ闪?，因?yàn)閮蛇呁瑫r(shí)乘以-1可得：，所以D一定成立；8.若且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用特值法或利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】（方法一）對(duì)選項(xiàng)A：由，從而，從而選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：首先，從而知最小，下只需比較與的大小即可，采用差值比較法：，從而，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由，知C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：可知，從而選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選B（方法二）取，代入驗(yàn)證知選項(xiàng)B正確.【點(diǎn)睛】本題考查式子間大小的比較，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于?？碱}型.二、多項(xiàng)選擇題：本題

6、共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分.9.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則（ ）A. B. 函數(shù)的最大值為C. 為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心D. 函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ABCD【解析】【分析】先利用輔助角公式得，利用圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得值，判斷A;再化函數(shù)為，結(jié)合三角函數(shù)圖像及性質(zhì)判斷B,C,D即可【詳解】（其中）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，則，A.正確；又，則函數(shù)的最大值為，B正確；令，當(dāng)，則為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，C正確；令當(dāng) 為增區(qū)間，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，D正確故選：ABCD【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性、

7、周期性，考查綜合分析與應(yīng)用能力，屬于中檔題10.已知雙曲線過點(diǎn)且漸近線為，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. 的方程為B. 的離心率為C. 曲線經(jīng)過的一個(gè)焦點(diǎn)D. 直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意得到雙曲線的方程，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由已知，可得，從而設(shè)所求雙曲線方程為，又由雙曲線過點(diǎn)，從而，即，從而選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由雙曲線方程可知，從而離心率為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，滿足，從而選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：聯(lián)立，整理，得，由，知直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何

8、性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查推理能力與運(yùn)算能力.11.正方體的棱長為2,分別為的中點(diǎn),則（ ）A. 直線與直線垂直B. 直線與平面平行C. 平面截正方體所得的截面面積為D. 點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等【答案】BC【解析】【分析】A利用線面垂直的定義進(jìn)行分析；B作出輔助線利用面面平行判斷；C作出截面然后根據(jù)線段長度計(jì)算出截面的面積；D通過等體積法進(jìn)行判斷.【詳解】A若，又因?yàn)榍遥云矫?，所以，所以，顯然不成立，故結(jié)論錯(cuò)誤；B如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，由條件可知：，且，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，故結(jié)論正確；C如圖所示，連接，延長交于點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以四點(diǎn)共面，所以截面即

9、為梯形，又因?yàn)?，所以，所以，故結(jié)論正確；D記點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離分別為，因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，故結(jié)論錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查空間立體幾何的直線、平面間的關(guān)系及截面和體積有關(guān)的計(jì)算的綜合應(yīng)用，難度一般.12.已知函數(shù).下列命題為真命題的是（ ）A. 函數(shù)是周期函數(shù)B. 函數(shù)既有最大值又有最小值C. 函數(shù)的定義域是，且其圖象有對(duì)稱軸D. 對(duì)于任意，單調(diào)遞減【答案】BC【解析】【分析】將函數(shù)，利用對(duì)稱性判斷C,利用函數(shù)性質(zhì)判斷AD，利用導(dǎo)數(shù)判斷C即可【詳解】由函數(shù)A.函數(shù)f（x）是周期函數(shù)不正確，因?yàn)榉帜鸽S著自變量的遠(yuǎn)離原點(diǎn)，趨向于正窮大，所以函數(shù)圖象無限靠近于x軸，故不是周期函數(shù)；B. 令，

10、 單調(diào)遞增，又且對(duì)稱軸是x，故在取得最小值，又在取得最大值，故函數(shù)有最大值；另一方面，當(dāng)恒成立，且因?yàn)?在 恒成立，故的最小值在 取得，由，單增，又 單調(diào)遞減，同理，在單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞減，在單增，故 故f（x）有最大值又有最小值；B正確C.函數(shù)f（x）的定義域是R，且故其對(duì)稱軸是x，此命題正確；D，f（），f（），f（）f（），故D不正確，綜上，BC故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題，是個(gè)基礎(chǔ)題還考查函數(shù)圖象的對(duì)稱變化和利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題，數(shù)形結(jié)合法是解答本類題的重要方法本題函數(shù)解析式復(fù)雜，不利于判斷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)，則

11、數(shù)列的通項(xiàng)公式= 【答案】2n+1【解析】由條件得，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則14.已知定義在上的奇函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為_.【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義求出函數(shù)在上的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出的值，即為所求結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，.因此，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，同時(shí)也考查了利用奇偶性求函數(shù)的解析式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15.在等腰直角三角形中,點(diǎn)是邊異于、的一點(diǎn).光線從點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過、反射后又回到點(diǎn)(如圖).若光線經(jīng)過的重心,且則_【答案】【解析】【分析】建立平面

12、直角坐標(biāo)系，利用光的反射以及軸對(duì)稱的性質(zhì)確定出直線的方程，再將重心坐標(biāo)代入方程即可求解出的長度.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，由光的反射原理可知：四點(diǎn)共線，所以，所以，代入重心坐標(biāo)即，所以，解得或 (舍).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程在光線反射中的應(yīng)用，難度較難.直線方程與軸對(duì)稱以及光線反射內(nèi)容交匯時(shí)，可通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法簡(jiǎn)化問題，從而完成對(duì)應(yīng)計(jì)算.16.半徑為2的球面上有四點(diǎn)，且兩兩垂直，則，與面積之和的最大值為_【答案】8【解析】【分析】AB，AC，AD為球的內(nèi)接長方體的一個(gè)角，故，計(jì)算三個(gè)三角形的面積之和，利

13、用基本不等式求最大值【詳解】如圖所示，將四面體置于一個(gè)長方體模型中，則該長方體外接球的半徑為2不妨設(shè)，則有，即記從而有，即，從而當(dāng)且僅當(dāng)，即該長方體為正方體時(shí)等號(hào)成立從而最大值為8【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求最值問題，考查了學(xué)生解決交匯性問題的能力解答關(guān)鍵是利用構(gòu)造法求球的直徑四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角、所對(duì)的邊分別為、，且.（1）求的值；（2）若，且的面積，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理邊角互化思想得，然后在等式兩邊同時(shí)除以，利用余弦定理可求出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，從而

14、可求出的值；（2）由正弦定理邊角互化思想得出，然后利用三角形的面積公式可求出的值.【詳解】（1）因?yàn)?，故，故，因此，；?）因?yàn)?，故，即，的面積為，即，故，解得.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，同時(shí)也考查了三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18.數(shù)列的前項(xiàng)和為已知(1)寫出與的遞推關(guān)系式(2)求關(guān)于的表達(dá)式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入整理即可得與的遞推關(guān)系式（2）構(gòu)造等差數(shù)列即可得解【詳解】(1)（2） 故數(shù)列是以為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查變形化簡(jiǎn)能力，是中檔題19.如圖，已知三棱柱，平面

15、平面,，分別是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義即可證得線線垂直；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后結(jié)合線面角的正弦值和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得線面角的余弦值.【詳解】(1)如圖所示，連結(jié)，等邊中，則，平面ABC平面，且平面ABC平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，故，由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，且，由線面垂直的判定定理可得：平面，結(jié)合平面，故.(2)在底面ABC內(nèi)作EHAC，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EH,EC,方向分別為x,y,z軸正方向建

16、立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，,，據(jù)此可得：，由可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，由于，故直線EF的方向向量為：設(shè)平面的法向量為，則：，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，此時(shí)，設(shè)直線EF與平面所成角為，則.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線線垂直的判定和線面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20.已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，（1）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得直

17、線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（）利用圓的幾何性質(zhì)，總有，根據(jù)斜率公式得到軌跡方程；（）做出曲線的圖象，恒過點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，可知斜率的變化范圍試題解析：（）設(shè)，則，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，由得，即當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，也適合上述方程 線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為；（）由（）知點(diǎn)的軌跡是以為圓心為半徑的部分圓?。ㄈ缦聢D所示，不包括兩端點(diǎn)），且，又直線：過定點(diǎn)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，由得，又，結(jié)合上圖可知當(dāng)時(shí)，直線：曲線只有一個(gè)交點(diǎn)考點(diǎn)：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、中點(diǎn)軌跡方程；3、數(shù)形結(jié)合21.已知函數(shù)，（1）若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)作軸的垂線分別交，于點(diǎn)，證明：在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行【答案】（1）（2）見解析.【解析】試題分析：（1），則 ，所以有解，即有的解，所以，所以的取值范圍為；（2）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，在點(diǎn)處的切線斜率為，在點(diǎn)處的切線斜率為，由反證法證明得在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行試題解析：（1）時(shí)，則 ，因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有解，又因?yàn)?，則有的解，所以，所以的取值范圍為（2）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，