數(shù)理經(jīng)濟(jì)復(fù)習(xí)提綱及解答

1、數(shù)理經(jīng)濟(jì)復(fù)習(xí)提綱1. 敘述彈性的一般定義：dydyd (ln y)一般的，函數(shù) yf ( x) 關(guān)于 x 的彈性定義為 Eyxydx或 E yxdxyd (ln x)xx2. 證明：（1）兩個(gè)函數(shù)乘積的彈性等于這兩個(gè)函數(shù)彈性的和；證明：令f (x) ，g (x) ，二者的積記為 yf ( x)g (x) ，需證明 E yx E xE x .事實(shí)上 ln ylnlnd(ln y)d (ln)d (ln )E xE x，從而有 E yxd (ln x)d (ln x)d(ln x)（2）兩個(gè)函數(shù)商的彈性等于這兩個(gè)函數(shù)彈性的差。證明：令f ( x) ，g( x) ，二者的商記為 yf ( x)，需證

2、明 E yxE xE x 事g (x)實(shí)上， ln ylnlnd(ln y)d (ln)d (ln )E xE x .，從而有 E yxd (ln x)d (ln x)d(ln x)3. 已知逆需求函數(shù)為P = 12.5Q-0.05 ，求需求的價(jià)格彈性；解：在逆需求函數(shù)的兩端取自然對數(shù)并簡化得ln Q20 ln 12.520 ln P ，而Edpd (ln Q d ) / d (ln P)20 ，因此需求的價(jià)格彈性為Edp204. 用數(shù)學(xué)語言解釋邊際概念；一種產(chǎn)品的邊際效用，是指在原有的邊際消費(fèi)水平X 0 下再追加一個(gè)消費(fèi)單位所增加的效用，記作MU ( X 0 ) ， 數(shù) 學(xué) 上 表 示 為

3、MU ( X 0 )U ( X 01) U ( X 0 ) 由 于U ( X 01) U ( X 0 )U ( X 0 ) 故 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 者 一 般 用 U ( X 0 )度 量 邊 際 效 用 ， 即MU ( X 0 ) = U ( X 0 ) . 任 一 點(diǎn) X 處 的 邊 際 效 用 MU ( X ) ， 叫 做 邊 際 效 用 函 數(shù) ， 表 示 為MU ( X ) = U ( X ) .5. 用數(shù)學(xué)語言表述邊際效用遞減法則；( 指在一定時(shí)間內(nèi)，一個(gè)人消費(fèi)一種產(chǎn)品的邊際效用隨其消費(fèi)量的增加而減少)數(shù)學(xué)上邊際效用遞減法則是指邊際效用函數(shù)MU ( X ) 是消費(fèi)量 X 的減函數(shù)，即有MU

4、 ( X )U ( X )0 ，因此，凹效用函數(shù)可使邊際效用遞減法則成立.16. 證明：考慮任意市場中的某廠商，并假設(shè) TR(Q) 和 TC( Q) 分別是其總收入和總成本函數(shù)，則利潤函數(shù)P( Q)= TR(Q)-TC( Q) 在 Q* 處獲得極大值的一階必要條件是Q* 滿足： MR(Q*)=MC(Q*), 并給出經(jīng)濟(jì)解釋；證明：由于(Q ) 在 Q * 處獲得極大值，因此(Q*)0 又(Q )TR (Q)TC (Q )MR (Q )MC (Q ) , 因此， Q * 滿足 MR(Q*)MC (Q*)經(jīng)濟(jì)解釋：一個(gè)廠商應(yīng)該繼續(xù)生產(chǎn)產(chǎn)品，一直到再多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品的成本 MC (Q*) 剛好與該單

5、位產(chǎn)品所帶來的收入MR (Q*) 相抵消。若下一個(gè)單位產(chǎn)品給廠商增加的收入大于它給廠商增加的成本 MR (Q)MC (Q ) ，則生產(chǎn)下一個(gè)單位的產(chǎn)品將增加廠商的利潤，因而廠商應(yīng)繼續(xù)生產(chǎn)。若再多生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品所增加的成本大于它給廠商（在市場上）增加的收入 MC (Q )MR(Q ) ，則再多生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品將減少廠商的利潤，即廠商本應(yīng)該提早停產(chǎn)。7. 敘述并證明：完全競爭市場的利潤極大化的二階充分條件；敘述：假設(shè) Q * 滿足 MR (Q*)MC (Q*) ，則(Q) 在 Q * 處取得極大值的充分條件是(Q*) 0 ，d 2TR(Q)d 2 TR(Q )即dQ 2Q Q*dQ2Q Q *證

6、明：由極值的二階充分條件當(dāng)函數(shù)(Q ) 在 Q * 處有 (Q*)0 時(shí)， (Q ) 在 Q * 處取得極大值。8. 敘述并證明：考慮完全競爭市場情形，利潤函數(shù)獲得極大值的必要條件；敘述：考慮完全競爭市場情形，假設(shè)廠商面對既定的價(jià)格P0 ，則利潤函數(shù)(Q) TR(Q ) TC (Q) 在Q * 處獲得極大值的必要條件是Q * 滿足 P0 = MC (Q*)證明：因?yàn)樵谕耆偁幍氖袌銮樾?，此時(shí)廠商的總收入為TR(Q )P0Q , 邊際收入為一條水平直線P0= MR(Q) （如下圖）， Q * 為廠商的均衡產(chǎn)量，此時(shí)有 MR (Q*)MC (Q*) ，即P0= MR(Q*)MC (Q*)29.給定

7、廠商的成本函數(shù)() =3-14 2+69 +128，其中固定成本為 128，試求廠商的有效供給曲線；C QQQQ解：廠商的供給曲線為停止生產(chǎn)點(diǎn) AVC (Q ) 曲線的最低點(diǎn) 以上的那部分邊際成本曲線，其方程組為PMC (Q), PPV 用兩種方法求 AVC 曲線的最低點(diǎn)。Q0, PPV法一：微分法AVC (Q)C (Q)128 / Q Q 214Q69 ,AVC (Q) = 2Q14 , AVC (Q ) =2. 令A(yù)VC (Q ) =0，得 Q * =7，又 AVC (7)0 事實(shí)上， AVC (Q ) 處處大于零，因此 AVC (Q ) 是凸函數(shù) ，故 AVC 曲線的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為AV

8、C (7)20法二：由定理 AVC (Q ) AVC (Q ) MC (Q) ，即 3Q 228Q 69Q 214Q 69 ，得 Q * =7. 又因?yàn)锳VC (7)0 ，所以 AVC 曲線的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為AVC (7)20 。從而廠商的供給曲線為P3Q 228Q69, P 20Q0, P2010. 證明：對于完全壟斷市場以及其它各種不完全競爭市場，則MR必然低于 AR，即 MR 1 和 c 0 ；市場的反需求函數(shù)為 PD =() ，對壟斷廠商課以一個(gè)從價(jià)稅r.g Q（1）分別求課稅前后的最優(yōu)定價(jià)* 和 * ；P P（2）證明廠商在課稅后的最優(yōu)定價(jià)一定大于課稅前的最優(yōu)定價(jià)，即P* P* ；（

9、3）廠商在課稅后的最優(yōu)產(chǎn)量Q* 一定小于課稅前的產(chǎn)量 Q*.解：（1）在不征收從價(jià)稅情況下，據(jù)式1MC (Q) 知，廠商的最優(yōu)供給量Q * 滿足P 1Edp (Q)P * 11c ，而最優(yōu)定價(jià)為P*cMC (Q*)1Edp (Q*)1在 征 收 從 價(jià) 稅 的 情 況 下 ， 據(jù) 式 PD (Q)(1)PS (Q)可 知 廠 商 的 收 益 為TR(Q)QPS (Q) QPD (Q) /(1) . 邊際收益為P 111，從而廠商的最優(yōu)供給Edp (Q)13量 Q * * 滿足 P * * 111MC (Q * *)c(1 )Edp (Q * *)1c ，而最優(yōu)定價(jià)為 P * *11（2）比較式

10、 P*cc(1)P * ，這說明課稅后廠商的定價(jià)會提高。和 P * *1可知， P * *111（3）令課稅前后的最優(yōu)產(chǎn)量分別為Q * 和 Q * * ，則 P*g (Q*) 和 P * *g(Q * *) . 注意到反需求函數(shù) PDg(Q ) 是 單調(diào)遞減 的，所以 其反 函數(shù) 一定也是 單 調(diào)遞減 的。 因此由 P * *P * 可得Q * * Q * .12. 廠商在一個(gè)完全競爭市場上組織生產(chǎn)，成本函數(shù)為TC = C( q) ，. 產(chǎn)品的市場銷售價(jià)格為P. 如何安排產(chǎn)量才能獲得極大利潤？（ 1）把廠商的產(chǎn)量安排問題表示成一個(gè)極值問題；（ 2）寫出廠商最優(yōu)產(chǎn)量 ( 均衡產(chǎn)量 ) 滿足的一階

11、必要條件，并解釋其經(jīng)濟(jì)含義；（ 3）寫出廠商最優(yōu)產(chǎn)量滿足的二階充分條件，并解釋其經(jīng)濟(jì)含義；（ 4）假設(shè) q* 滿足（ 2）和（ 3）中的一階必要條件和二階充分條件，分析產(chǎn)品銷售價(jià)格分別對最優(yōu)產(chǎn)量和最優(yōu)利潤的影響？（ 5）解釋二階充分條件在比較靜態(tài)分析中所起的作用.解：（1）令表示廠商的利潤，則( q)PqC (q) ，因此廠商的問題相當(dāng)于求一元函數(shù)(q) 的極大值問題。（2）最優(yōu)產(chǎn)量q * 應(yīng)滿足的一階必要條件為(q*)0 或 PC (q*) . 這說明最優(yōu)產(chǎn)量處的邊際成本等于產(chǎn)品的銷售價(jià)格。（3）最優(yōu)產(chǎn)量 q * 應(yīng)滿足的二階充分條件為(q*)0 即 C (q*)0 即在 q * 附近邊際成

12、本 是遞增的。（）需分別求dq *dP和 d ( q*)為此首先必須確認(rèn)q * 和(q*) 都是 P 的一元函數(shù)，這需要dP從一階必要條件式P C (q*) 出發(fā)。下面利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則給出求d(q*)的一種方法。由于dP(q*)Pq *C (q*)和 q * f ( P) ，所以 d( q*) q *PC (q*)C ( q*)，dPC (q*)進(jìn)一步利用一階必要條件P C (q*)0可將式d (q*)q *PC ( q*)化簡為d (q*)q *且其經(jīng)濟(jì)含義是最dPC (q*)C ( q*)dP優(yōu)利潤也是隨著產(chǎn)品銷售價(jià)格的增加而增加。（此問頁還有另一種解法）（）從求解（）的過程中看到二階

13、充分條件可確保比較靜態(tài)分析的進(jìn)行。413. 給定效用函數(shù)UX ,YXY ，這里 X 和 Y 分別表示軟飲料和漢堡包的消費(fèi)量.（ 1）分別驗(yàn)證軟飲料和漢堡包的邊際效用遞減法則是否成立？（ 2）求軟飲料對漢堡包的邊際替代率；（ 3）這個(gè)邊際替代率是遞減的嗎？（4）分別解釋點(diǎn) A = (5，20) 和 B = (20 ，5)處的軟飲料對漢堡包的邊際替代率的含義解：（）首先求出漢堡包和軟飲料的邊際效用函數(shù)MU X0.5X0.5Y 0.5， MU Y0.5X 0.5Y 0.5 （對效用函數(shù)進(jìn)行二階偏導(dǎo)）容易看出 MU X 隨著增加而減少，MU Y 隨著增加而減少。 因此兩種商品的邊際效用遞減法則都成立（

14、） MRS XYMU X / MU Y0.5X0.5Y 0.5Y/ X0.5X0.5Y 0.5（）由（）的結(jié)論可知邊際替代率MRS XYY / X 是商品的消費(fèi)量的遞減函數(shù)。（） (5,20)點(diǎn)表示消費(fèi)者有較少的軟飲料（5 個(gè)單位）和較多的漢堡包（20 個(gè)單位）。由（）的結(jié)論，在點(diǎn)的邊際替代率MRS XYY / X 20/5 4這表示消費(fèi)者愿意放棄4 個(gè)漢堡包來換取 1 瓶軟飲料（以保持其消費(fèi)效用不變） 。 (20,5)點(diǎn)表示消費(fèi)者有較多的軟飲料和較少的漢堡包。類似地，在點(diǎn)的邊際替代率 MRS XYY / X 5/20 0.25 。這表示消費(fèi)者愿意放棄1/4個(gè)漢堡包來換取瓶軟飲料（以保持其消費(fèi)

15、效用不變） 。從這兩個(gè)邊際替代率可以看到，隨著消費(fèi)者占有軟飲料的增加（由5 瓶到 20瓶），消費(fèi)者為換取1 瓶軟飲料而愿意放棄的漢堡包在減少（由4 個(gè)到 1/4個(gè)）。這進(jìn)一步具體說明了軟飲料對漢堡包的邊際替代率隨軟飲料消費(fèi)的增加而減少。14. 敘述：定理R是 C 1 的， URn 是開凸集，則（1） F 是凹的充要條件是：對任意x，yU有 F( y )- F( x)DF( x)( y- x) ；（2） F 是嚴(yán)格凹的充要條件是：對任意x， yU且 xy 有 F( y)- F( x) DF( x)( y - x).15. 敘述： ( 二階微分準(zhǔn)則 ) 設(shè)有函數(shù) F：UR是 C 2 的， URn

16、是開凸集，則（1）F在U上是凹的充要條件是：( x) 的 Hessian矩陣D2F( x)對任意 xU是半負(fù)定的；F（2）F 在 U上是嚴(yán)格凹的充分條件是：F( x) 的 Hessian 矩陣D2F對任意xU是負(fù)定的；( x)（3） F 在 U上是凸的充要條件是：F( x) 的 Hessian矩陣D2F對任意xU是半正定的；( x)（4） F 在 U上是嚴(yán)格凸的充分條件是：F( x) 的 Hessian矩陣D2F對任意xU是正定的( x)16. 試證明 Cobb-Douglas 函數(shù) (，x) =xab(， 0)是 R2 上的擬凹函數(shù)；F x1x2a b+125證明： P20017. ( 歐拉

17、 (Euler)定理 ) 令 z = f ( x1，xn) 是 R+n 上的 C 1 的 k 次 次函數(shù)， 任意 xR+nnf ( x )或 xf ( x )kf ( x )有x ikf ( x )xii 118.( 充分條件歐拉定理的逆命 ) 設(shè)z=f(，) 是 R n 上的1函數(shù) , 若 任意 xnx1xn+CR+有nf (x )或 xf (x) kf ( x)xikf ( x )i 1xiz = f ( x1， xn) 是 R+n 上的 C 1 的 k 次 次函數(shù) 19. 出一種同位函數(shù)的定 ：(Simon and Blume (1994) 定定 在 SR n 上的一個(gè) n 元 函數(shù) V

18、( x) ，稱函數(shù)+V( x) 是同位的 (homothetic)，若 V( x) 是一個(gè) 次函數(shù)的正 ，即存在一個(gè)正 換 g( z) ： R+R和一個(gè) 次函數(shù)U( x) ： SR+，使得 V( x) =g( U( x) ；20. 一廠商用 n 種投入生 一種 品, 令廠商的生 函數(shù) Q(x)且是 C1 的， x Rn 是+投入 合， p 是 個(gè) 一 品的 售價(jià)格，C(x)表示投入 合 x 的成本（ 1） 寫出利 極 ( 最 ) 大化的一 和二 必要條件以及二 充分條件，并 出一 必要條件的 解 ；（ 2）特 當(dāng)各種投入有不 的 位成本( wi 是 位投入 i 的成本且是常數(shù) ) ，再 （ 1

19、）；解：由題意，廠商的收入為( x) ( x) ，廠商的成本為 （），從而廠商的利潤為 ( x) ( x) ( x)C（ ） 廠 商 的 利 潤 極 大 化 即 使 ( x) 獲 得 極 大 值 的 一 階 必 要 條 件 為(x*)R ( x*)C (x*)0 ，其經(jīng)濟(jì)含義為：投入i 的邊際收入等于投入i 的邊際成本。xixixi使 ( x) 獲得極大值的二階必要條件是利潤函數(shù) ( x) 在處的 Hessian矩陣廠商的利潤極大化即 D 2 (x*) 是半負(fù)定的。廠商的利潤極大化 即 使 ( x) 獲得極大值 的二階充分條件是D 2(x*) 負(fù)定；廠商的利潤最大化 即 使 ( x) 獲得最大

20、值的二階充分條件是對任意 ， D 2(x) 是半負(fù)定的。（ ） 此 時(shí)( x)1 x12 x2n xn，C / xii ， 因 此 一 階 必 要 條 件 式C(x*)R ( x*)C (x*)0 變?yōu)?pQ ( x*)i 或Q( x*)i 前面一個(gè)式子的經(jīng)濟(jì)xixixixixip含義是， 在最優(yōu)投入組合 處每種投入的邊際收入等于這種投入的價(jià)格；第二個(gè)式子的經(jīng)濟(jì)含義是：在最優(yōu)投入組合 處每種投入的邊際產(chǎn)量等于這種投入的價(jià)格與產(chǎn)出價(jià)格之比。由 于C( x) 是 線 性 函 數(shù) ， 所 以2(x) 0， 從 而 由 式 子 ( x) ( x) ( x) 有DCC6D 2(x)D 2 R( x)pD

21、 2 Q (x) 故廠商利潤極大化 即 使 ( x) 獲得極大值 的二階必要條件是D 2Q( x*) 是半負(fù)定的。廠商利潤極大化即 使 ( x) 獲得極大值的二階充分條件是D 2 Q (x*) 是負(fù)定的；廠商的利潤最大化即 使 ( x) 獲得最大值的二階充分條件是對任意 ， D 2Q( x) 是半負(fù)定的這相當(dāng)于生產(chǎn)函數(shù) ( x) 是凹函數(shù)21. 假設(shè)（1）某廠商利用兩種投入A 和 B 生產(chǎn)一種單一產(chǎn)品，生產(chǎn)函數(shù)為Q=Q( a， b) ，這里 a 和b 分別為兩種投入A和 B 的投入量；（2）兩種投入的價(jià)格分別為Pa0 和 Pb0，產(chǎn)出的價(jià)格為P0，它們都不受廠商的控制；（ 3）生產(chǎn)過程需要 t

22、 年才能完成，因此銷售收入必須貼現(xiàn)后才能與目前的生產(chǎn)成本進(jìn)行比較. 設(shè)貼現(xiàn)率為 r .試寫出利潤極 ( 最 ) 大化時(shí)最優(yōu)投入應(yīng)滿足的一階必要條件和二階充分條件，并討論其經(jīng)濟(jì)含義；解：由題意，總成本是C (a, b)aPa0bPb 0 ，總收入為 R(a,b)P0Q( a, b) ，從而總利潤為(a,b) P Q (a,b)ertaPbP0a0b0a廠商的最優(yōu)投入水平( a*, b* ) 應(yīng)滿足下面的的一階必要條件bP0Qa e rtPa00a(1)P0Qb e rtPb 00b這里 Qa ,Qb 分別表示投入 a,b 的邊際產(chǎn)量 是Q(a,b) 分別關(guān)于 a, b 的偏導(dǎo)數(shù) 式(1)表明一階

23、必要條件的經(jīng)濟(jì)含義是最優(yōu)投入a*, b * 處的邊際產(chǎn)量 Qa ( a*, b * ) 和 Qb (a*, b * ) 的現(xiàn)值 P0Qa (a*, b*) ert 和 P0 Qb ( a*, b*) e rt 分別等于投入 A 和 B 的價(jià)格 ( Pa0 , Pb 0 ). 此外由式 (1)可知在最優(yōu)投入a*, b * 處有 Qa/ Qb Pa 0 / Pb 0因此一階必要條件也意味著: 投入 a 對投入 b 的邊際技術(shù)替代率等于投入 a 的價(jià)格與投入 b 的價(jià)格之比 .廠商的最優(yōu)投入水平 ( a*, b * ) 應(yīng)滿足下面的的二階充分條件就是利潤函數(shù)(a,b) 的 Hessian矩陣D 2

24、(a, b)aaabP0Q aart P0Qabrt在 ( a*, b *) 處 是 負(fù) 定 的 ,即abbbP0Q abrt P0Qbbrt0 ,20 此式等價(jià)于生產(chǎn)函數(shù)在( a*, b * ) 點(diǎn)處的 Hessian 矩陣 D2Q(a*, b*) 是aaaa bbab7負(fù)定的 . 此外 , 此式意味著在( a*, b * ) 處 Q a ,Qb 分別是 a 和 b 的嚴(yán)格減函數(shù). 但 Q a , Qb 在( a*, b * ) 處分別是 a 和 b 的嚴(yán)格減函數(shù)不能保證二階充分條件成立.22. 考慮生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的廠商.設(shè)這兩種產(chǎn)品的價(jià)格分別為P10和 P20( 是外生變量 ) ，第 i種產(chǎn)

25、品的產(chǎn)量記為Q. 假設(shè)廠商的成本函數(shù)為(，Q) = 2Q2 +Q Q+2Q2. 試求廠C Qi121122商的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃和相應(yīng)的最優(yōu)利潤；解: 由于 C / Q14Q1 Q 2 ,C /Q2Q14Q2 , 因此這兩種商品的生產(chǎn)是技術(shù)上相關(guān)的. 利潤函數(shù)為收益函數(shù)與成本函數(shù)之差(Q1,Q2,P10,P20)P10Q1P20Q 2( 22Q1Q222 ).Q1Q2p104Q1Q204 p10p20Q1*令可求出可能的極值點(diǎn). 解這個(gè)方程組得 Q1和p20Q14Q 2015Q2Q2*4 p20p10 . 由于利潤函數(shù)在點(diǎn)Q1* ,Q2* 處的 Hessian 矩陣 D 2411是負(fù)定的 , 因此1

26、54*, 因而是最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃 . 進(jìn)一步 , 由于 D22Q1, Q 2 是利潤函數(shù)的嚴(yán)格極大值點(diǎn)對任意 Q1 ,Q2R +都是嚴(yán)格凹函數(shù) , 從而Q1* ,Q2* 是最大值點(diǎn) .23.設(shè)某壟斷廠商在A和 B兩工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品， 其成本函數(shù)分別為TC ( Q ) 和 TC ( Q ) ，AAB B其中 Q 和 Q 分別為 A 和 B兩工廠的產(chǎn)量 , 又該產(chǎn)品的銷售價(jià)格為P =f ( Q+ Q ), 試給出ABABA和 B兩工廠的最優(yōu)生產(chǎn)量滿足的一階必要條件，并說明其經(jīng)濟(jì)含義；解:A 、B 兩工廠的總收益為 TR(Q A QB ) f (Q AQ B )TR(Q AQ B ) , 從而他們的總

27、利潤為(Q A , Q B )TR(Q AQ B )TC A (Q A ) TC B (Q B ) A、B 兩工廠的最優(yōu)生產(chǎn)量應(yīng)滿足一階必要條/ Q A0 和/ QBMR(QAQB )MC A (Q A )件為0 , 即QB )即MR(QAMC B (Q B )MR(Q A Q B )MC A (Q A )MC B (Q B ) . 這個(gè)一階必要條件的經(jīng)濟(jì)含義為: 每個(gè)工廠的產(chǎn)量的邊際成本等于總產(chǎn)量的邊際收入 .824. 設(shè)壟斷廠商在三個(gè)不同市場面臨的反需求函數(shù)( 平均收入函數(shù) ) 為P1 = 63 -4 Q1， P2 = 105-5 Q2， P3 = 75 -6Q3,總成本函數(shù)為C( Q)

28、= 10 + 15(Q + Q +Q ), (Q = Q +Q + Q ).123123（1）求實(shí)行價(jià)格歧視時(shí)三個(gè)市場的最優(yōu)供應(yīng)量和相應(yīng)的最優(yōu)價(jià)格( 以使總利潤最大 ) ，并比較各個(gè)市場的需求彈性與價(jià)格之間的關(guān)系；（2）不實(shí)行價(jià)格歧視時(shí)，三個(gè)市場的最優(yōu)供應(yīng)量和相應(yīng)的最優(yōu)價(jià)格；（3）比較（ 1）和（ 2）兩種情形下總的供給量以及最優(yōu)利潤的大小;解:(1)三個(gè)市場的收益分別為R1 (Q1 )P1Q163Q14Q12,R2 (Q 2 )P2 Q 2105Q25Q22,R (Q)P Q375Q36Q 2.從而其邊際收益分別為3333R1(Q1 )63 8Q1 , R2(Q2 )10510Q2 , R3

29、 (Q3 )75 12Q3 , 而總供給量的邊際成本為C (Q )15 , 令 Ri(Qi )C (Q) ， i1,2,3, 可 得 Q1*6 ， Q2*9, Q3*5 , 而 總 產(chǎn) 量 為Q *Q1*Q2*Q3*20 . 進(jìn) 一 步 將 Q1*6 ， Q2*9, Q3*5 代 入 平 均 收 入 函 數(shù) 得 到P1*39, P2*60, P3*45由于R1 (Q1 ), R2 (Q2 ), R3 (Q3 ) 都是凹函 數(shù) ，C (Q)是凹函數(shù)， 所以(Q1Q 2Q3 )R1 (Q ) R2 (Q )R3 (Q)C (Q ) 是凹函數(shù)，因此 Q1*6，Q2*9, Q3*5使(Q1Q2Q3 )

30、 獲 得 最 大 值 。 計(jì) 算 得 出 三 個(gè) 市 場 的 需 求 的 價(jià) 格 彈 性 分 別 為d 113/ 8,d 24 / 3, d33 / 2 。因而d1d 3d 2，而 P1*P3*P2* ，這個(gè)結(jié)果與前面理論上推導(dǎo)出的結(jié)論是一致的，即某個(gè)市場彈性越小，則在該市場給產(chǎn)品的定價(jià)就越高。（ 2 ） 不 實(shí) 行 價(jià) 格 歧 視 意 味 著 P1P2P3P .從 而 三 個(gè) 市 場 的 反 需 求 函 數(shù) 為P63 4Q1 , P1055Q 2 , P 756Q3,分別解出Q1, Q 2, Q3得到 Q1(63P) / 4, Q2(105P) / 5,Q3 (75P) / 6 (1),從而

31、得到廠商面臨的總需求函數(shù)為QQ1 Q 2Q3(295537 P) / 60，而逆需求函數(shù)為P(2955 60Q ) / 37 ，而利潤函數(shù)為(Q )Q (295560Q ) / 37 (1015Q ) ，令(Q)0解得Q *20 。又(Q)120 / 370 ，因此 Q *20使利潤函數(shù)獲 得最大值。將Q *20 代入 總需求 函數(shù)9Q(295537P) / 60 得到三個(gè)市場的最優(yōu)統(tǒng)一定價(jià)P*1755/ 37 。再將 P*1755/ 37 代入式(1)中的三個(gè)式子，得到三個(gè)市場的最優(yōu)供給量分別為Q1*576 / 148,Q2*2130 / 185, Q3*1020 / 222 .（3） （

32、1）和（ 2）兩種情形下總的最優(yōu)供給量均為20，但前者的最優(yōu)利潤（689）大于后者的利潤（約639）?？梢妼?shí)行價(jià)格歧視時(shí)所獲得的最優(yōu)利潤大于不實(shí)行價(jià)格歧視時(shí)所獲得的最優(yōu)利潤。24.假設(shè)需求曲線是D( p) =a - bp，追隨者的成本函數(shù)為C2( y2) =y22/2 ，領(lǐng)導(dǎo)者的成本函數(shù)為 C1( y1) =cy1( c 是常數(shù) ), 試求出領(lǐng)導(dǎo)者的利潤極大化產(chǎn)量；解：對于任意的價(jià)格P，追隨者的最優(yōu)產(chǎn)量y2*滿足價(jià)格等于邊際成本，即py2*. 于是追隨者的供給函數(shù)為 y2*S( p)p . 領(lǐng)導(dǎo)者面臨的需求曲線( 剩余需求曲線 ) 是y1R( p)D ( p)S( p)a(b1) p 進(jìn)一步可

33、得領(lǐng)導(dǎo)者面臨的反需求函數(shù)為pf1 ( y1 )a /(b1)y1 /(b1),從而領(lǐng)導(dǎo)者的利潤函數(shù)為1 ( y1 )py1C1 ( y1 ) ay1 /(b1)y12 /(b1) cy1 , 進(jìn)一步可得領(lǐng)導(dǎo)者的利潤最大化產(chǎn)量為 y1* a (b1)c / 2 , 均衡價(jià)格為p* a(b1)c / 2(b1) ; 追隨者的產(chǎn)量為y2* a(b1)c / 2(b1) , 而總產(chǎn)量為 ab a(b1)c / 2(b1) . 25.給定一個(gè)價(jià)格接受的廠商的生產(chǎn)函數(shù)Q( K，L), 假設(shè) Q0，即 , 資本的邊際產(chǎn)量隨著勞動(dòng)力的增加而增加, 給定產(chǎn)品價(jià)格KL，資本的租金率r和工資 w，則它的利潤函數(shù)為p

34、( ，) =( ， )-rK- w, 假設(shè)廠商利潤極大化問題的PK LPQ K LL二階充分條件成立，試分別討論外生變量r 、w 和 P 之一的變化對各個(gè)內(nèi)生變量的最優(yōu)值K* 和 L* 的影響；解 :最 優(yōu) 解( K *, L*)應(yīng) 滿 足 下 面 方 程 組 表 示 的 一 階 必 要 條 件F1 (K *, L*;, P)( K *, L*) /KPQK (K *, L*)0F2 (K *, L*;, P)( K *, L*) /LPQL (K *, L*)0為了討論外生變量的變化對內(nèi)生變量的最優(yōu)值K *, L * 的影響，需求K * /,L * /. 從而可將這個(gè)方程組左側(cè)中另外兩個(gè)外生

35、變量, P 均看作常數(shù)，因而方程組的左側(cè)是K *,L * 和 的三元函數(shù)。對這個(gè)方程組的兩端求全微分，并將外生變量的微分移到等式的右側(cè)，注意到ddP0 ，可得F1F2F1dK *KLdK *PQKK PQ KL1，即( 3 ). 式( 3 ) 中的所有二階F2 F2dL *F2 dPQKL PQ LLL *0KL10偏導(dǎo)數(shù)都是在點(diǎn) ( K *, L*) 處計(jì)算的。二階充分條件成立意味著利潤函數(shù)在(K *, L*) 處的 Hessian矩陣2(K *, L*) 是負(fù)定的 , 因此 D2(K *, L*)024 ) 令D, 且 Q LL0,QKK0, QKK Q LLQ KL (表示方程組 ( 2(*, *)0 . 因此方程組 ( 有唯一一組解J3 ) 的系數(shù)矩陣 , 則容易驗(yàn)證DKLJ3 )1 PQKLPQKK 1K *0PQLLQ LL,L *PQLK0QLK. 由式 (4 ) 以JP(QKK Q LLQKL2 )JP(QKK QLLQKL2 )及J0, 可