《概率論》第5章2中心極限定理

1、在現(xiàn)實中為什么很多數(shù)量指標(biāo)都服從或近似服從正態(tài)分布,實際背景,研究發(fā)現(xiàn)這些指標(biāo)通常是由大量相互獨立的隨機因素綜合影響而成,即,近似,中心極限定理研究的內(nèi)容：,當(dāng) 時,在什么情況下,的極限分布是,？,的極限分布是,？,設(shè) 是獨立r.v列,均值和方差都存在,令,則,部分和標(biāo)準(zhǔn)化r.v,的極限分布是否為,？,一般地，答案是否定的！,除非 服從正態(tài)分布，否則結(jié)論就不真.,例如,定義,則稱 服從中心極限定理,若 的分布函數(shù) 對任意 滿足,同分布的 r.v 列，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為,則 服從中心極限定理,的分布函數(shù) 對任意 滿足,定理,(獨立同分布的中心極限定理),設(shè) 為獨立,即標(biāo)準(zhǔn)化r.v,例1設(shè)樣本

2、X1，X2，X20相互獨立，且都來自均勻分布 U(0,1)，其中,E(Xi)=1/2,D(Xi)=1/12，令Y20 = X1+X2+X20， 求：PY209.1。,解：,PY209.1=,n = 20，= 1/2, 2 = 1/12,對于均值為 方差 的獨立同分布的 r.v 列,有,近似,即或,近似,中心極限定理的實際含義,這些隨機因素都是微小的、沒有一個因素起到,在實際問題中,如果某數(shù)量指標(biāo)滿足,該指標(biāo)是由大量相互獨立的隨機因素迭加而成,則這個數(shù)量指標(biāo)近似地服從正態(tài)分布,突出的作用,由獨立同分布的中心極限定理,有,定理,(棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理),設(shè) 為服從,證,因二項分布產(chǎn)生于 重

3、伯努利試驗,故 可分解為,注記,對于一列二項分布r.v ，有,近似,近似,的圖形為,棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的應(yīng)用,例如,于是當(dāng) 充分大時，可以認(rèn)為,近似,O,記,則,近似,高爾頓釘板試驗,共15層小釘,高爾頓( Francis Galton,1822-1911) 英國人類學(xué)家和氣象學(xué)家,例2一批種子，其中良種占1/6，在其中任選6000粒，試問在這些種子中，良種所占的比例與1/6之差的絕對值小于1%的概率是多少？,解：設(shè)X表示取6000粒種子中的良種粒數(shù)，則,XB(6000, 1/6),注 若XB(n, p),則當(dāng)n較大時，有,例3. 某出租車公司有500輛的士參加保險，在一年里的出事故

4、的概率為0.006，參加保險的的士每年交800元的保險費若出事故，保險公司最多賠償50000元，試?yán)弥行臉O限定理，計算保險公司一年賺錢不小于200000元的概率,解：設(shè)X表示500 輛的士中出事故的車輛數(shù)，則X B(500,0.006) 其中np=3, npq=2.982,保險公司一年賺錢不小于200000元的事件為 500800 500800-50000X 200000 , 即事件0X4,可見，保險公司在一年里賺錢不小于200000元的概率為0.7781.,例4. 在抽樣檢查某種產(chǎn)品的質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則拒絕接受這批產(chǎn)品設(shè)產(chǎn)品的次品率為10，問至少應(yīng)抽查多少個產(chǎn)品進行檢查，才能保證拒絕這批產(chǎn)品的概率達到0.9？,解: 設(shè)應(yīng)抽查n 件產(chǎn)品, 其中次品數(shù)為Y .記,由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，得,要使,即,得,即至少要抽查147件產(chǎn)品才能保證拒絕這批產(chǎn)品的概率達到0.9,為什么叫“中心極限定理”,棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理是棣莫弗于1730年給出的概率論歷史