函數(shù)最值的一些求法及錯解分析

1、函數(shù)最值的一些求法及錯解分析一、 教案描述教學(xué)課題：函數(shù)最值的一些求法及錯誤分析教學(xué)目標(biāo)：1、 復(fù)習(xí)函數(shù)最值的一些主要求法；2、 剖析求解過程中產(chǎn)生錯誤的原因；3、 進一步樹立“實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”的唯物論。教學(xué)重點：最值求法教學(xué)難點：掌握解題中產(chǎn)生錯誤的原因?qū)?學(xué)：引導(dǎo)學(xué)生在自主解題和互相討論的過程中抓住重點，突破難點，掌握主要的求解方法及正誤鑒別方法，從而提高思維能力。教學(xué)過程：亮題：這堂課擬通過大家對實例的研討，進一步掌握求函數(shù)最值的一些主要方法及解題過程中產(chǎn)生錯誤的原因。例1、已知函數(shù)，請大家自己或與周圍同學(xué)一起探討出求這個函數(shù)最值的各種方法。（學(xué)生舉手回答）解法一：當(dāng)且僅當(dāng)，即

2、x=6時（舍去x=0）,但無最大值。（教師指出）這種方法叫配湊法，同時用到了基本不等式，很好！應(yīng)注意什么？（答：等號是否能取到）。（學(xué)生舉手回答）解法二：令x-3=t，則x4，t1。余同解一。（教師提問）此為何法？（答：換元法。）解題時應(yīng)注意什么？（答：1、注意新變量t的變化范圍；2、在利用基本不等式時什么時候取到等號。）評：此法雖與解法一的實質(zhì)是一樣的，但它優(yōu)于解法一。問：還有其他解法嗎？（學(xué)生舉手回答）解法三：x4，x-30,轉(zhuǎn)化為方程2x2-yx+3y=0.利用判別式法得 =y2-24y0，則y24或y0。x4，y0,y24，即，但無最大值。（教師提問）此解法對嗎？0能保證根x4嗎？部分

3、同學(xué)認為不正確,如何改正？（學(xué)生舉手回答）利用實根分布法得(1)對嗎？（教師指導(dǎo)）實踐檢驗，取y=40代入，得，解得或(舍)，可見存在，使y=4032，可見上述解法還存在問題，怎樣修正？（學(xué)生回答）上述不等式組僅僅給出在上有兩個實根的情形，還應(yīng)補上在上有一實根的情形:(2)、f(4)0，即y32。綜上（1）、（2），得y24。，但無最大值。評：此法叫做實根分布法，有時簡稱判別式法。判別式法用到的是必要條件，并不充要，因此應(yīng)慎用。（教師問）還有什么解法嗎？（學(xué)生舉手回答）解法四：當(dāng)x=6時。又x4，當(dāng)時，但，y無最大值。（教師提問）此為何法？（答：配方法。）（教師問）還有其它解法嗎？（學(xué)生舉手回

4、答）解法五（求導(dǎo)法）：由得，即x=0（舍）或x=6時，列表如下：x4（4，6）6（6，+）-160+y3224由上表可得，當(dāng)x=6時，但無最大值。教師指出：此法即為導(dǎo)數(shù)法。那么用導(dǎo)數(shù)法求最值的思路是：、先通過求導(dǎo)求出各個極值和函數(shù)端點值；、經(jīng)比較，取其中最小的就是函數(shù)的最小值，其中最大的就是函數(shù)的最大值。上例中當(dāng)x （6，+）時y遞增，所以函數(shù)取不到最大值。小結(jié):綜合以上,我們用到了哪些方法?(學(xué)生回答)配湊法、基本不等式法、換元法、判別式法（或?qū)嵏植挤ǎ?、配方法、求?dǎo)法等等。接下來我們擬通過對例1的變式再來復(fù)習(xí)一些求法。變式一：將例1中的“x4”改為“x8”，其余條件不變。（請同學(xué)們繼續(xù)研

5、究，討論。教師有意識地請用換元法和配方法的同學(xué)來回答。）解法一：（換元法）令x-3=t，則x8，t5。詢問：“對嗎？”學(xué)生答：“錯了。等號成立當(dāng)且僅當(dāng)t2=9，此時t=3，而t5，等號取不到?！苯處熖岢觥霸趺崔k”，并引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)的單調(diào)性。時，x=3，又x0，故可列表得：x（-，-3）-3（-3，0）0（0，3）3（3，+）+0-0+y-6663-6-3yOx根據(jù)上表，易得函數(shù)的大致圖像（如右下圖所示）。由上表和右圖可以清楚地看到函數(shù)的單調(diào)性為：分別在上函數(shù)是單調(diào)遞增的，而分別在上函數(shù)是單調(diào)遞減的。因此函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故，而無最大值。（向?qū)W生指出，這里我們就用到了函數(shù)的單調(diào)性法）教師點

6、評：當(dāng)用基本不等式法因等號取不到而失效時，往往利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性法)去求函數(shù)的最值?？梢娎貌坏仁椒〞r必須考慮自變量的取值范圍是否能保證等號取到，這是一個陷阱，一定要小心！解法二：配方法因為其中x ,故,所以在這里我們遇到了自變量有界的二次函數(shù)求最值問題，必須考慮到x，也就是說。為此觀察式中分母.對稱軸與x軸的交點坐標(biāo)為（，0），而3）”，其余條件不變。（請同學(xué)們繼續(xù)研究，討論，我們是否可以用變式一中的兩種方法去求解？）解法一：（換元法）令x-3=t，則。這顯然不對。xa，ta 3，當(dāng)a6時等號取不到。此時利用函數(shù)單調(diào)性可得。而當(dāng)36時，xa，。當(dāng)33”改為“a -1”，是否還存在最小值呢

7、？請同學(xué)們課外去思考。下面給出一道應(yīng)用題請大家討論研究。m1-1yOxCBAM例2、在函數(shù)y=3x2（-1x1）的圖像上取A，B兩點使ABx軸且B的橫坐標(biāo)為t（03）是ABC的邊BC的中點，求ABC的面積取得最大值時C的坐標(biāo)。先請同學(xué)們回答下列問題：（1）、B的坐標(biāo)（ ， ），C的坐標(biāo)（ ， ）；（2）、AB= ，AB邊上的高CH= ；（3）、SABC=S（t）= 。解：SABC=2tm-3t2=2t（m-3t2） （m3, 00） 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到等號。想一想：當(dāng)m3, 0t1時，等號一定能取到嗎？顯然,即03,即39時取不到等號。這就要由S(t)= 2t（m-3t2）在0t1上的單調(diào)性來

8、求了。下面用定義法來證函數(shù)S(t)= 2t（m-3t2）在09, 0t1,即.函數(shù)S(t)= 2t（m-3t2）在上單調(diào)遞增。此時S(t)max= 21（m-312）=2m-6.綜上所述， 。課堂小結(jié)：請一位同學(xué)作代表歸納一下求函數(shù)最值的主要方法及易錯點在何處，如何正確處理？（學(xué)生答）、配湊法（例一的解法一）；、基本不等式法（例一的解法一）；、換元法（例一的解法二）；、判別式法（例一的解法三）；、配方法（例一的解法四）；、運用函數(shù)單調(diào)性（變式一的解法一）；、導(dǎo)數(shù)法（例一的解法五）。應(yīng)注意的是：1、利用基本不等式求解時要注意等號是否能取到；2、在利用二次函數(shù)求最值時要注意變量取值范圍與對稱軸的相

9、對位置，要考慮區(qū)間的端點函數(shù)值。另外，自變量的取值范圍比較隱蔽，例如思考題1，需認真挖掘，請同學(xué)們通過解思考題1去體會。思考題:1、已知渠道橫截面為等腰梯形，面積S（平方分米）為定值，梯形高為8分米，渠側(cè)壁的傾斜角為（如圖所示）。問為何值時，修建成本最低。（即側(cè)壁的腰與下底的和最短）提示：易錯點在于。 A B D C2、利用數(shù)形結(jié)合的方法求的最小值。提示：設(shè)，則。于是Z可以看作是直線上的點與雙曲線上點之間的距離AB的平方，從而由圖像分析出Z的最小值。二、教案分析 本案例具有以下特點:1、 例題簡明，不貪多就難，易于調(diào)動全體學(xué)生參予研討、探究的積極性。2、 通過一個問題的變化引導(dǎo)學(xué)生用多種方法探求解答，從而歸納出求最值的一些主要方法，思維升華自然，做到集思廣益。3、隨著同一問題條件的稍稍變化，引導(dǎo)學(xué)生思維層層深入，直至深入到最易出錯的核心點從而擊中要害，分析出錯原因及處理方法，有利于發(fā)展學(xué)生思維的批判性和深刻性。4、在出現(xiàn)錯解時不急于當(dāng)裁判，給結(jié)論，而是讓學(xué)生通過實踐檢驗，發(fā)現(xiàn)差錯，從而設(shè)法改正錯誤。5、重視教學(xué)過程，讓學(xué)生進一步掌握函數(shù)的性質(zhì)和圖像，從而真正理解錯誤原因。6、教案力