平面向量精選試題

1、平面向量精選試題1、在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若，則=（）A、B、C、D、分析：在矩形ABCD中，=，=，=，由向量加法公式可得答案解：矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，=（+）=（+）=（3+5），故選A 2、對(duì)于菱形ABCD，給出下列各式：；=；+=4|2其中正確的個(gè)數(shù)為（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)分析：由菱形圖象可知這兩個(gè)向量不相等錯(cuò)誤，與兩個(gè)向量的方向不同，但是由菱形的定義可知他們的模長(zhǎng)相等，得到正確，把第三個(gè)結(jié)果中的向量減法變?yōu)榧臃?，等式兩邊都是二倍邊長(zhǎng)的模，正確，有菱形的定義知正確解答：解：由菱形圖象可知錯(cuò)誤，這兩個(gè)向量的方向不同，但是由菱形的定義可知他們的模長(zhǎng)相

2、等，得到正確，把第三個(gè)結(jié)果中的向量減法變?yōu)榧臃ǎ仁絻蛇叾际嵌哆呴L(zhǎng)的模，正確，有菱形的定義知正確 故選C點(diǎn)評(píng)：大小和方向是向量的兩個(gè)要素，分別是向量的代數(shù)特征和幾何特征，借助于向量可以實(shí)現(xiàn)某些代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化3、在 ABCD中，設(shè)=，則下列等式中不正確的是（）A、B、 C、D、分析：由題意知本題是一個(gè)向量加減的運(yùn)算，根據(jù)平行四邊形法則和三角形法則知，以同一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)的兩條邊和對(duì)角線所成的向量，對(duì)角線所在的向量等于兩條邊所在的向量之和，另一條對(duì)角所在的向量等于兩條對(duì)角線所在的向量之差，注意方向解答：解：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知， ， 即， 得到， 故選B點(diǎn)評(píng)：用一組為基底向

3、量來(lái)表示一個(gè)向量，是以后解題過(guò)程中常見(jiàn)到的，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，本題是一個(gè)簡(jiǎn)單的向量加減的問(wèn)題，是一個(gè)基礎(chǔ)題4、已知向量與反向，下列等式中成立的是（）A、=|B、|=| C、|+|=|D、|+|=|分析：由于向量方向相反，那么向量和的模的等于向量模的差的絕對(duì)值，向量差的模等于向量模的和，可以找出正確的答案 解答：解：由已知：向量與反向， ， 故選C點(diǎn)評(píng)：本題主要是考查平行向量和共線向量的及相應(yīng)模的運(yùn)算5、已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0），（1，5），則第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A、（1，5）或（5，5）B、（1，5）或（3，5）C、（5，5）或（3，5）D、

4、（1，5）或（3，5）或（5，5）分析：利用平行四邊形的對(duì)角線相交且被交點(diǎn)平方；通過(guò)對(duì)與哪一個(gè)點(diǎn)是對(duì)頂點(diǎn)分類(lèi)討論；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出解答：解：設(shè)第四個(gè)頂點(diǎn)為（x，y） 當(dāng)?shù)谒膫€(gè)頂點(diǎn)與（1，0）對(duì)頂點(diǎn)則 x1=4；y=5 解得x=5，y=5當(dāng)?shù)谒膫€(gè)頂點(diǎn)與（3，0）為對(duì)頂點(diǎn)則 x+3=0，y=5 解得x=3，y=5當(dāng)?shù)谒膫€(gè)頂點(diǎn)與（1，5）為對(duì)頂點(diǎn)則 x+1=2；y5=0 解得x=1，y=5 故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查平行四邊形的對(duì)角線相交且平分、考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式6、與向量=（12，5）平行的單位向量為（）A、B、C、或D、或分析：設(shè)出與向量=（12，5）平行的單位向量，求出的模，利用，求出解答：解：設(shè)

5、與向量=（12，5）平行的單位向量，所以 =，或 故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查向量共線，考查學(xué)生計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題7、若|=，|=4，|=5，則與的數(shù)量積為（）A、10B、10 C、10D、10分析：利用向量模的性質(zhì)：向量模的平方等于向量的平方；將已知條件中的三個(gè)等式平方求出兩個(gè)向量的數(shù)量積解答：解： 故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查向量模的性質(zhì)：向量模的平方等于向量的平方，利用此性質(zhì)常解決與向量模有關(guān)的問(wèn)題8、若將向量圍繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量，則的坐標(biāo)為（）A、B、 C、D、分析：由已知條件知與模相等，夾角為；利用向量的模的坐標(biāo)公式及向量的數(shù)量積公式列出方程組，求出解答：解：設(shè)， 據(jù)題意知x2+y2=5，

6、，解組成的方程組得， 故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的模的坐標(biāo)公式、考查利用向量的數(shù)量積公式求向量的夾角9，設(shè)kR,下列向量中，與向量a=(1,-1)一定不平行的向量是（ ） Ab=(k,k) Bc=(-k,-k) Cd=(k2+2,k2+1) De=(k2-1,k2-1)C 解析：A、B、D都有可能為0，而0a,而C中d=(k2+2,k2+1),故d不平行10；已知e1、e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為一組基底的是( ) A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和4e2-6e1 C.e1+2e2和e2+2 e1 D.e2和e1+e2解析:4e1-6e1=-2(3

7、e1-2e2), 3e1-2e2與4e2-6e1共線,不能為基底. 答案:B11、設(shè)kR，下列向量中，與向量=（1，1）一定不平行的向量是（）A、B、 C、D、分析：根據(jù)條件中所給的向量的坐標(biāo)，代入兩個(gè)向量平行的充要條件進(jìn)行驗(yàn)證，整理出充要條件是2k22，一定不等于零，一次得到這兩個(gè)向量一定不平行解答：解：=（k2+1）（k2+1）=2k222 這兩個(gè)向量一定不平行， 故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量平行的充要條件，這個(gè)充要條件有兩種表示形式，坐標(biāo)形式是最直接的一種形式，解題時(shí)只要進(jìn)行數(shù)字的運(yùn)算，是一個(gè)基礎(chǔ)題12、已知向量|=10，|=12，且=60，則向量與的夾角為（）A、60B、120 C、1

8、35D、150分析：利用向量的模、夾角形式的數(shù)量積公式，列出方程，求出兩個(gè)向量的夾角余弦，求出夾角解答：解：設(shè)向量的夾角為則有： ， 所以1012cos=60，解得 0，180 所以=120 故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量的數(shù)量積公式解決兩個(gè)向量的夾角問(wèn)題注意兩個(gè)向量夾角的范圍是0，13、已知|=|=1，=，則平面向量與夾角的大小為（）A、B、 C、D、分析：利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出cos=，從而求得的值解答：解：由兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義可得=11cos，cos=， 由于的范圍為0， =， 故選：C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題14、已知向量|=

9、|=，|+|=，則向量、夾角為（）A、B、 C、D、分析：設(shè)向量、夾角為 ，根據(jù)條件可得=2+2cos+2=6，解得 cos=，可得 的值 解答：解：設(shè)向量、夾角為 ，向量|=|=，|+|=，=2+2cos+2=6，解得 cos=，=， 故選 D點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，求得cos=，是解題的關(guān)鍵15、已知，且，則向量與向量的夾角是（）A、30B、45 C、90D、135分析：欲求向量與向量的夾角，根據(jù)題目所給條件有：以及求出所求角的余弦值，再根據(jù)余弦值即可求出向量之間的夾角解答：解：， 所以11cos=0，解得cos=，即=45， 故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積

10、表示兩個(gè)向量的夾角和數(shù)量積的相關(guān)運(yùn)算16、在ABC中，D、E、F分別BC、CA、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是ABC的重心，則等于（）A、B、 C、D、分析：先用向量加法的平行四邊形法則化簡(jiǎn)，再用三角形重心的性質(zhì)：重心分中線為求值解答：解：設(shè)AB的中點(diǎn)為F 點(diǎn)M是ABC的重心 故選C 點(diǎn)評(píng)：考查向量在幾何中的應(yīng)用、向量加法法則及三角形重心的性質(zhì)：重心分中線為，屬于基礎(chǔ)題17、（2010重慶）已知向量a，b滿(mǎn)足ab=0，|a|=1，|b|=2，則|2ab|=（）A、0B、 C、4D、8分析：利用題中條件，把所求|2|平方再開(kāi)方即可解答：解：=0，|=1，|=2， |2|=2故選B 點(diǎn)評(píng)：本題考查向量模的求法

11、，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題18、已知向量、滿(mǎn)足，且，則=（）A、10B、20 C、21D、30分析：先根據(jù)，兩邊平方得到；再結(jié)合響亮的模長(zhǎng)計(jì)算公式，把其放到根號(hào)內(nèi)先平方，再開(kāi)方即可得到結(jié)論解答：解：因?yàn)椋?所以：|=10 故選：A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的模長(zhǎng)計(jì)算解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)，兩邊平方得到19、已知向量，滿(mǎn)足=（2，0），ABC，=2+2，6，D為BC邊的中點(diǎn)，則=（） A、2B、4 C、6D、8分析：表示出，代入向量，然后求出，即可解答：解：因?yàn)镈為BC邊的中點(diǎn)，所以=（）=22=（1，） =故選A 點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題20、已知，則向量與

12、向量的夾角是分析：據(jù)題意可得，=進(jìn)一步利用向量夾角的范圍求出夾角解答：解：設(shè)的夾角為則 即， = 0， 故答案為：點(diǎn)評(píng)：解決向量的夾角問(wèn)題，一般利用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行解決但要注意向量夾角的范圍21、已知向量m與n滿(mǎn)足|m|=1，|n|=2，且m（m+n），則向量m與n的夾角為120分析：設(shè)的夾角為，由（），可得（）=0，解出cos 的值，根據(jù)的范圍，求出的值解答：解：設(shè)的夾角為，（），（）=+=1+12cos=0，cos= 又 0， =120， 故答案為：120 點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求出cos=，是解題的關(guān)鍵22、已知向量、的夾角為60

13、，則=分析：由已知中向量、的夾角為60，我們易計(jì)算出2，2及的值，進(jìn)而計(jì)算出2，開(kāi)方后即可得到解答：解：向量、的夾角為60， 2=4，2=9，=32=42+24=13 = 故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量的模，其中根據(jù)已知計(jì)算出2的值，是解答本題的關(guān)鍵23、已知|=10，|=12，且（3）（）=36，則、的夾角為120分析：由已知中（3）（）=36，我們易得到的值，再結(jié)合|=10，|=12，代入即可得到向量、的夾角解答：解：（3）（）=36， =60又|=10，|=12 = 又0180 =120 故答案為：120點(diǎn)評(píng)：求出兩個(gè)向量的夾角時(shí)，是向量中求夾角的唯一公式，要求大家熟練掌握24、

14、已知向量滿(mǎn)足且，則實(shí)數(shù)m=分析：由，可得=cossin+=0，求得sin2 的值； 據(jù)，得到 2=m（sin+cos ），求出m2的值，即可得到 m的值解答：解：，=cossin+=0，sin2=，=（sin+cos，），2=m（sin+cos ），=m2（1+sin2），m2=，m=， 故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量垂直、平行的性質(zhì)，求出 sin2=，是解題的關(guān)鍵25、已知平面上的向量、滿(mǎn)足，=2，設(shè)向量，則的最小值是2分析：利用勾股定理判斷出PA，與PB垂直，得到它們的數(shù)量積為0；求的平方，求出范圍解答：解：， =0 =34 故答案為2點(diǎn)評(píng)：本題考查勾股定理、

15、向量垂直的充要條件、向量模的性質(zhì)：模的平方等于向量的平方26（2011安徽）已知向量，滿(mǎn)足（+2）（）=6，|=1，|=2，則與的夾角為60分析：由已知向量，滿(mǎn)足（+2）（）=6，|=1，|=2，我們易求出的值，代入cos=，即可求出與的夾角解答：解：（+2）（） =222+ =18+ =6=1 cos= 又090 =60 故答案為60或者點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，其中求夾角的公式cos=要熟練掌握27、已知|=1，|=2，與的夾角為 （）求；（）向量+與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：求出兩個(gè)向量的數(shù)量積；由向量的數(shù)量積公式將兩個(gè)向量所成的角為鈍角轉(zhuǎn)化為數(shù)量積

16、小于0且不為反向解答：解：（）=2x1x=1（）（+）（）=2+（21）2=+214=231因?yàn)?與向量的夾角為鈍角的夾角為鈍角，所以（）0，令2310，得28、已知|p|=2，|q|=3，向量p與q的夾角為，求以向量a=5p+2q，b=p3q為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線之長(zhǎng)分析：以，為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為+，分別求出他們的模，然后進(jìn)行比較，即可得到結(jié)論解答：解：以a、b為鄰邊平行四邊行的兩對(duì)角線之長(zhǎng)可分別記為|a+b|，|ab|a+b=（5p+2q）+（p3q）=6pqab=（5p+2q）（p3q）=4p+5q|a+b|=|6pq|=15|ab|=|4p+5q|

17、=29、非零向量滿(mǎn)足|=|=|，則，的夾角為120分析：要求，的夾角，只需將|=|=|平方得：，即，cos，=，在根據(jù)解三角方程知識(shí)即可解答：解：|=|=| 將|=|=|平方得：，即， cos，= cos，=，0， ，的夾角為120 故答案為12030、在四邊形ABCD中，若，且|=|，則四邊形ABCD的形狀是矩形分析：利用平面向量加法的平行四邊形法則，根據(jù)四邊形ABCD中，若，我們易根據(jù)|=|，結(jié)合矩形判定定理，判斷出四邊形ABCD的形狀解答：解：在四邊形ABCD中，若，向量和分別表示平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線， 若|=|，則表示兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等， 根據(jù)矩形的判定定理，我們可得四邊形A

18、BCD是矩形 故答案為：矩形31，已知向量a=(3,4)，b=(2，-1)，如果向量a+b與向量-b互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為( ) A. B. C.2 D.-解析：a+b=(3,4)+(2,-1)=(3+2,4-),-b=(-2,1),若(a+b)(-b)，則-2(3+2)+4-=0.=-.故選D.32、已知向量=（1，3），=（2，1），若+2與3+平行，則的值等于（）A、6 B、6 C、2D、2分析：根據(jù)=（1，3），=（2，1）求出+2與3+然后根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示代入計(jì)算即可得解解答：解：=（1，3），=（2，1） +2=（5，5），3+=（3+2，9+）又+23+ 5（9+）5（3+2）=0 =6 故選B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量線性的坐標(biāo)計(jì)算和平面向量共線的坐標(biāo)表示解題的關(guān)鍵是要牢記平面向量共線的坐標(biāo)表示：x1y2x2y1=0，33，給定兩個(gè)向量平行，則x的值等于（）A、1B、 C、2D、分析：利用向量的先求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用向量共線時(shí)坐標(biāo)交叉相乘相等，列出方程，求出x的值解答：解：因?yàn)椋砸驗(yàn)?所以（1+2x）0=4（12x） 解得 故選B點(diǎn)評(píng)：解決兩向量共線關(guān)系時(shí)，常利用向量共線的坐標(biāo)形式的充要條件：坐標(biāo)交叉相乘相等34、已知平面向量，則向量（）A、平行于x軸B、平行于第一、三象限的角平分線C、平行于y軸D、平行于