2012高考真題分類匯編推理與證明

1、2012高考真題分類匯編：推理與證明1.【2012高考真題江西理6】觀察下列各式：則A28 B76 C123 D199【答案】C 2.【2012高考真題全國卷理12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AEBF.動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當碰到正方形的方向的邊時反彈，反彈時反射等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（A）16（B）14（C）12(D)10 【答案】B 3.【2012高考真題湖北理10】我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑. “開立圓術(shù)”相當于給出了已知球的體積，求其直徑

2、的一個近似公式. 人們還用過一些類似的近似公式. 根據(jù)判斷，下列近似公式中最精確的一個是11. B C D【答案】D 4.【2012高考真題陜西理11】 觀察下列不等式，照此規(guī)律，第五個不等式為 .【答案】.【解析】通過觀察易知第五個不等式為.5.【2012高考真題湖南理16】設(shè)N=2n（nN*，n2），將N個數(shù)x1,x2,，xN依次放入編號為1,2，N的N個位置，得到排列P0=x1x2xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應(yīng)的前和后個位置，得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得到；當2in-

3、2時，將Pi分成2i段，每段個數(shù)，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當N=8時，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置.（1）當N=16時，x7位于P2中的第_個位置；（2）當N=2n（n8）時，x173位于P4中的第_個位置.【答案】（1）6；（2）【解析】（1）當N=16時,可設(shè)為,即為,即, x7位于P2中的第6個位置,；（2）方法同（1）,歸納推理知x173位于P4中的第個位置.【點評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問題.6.【2012高考真題湖北理13】回文數(shù)是指

4、從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)如22，121，3443，94249等顯然2位回文數(shù)有9個：11，22，33，993位回文數(shù)有90個：101，111，121，191，202，999則（）4位回文數(shù)有 個；（）位回文數(shù)有 個【答案】90，【解析】（）4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（19）種情況，第二位有10（09）種情況，所以4位回文數(shù)有種。答案：90 （）法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n+1位回文數(shù)和2n+2位回文數(shù)的個數(shù)相同，所以可以算出2n+2位回文數(shù)的個數(shù)。2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項每

5、項有10種情況，所以個數(shù)為. 法二、可以看出2位數(shù)有9個回文數(shù)，3位數(shù)90個回文數(shù)。計算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對的“00,11,22,99”，因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個按此規(guī)律推導(dǎo),而當奇數(shù)位時，可以看成在偶數(shù)位的最中間添加09這十個數(shù)，因此,則答案為.7.【2012高考真題北京理20】（本小題共13分）【答案】解：（1）由題意可知，（2）先用反證法證明：若則，同理可知，由題目所有數(shù)和為即與題目條件矛盾易知當時，存在的最大值為1（3）的最大值為.首先構(gòu)造滿足的：，.經(jīng)計算知，中每個元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，且，.下面證明是最大值. 若不然，則存在一個數(shù)表，使

6、得.由的定義知的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都不小于，而兩個絕對值不超過1的數(shù)的和，其絕對值不超過2，故的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都在區(qū)間中. 由于，故的每一列兩個數(shù)符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于.設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負，由對稱性不妨設(shè)，則. 另外，由對稱性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負.考慮的第一行，由前面結(jié)論知的第一行有不超過個正數(shù)和不少于個負數(shù)，每個正數(shù)的絕對值不超過1（即每個正數(shù)均不超過1），每個負數(shù)的絕對值不小于（即每個負數(shù)均不超過）. 因此，故的第一行行和的絕對值小于，與假設(shè)矛盾. 因此的最大值為。8.【2012高考真題湖北理】（本小題滿分14分）（）已知

7、函數(shù)，其中為有理數(shù)，且. 求的最小值；（）試用（）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)，為正有理數(shù). 若，則；（）請將（）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.注：當為正有理數(shù)時，有求導(dǎo)公式.【答案】（），令，解得.當時，所以在內(nèi)是減函數(shù)；當 時，所以在內(nèi)是增函數(shù).故函數(shù)在處取得最小值. （）由（）知，當時，有，即 若，中有一個為0，則成立；若，均不為0，又，可得，于是在中令，可得，即，亦即.綜上，對，為正有理數(shù)且，總有. （）（）中命題的推廣形式為：設(shè)為非負實數(shù)，為正有理數(shù). 若，則. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當時，有，成立. （2）假設(shè)當時，成立，即若為非負實數(shù)，為正有理數(shù)，且，則. 當時，已知為非負實數(shù)，為正有理數(shù)，且，此時，即，于是=.因，由歸納假設(shè)可得，從而. 又因，由得，從而.故當時，成立.由（1）（2）可知，對一切正整數(shù)，所推廣的命題成立. 說明：（）中如果推廣形式中指出式對成立，則后續(xù)證明中不需討論的情況.9.【2012高考真題福建理17】（本小題滿分13分）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).（1）sin213+cos217-sin13cos17（2）sin215+cos215-sin15cos15（3）sin218+cos212-sin18cos12