運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)和極限思想在解析幾何中的應(yīng)用蘇教版

1、本文為自本人珍藏 版權(quán)所有 僅供參考本文為本人珍藏，有較高的使用、參考、借鑒價(jià)值！本文為本人珍藏，有較高的使用、參考、借鑒價(jià)值！運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)和極限思想在解析幾何中的應(yīng)用袁海峰（江陰市長涇中學(xué) ）解析幾何中，我們常常遇到這樣的問題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知一點(diǎn)P(a,b)(不在坐標(biāo)軸上)，過點(diǎn)P作直線L與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S，則符合條件的直線有 （ ）A1條B2條C3條 D4條 碰到這樣的問題，學(xué)生往往會(huì)采用以下方法進(jìn)行求解：解：由題設(shè)可知，直線L的斜率一定存在 故設(shè)直線L的方程為 則直線L與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、 構(gòu)成的三角形的面積 解上述方程，有幾解，則表示有幾條直線. 這樣求

2、解，不但可以求出直線的條數(shù)，同時(shí)也把相應(yīng)的直線的方程求出.如若是解答題，這樣做的話倒也無可厚非，但若是在平時(shí)的測驗(yàn)或是高考中遇到這樣的問題，并且象上面這樣按部就班的去解的話，可能會(huì)花費(fèi)不少寶貴的時(shí)間，有點(diǎn)得不償失.下面我們一起來用運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)和極限思想來解決這一問題：如圖（1），不妨假設(shè)點(diǎn)P(a,b)位于第一象限（其它象限完全一樣），將直線L繞點(diǎn)P不斷旋轉(zhuǎn)，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線L位于圖(2)所示的兩個(gè)位置時(shí)必滿足題意，即符合題意的直線L至少有兩條，接下去就要考慮此直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸所構(gòu)成的三角形的面積能否為S,如可以，又有幾條？由于此時(shí)三角形的面積具有最小值，且取得最小值時(shí)直線L的方程為L0:即=

3、2,故我們只需將S與進(jìn)行比較，若S，在第一象限符合題意的直線有且只有條即L0.（如圖(3)）；若S，在第一象限符合題意的直線有條.（如圖（4）；若S，則符合題意的直線有4條；（如圖(5)）若S,則符合題意的直線有3條；（如圖(6)）若S,則符合題意的直線有2條. （如圖(7)）運(yùn)用上述思想方法，我們還可以得到以下結(jié)論：結(jié)論：已知平面直角坐標(biāo)系中，不重合的兩點(diǎn)P、Q間的距離為d0，過點(diǎn)P作直線L使得Q點(diǎn)到直線L的距離為d,若d=d0,則符合題意的直線有且只有條（即過點(diǎn)P且與直線PQ垂直的直線（如圖(8)）；若dd0,則符合題意的直線不存在.結(jié)論：已知平面直角坐標(biāo)系中，不重合的兩點(diǎn)P、Q間的距離為

4、，過點(diǎn)P和Q分別作直線、且，若與間的距離為d，若d=,則符合題意的直線組有且只有組（分別過點(diǎn)P、Q且與直線PQ垂直(如圖(10)）；若d,則符合題意的直線組不存在.結(jié)論：已知平面直角坐標(biāo)系中，不重合的兩點(diǎn)P、Q間的距離為，若P、Q兩點(diǎn)到直線L的距離均為d,若d，則符合題意的直線L有2條（都與直線PQ平行，且關(guān)于直線PQ對稱（如圖(12)）；若d=,則符合題意的直線L有3條(其中兩條與直線PQ平行，且關(guān)于直線PQ對稱，另一條為線段PQ的垂直平分線(如圖（13)；若d,則符合題意的直線L有4條(其中兩條與直線PQ平行，且關(guān)于直線PQ對稱，另兩條都經(jīng)過線段PQ的中點(diǎn)，且關(guān)于線段PQ的垂直平分線對稱(

5、如圖(14).例過點(diǎn)P(1,1)作直線L與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為10,直線L有（） A.1條 B.2條 C.3條 D.4條（略解）點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,1)，故過點(diǎn)P且與X、Y軸正半軸所圍三角形面積最小時(shí)直線L的方程為,由結(jié)論故這樣的直線L有條，選（D）例設(shè)直線L經(jīng)過點(diǎn)A(-1,1)，則當(dāng)點(diǎn)B(2,-1)與直線L距離最遠(yuǎn)時(shí)直線L的方程為_.（略解）點(diǎn)B到直線L的距離最遠(yuǎn) 由結(jié)論可知 直線L必與直線AB垂直 又直線AB的斜率為 直線L的方程為 即 例3直線L通過兩直線和的交點(diǎn)A，且與過點(diǎn)B(5,-2)的直線的距離為5，則直線L的方程為_.(略解) 兩直線和的交點(diǎn)A(2,2) 點(diǎn)A、B間的距離為5， 由結(jié)論可知 直線L直線AB，又直線AB的斜率為 直線L的方程為 即 例4在平面直角坐標(biāo)